PIE+MOM的Mamdani模糊系統(tǒng)通用逼近性充要條件

游文虎，王 茂，施 佳

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，150001哈爾濱;2.中國航空無線電電子研究所，200241上海)

學(xué)者 Kosko［1］和 Wang［2］在 1992 年的 IEEE 模糊系統(tǒng)會議上提出了模糊系統(tǒng)可以作為通用逼近器，并分別從不同角度給予了證明.自此，不少學(xué)者圍繞模糊系統(tǒng)作為通用逼近器開展了相關(guān)研究.Bova等［3］研究了Mamdani模糊系統(tǒng)的一種模糊邏輯推理過程.Wang等［4］分析了簡化結(jié)構(gòu)演變的Mamdani模糊系統(tǒng)辨識及其應(yīng)用高維問題的方法.關(guān)于模糊系統(tǒng)作為通用逼近器的理論研究可分為3大類:存在性，充分性和必要性.

1)模糊系統(tǒng)通用逼近性的存在性.Kosko［1］首先建立加型模糊系統(tǒng)模型，然后采用有限覆蓋定理對基于此模型的模糊系統(tǒng)的通用逼近性的存在性給出了分析;進(jìn)一步和Dickerson等［5］共同分析了具備橢圓規(guī)則的加型模糊系統(tǒng)的通用逼近性.Buckley等［6］選取一類模糊控制器的傳遞函數(shù)作為研究對象，從泛函角度對模糊系統(tǒng)具有通用逼近性給出了存在性證明.Zeng等［7-8］分析研究了采用乘積和最小推理方法得到的模糊系統(tǒng)，得出了其具有通用逼近性的對給定輸入的局部逼近特性的一般表達(dá)式，并給出了如何提高全局通用逼近性的方向性建議.Kóczy等［9］從“貓和鼠”等問題出發(fā)對采用最大-最小算子推理的Mamdani模型和T-S模型模糊系統(tǒng)的通用逼近性的存在性進(jìn)行了研究.Cao等［10-11］從動態(tài)模型角度分別研究了T-S模糊模型和Mamdani模糊模型的通用逼近性.Cuong等［12］引入Mamdani模糊系統(tǒng)的一類分段多線性模型，并研究了其逼近能力.

2)模糊系統(tǒng)通用逼近性的充分性.Ying［13-14］采用構(gòu)造性方法，分別分析了預(yù)先給定的逼近精度的T-S型和Mamdani型模糊系統(tǒng)作為通用逼近器的充分條件.Zeng等［15］通過對線性T-S性模糊系統(tǒng)的隸屬函數(shù)作了一定的限制后給出了新的通用逼近性的充分性條件.黃衛(wèi)華等［16］推導(dǎo)了輸入采用廣義線性隸屬函數(shù)的典型Mamdani模糊系統(tǒng)的解析結(jié)構(gòu)，并證明了通用逼近性.

3)模糊系統(tǒng)通用逼近性的必要性.Ying等［17-18］深入研究了一般單輸入單輸出、多輸入單輸出的Mamdani型模糊系統(tǒng)和典型的T-S型模糊系統(tǒng)可以作為通用逼近器的必要條件，并分析了其極可能具有最簡潔系統(tǒng)構(gòu)成.孫富春等［19］研究了單輸入單輸出(SISO)Mamdani模糊系統(tǒng)在給定逼近精度下作為函數(shù)逼近器的必要條件，對文獻(xiàn)［17-18］的結(jié)論做了推廣.

以上這些研究都沒有給出某種情形下的模糊系統(tǒng)具有通用逼近性的充要條件.這些研究都是指針對某一特定類模糊系統(tǒng)的通用逼近能力，他們都未能解答具有通用逼近性能的模糊系統(tǒng)必須具備怎樣的條件.具體采用怎樣的途徑和方法來構(gòu)造模糊系統(tǒng)，從而使其具有通用逼近性，這仍然需要進(jìn)一步的研究分析.

本文將分析并證明一類具有通用逼近性的Mamdani型模糊系統(tǒng)的充要條件.

1 一類通用逼近的Mamdani模糊系統(tǒng)

在研究模糊系統(tǒng)的逼近性能時，需要在有界閉區(qū)間上進(jìn)行.因此，設(shè)定n維模糊系統(tǒng)的輸入空間為［ai，bi］n，i=1，2，…，n.對區(qū)間［ai，bi］進(jìn)行劃分，即在區(qū)間［ai，bi］上定義Ni個模糊數(shù)，且有，則有，其中Cj i為Aj

i的中心點.

定義1 設(shè)T:［0，1］×［0，1］→［0，1］，T是T-norm，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的x，y，z∈［0，1］有:

1)T(x，y)=T(y，x)(交換律);

2)當(dāng)y≤z，T(x，y)≤T(y，x)(單調(diào)性);

3)T(x，T(y，z))=T(T(x，y)，z)(結(jié)合律);

4)T(x，1)=x.

定義2 乘積推理機(jī)(PIE).指定U上的給定模糊集A'向V上的模糊集B'的映射規(guī)則如下:

其中μA'(x)表示模糊集分別為模糊規(guī)則前件、后件的隸屬度函數(shù).

Mamdani模糊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比T-S模糊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)要復(fù)雜得多，因為對于Mamdani模糊系統(tǒng)來說，其規(guī)則后件也為模糊數(shù)，而且解模糊器也有多種選擇.本文只討論基于乘積推理機(jī)(PIE)的情形.

對于Mamdani型模糊系統(tǒng)，根據(jù)其規(guī)則后件的不同，其模糊系統(tǒng)具有不同形式.當(dāng)采用一般解模糊化算子［20］時，其模糊系統(tǒng)具有如下形式:

其中:M為該模糊系統(tǒng)的模糊規(guī)則數(shù);yl為)取最大值時所對應(yīng)的點;)α表示第l個模糊規(guī)則的合成算子，且

當(dāng)取α=1時，表示上式采用面積平均解模糊器，取α=+∞時，則采用了最大值平均解模糊器(MOM).

引理1(Weierstrass第一定理)［21］設(shè)f(x)是在區(qū)間［a，b］上定義的連續(xù)函數(shù)，則任意給定ε＞0，都存在多項式P(x)，使得

如下定理將給出一類Mamdani型模糊系統(tǒng)是否具有通用逼近性的結(jié)論.

定理1 給定一個在定義域D上的任意連續(xù)函數(shù)f(x)和任意的逼近精度ε＞0時，若模糊系統(tǒng)F(x)的推理機(jī)為乘積推理機(jī)，且解模糊器為最大值平均解模糊器，則 Mamdani模糊系統(tǒng)F(x)具有通用逼近性的充要條件:

也就是說，當(dāng)符合上述條件的Mamdani模糊系統(tǒng)F(x)滿足下式:

證明 對于式(1)對應(yīng)的模糊系統(tǒng)的模糊規(guī)則后件有兩種選擇方式.

1)規(guī)則后件為單點規(guī)則后件，即

在這種情形下，由于μAi(xi)＞ξ(其中ξ為一足夠小的正常數(shù))，所以一定存在τ=τ(ξ)＞0，使得

在式(1)中，yl(l=1，2，…，M)為常數(shù).不妨設(shè)和ya=，則中一定存在N個常值小于或等于ya，M-N個大于ya.不失一般性，設(shè)前N個常值小于或等于ya.

采用最大值平均解模糊器(MOM)，即α=+∞時，有

可推出

當(dāng)對應(yīng)的輸入點x*的各個分量只有一個輸入隸屬函數(shù)值為最大，則式(3)可化為

若對于該點有a個輸入隸屬函數(shù)值相等且為該點處最大的隸屬值，則式(3)也可化為

即模糊系統(tǒng)具備通用逼近性，即式(2)成立.

②必要性證明.采用反證法，假設(shè)系統(tǒng)不滿足上述條件，而該模糊系統(tǒng)仍具有通用逼近性.

可得到

即對于給定的ε，在模糊規(guī)則數(shù)足夠大時，由隸屬函數(shù)滿足的條件可知，一定存在

將上兩式比較可得

所以有

這與該情形不符，顯然假設(shè)不成立.故這種情形下模糊系統(tǒng)不具有通用逼近性.

證畢.

2)規(guī)則后件為模糊數(shù)，即

其中yl為模糊數(shù)的中心點，且)是凸函數(shù).

在這種情形下，由于μAi(xi)＞ξ(ξ為一正常數(shù))，所以采用模糊推理后，一定存在τ=τ(ξ)＞0，使得在區(qū)間中必有均為正的常數(shù)，且必有)在區(qū)間中為最大.

在式(1)中，yl(l=1，2，…，M)為常數(shù).不妨設(shè))和ya=，則yl(l=1，2，…，M)中一定存在N個常值小于或等于ya，M-N個大于ya.不失一般性，設(shè)前N個常值小于或等于N.

采用最大值平均解模糊器，即α=+∞ 時，在這種情形下，有

可得

即模糊系統(tǒng)具備通用逼近性，即有式(2)成立.

②必要性證明.采用反證法，假設(shè)不滿足條件時，該模糊系統(tǒng)仍具有通用逼近性.

這里有兩種情形:

即對于給定的ε，在模糊規(guī)則數(shù)足夠大時，一定存在

將上兩式比較可得

這與該情形不符，假設(shè)不成立.

對于左邊界點處有

由式(7)～(9)可得

故在此情形下，假設(shè)不成立.

綜上兩種情形，不滿足條件時，該Mamdani模糊系統(tǒng)不具有通用逼近性.

證畢.

2 Mamdani模糊系統(tǒng)通用逼近性判據(jù)分析

滿足上述判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)在規(guī)則數(shù)足夠多的情形下可以以任意精度逼近緊致集上的任意連續(xù)函數(shù).若是不滿足上述判據(jù)的話，無論規(guī)則數(shù)有多少總存在緊致集上的某一連續(xù)函數(shù)使得該模糊系統(tǒng)不能以任意精度逼近.下面構(gòu)造不同的Mamdani模糊系統(tǒng)來逼近兩個函數(shù)比較以確認(rèn)上述判據(jù)的正確性.為了反映普遍性.在選取被逼近函數(shù)時選擇指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù).因為指數(shù)函數(shù)的傅里葉展開式為無窮階多項式，而多項式可以以任意精度逼近任意緊致集上的連續(xù)函數(shù);再就是三角函數(shù)為周期函數(shù)也具有一定的代表性.下面針對本文所給判據(jù)作舉例分析.

示例 現(xiàn)有在區(qū)間［0，1］上的兩個函數(shù)g1(x)=ex和g2(x)=sin(2π·x)，分別構(gòu)造滿足解模糊器為最大值平均解模糊器時的判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)和不滿足該判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)來逼近這兩個函數(shù).

由于條件限制推理機(jī)必須選取局域推理機(jī).不失一般性，選擇乘積推理機(jī).隸屬函數(shù)選擇高斯型隸屬函數(shù)exp(-((x-xl)/σl)2).

首先構(gòu)造滿足判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng).由該判據(jù)可知，當(dāng)隸屬函數(shù)是局域隸屬函數(shù)時，滿足判據(jù)，當(dāng)隸屬函數(shù)為全域隸屬函數(shù)時，只要其滿足一定的條件，依然滿足判據(jù).如當(dāng)采用高斯型隸屬函數(shù)時，其參數(shù)σl(l=1，2，…，n0)都為同一值.

分別給出規(guī)則數(shù)為21和51的滿足上述判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)來逼近函數(shù)g1(x)=ex，σl=0.8(l=1，2，…，n0).Mamdani模糊系統(tǒng)輸出和逼近誤差分別如圖1～2所示.

再給出規(guī)則數(shù)分別為21和51的滿足該判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)來逼近函數(shù)g2(x)=sin(2π·x)，σl=0.8(l=1，2，…，n0).系統(tǒng)輸出和逼近誤差分別如圖3～4所示.

圖1 滿足判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)對g1(x)=ex的輸出

圖2 滿足判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)對g1(x)=ex的逼近誤差

圖3 滿足判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)對g2(x)=sin(2π·x)的輸出

下面構(gòu)造不滿足該判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng).選取第一個規(guī)則的規(guī)則前件的隸屬函數(shù)為定值σ1=0.8，其他的分別為:當(dāng)規(guī)則數(shù)為21時σl=0.025(l=2，3，…，n0);當(dāng)規(guī)則數(shù)為 51 時σl=0.01(l=2，3，…，n0).首先給出其對g1(x)=ex的仿真圖，系統(tǒng)輸出如圖5所示.

圖4 滿足判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)對g2(x)=sin(2π·x)的逼近誤差

圖5 不滿足判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)對g1(x)=ex的輸出

再給出其對g2(x)=sin(2π·x)的仿真圖，系統(tǒng)輸出如圖6所示.

圖6 不滿足判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)對g2(x)?=sin(2π·x)的輸出

由此可得，在推理機(jī)為局域推理機(jī)的情形下，滿足該判據(jù)的Mamdani模糊系統(tǒng)具有通用逼近性.不滿足該判據(jù)且采用最大值平均解模糊器的Mamdani模糊系統(tǒng)不具有通用逼近性.

3 結(jié)語

本文率先給出了一類Mamdani模糊系統(tǒng)具有通用逼近性的充要條件.由上述定理證明結(jié)果可知，當(dāng)解模糊器為最大值平均解模糊器時，Mamdani模糊系統(tǒng)的具有通用逼近性的充要條件是:模糊器和規(guī)則前件的隸屬函數(shù)中所有滿足的隸屬函數(shù)的中心點，具有當(dāng)一定有0的性質(zhì)和規(guī)則后件的隸屬函數(shù)具有如下性質(zhì)，即當(dāng)一定有使得其對應(yīng)的規(guī)則后件隸屬函數(shù)的隸屬度的值的取值范圍長度也趨近于零.

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