探究解方程(組)的檢驗(yàn)問(wèn)題

宋揚(yáng)

［摘要］ 解方程包含著“解方程”和“檢驗(yàn)”兩個(gè)步驟，并且缺一不可，無(wú)論解哪類方程（組）都是如此，本文就解方程（組）的檢驗(yàn)問(wèn)題進(jìn)行一些研討.

［關(guān)鍵詞］ 解方程（組）；檢驗(yàn)；恒等變形；同解原理

解方程（組）是從已知探求未知的重要途徑，它在中學(xué)尤其是初中教學(xué)里所占比重較大. 盡管在方程（組）的教學(xué)中，無(wú)論對(duì)概念、解法還是應(yīng)用似乎感到問(wèn)題不大，但從理論上講還有許多問(wèn)題需要加以研究. 本文就解方程（組）的檢驗(yàn)問(wèn)題進(jìn)行一些研討.

在解一元一次方程時(shí)，初中課本對(duì)“檢驗(yàn)”有不同的提法：先提出“檢驗(yàn)”的步驟，這時(shí)是把檢驗(yàn)作為解方程的步驟之一；然后提出“自己檢驗(yàn)最好用口算”，這里對(duì)檢驗(yàn)好像還作要求，只不過(guò)對(duì)檢驗(yàn)方式作了改進(jìn)；最后連檢驗(yàn)提都不提了. 那么究竟要不要檢驗(yàn)？在解二元一次方程組時(shí)，有的寫(xiě)了檢驗(yàn)，有的不寫(xiě)；對(duì)三元一次方程組又說(shuō)“檢驗(yàn)一般不必寫(xiě)出”；在解一元二次方程和簡(jiǎn)單的高次方程時(shí)，對(duì)“檢驗(yàn)”只字不提. 這一系列的處理是否妥當(dāng)？回答是肯定的. 一言蔽之：凡是解整式方程（組）不必檢驗(yàn)！如果真要檢驗(yàn)，其作用也只是為驗(yàn)算正確與否，故這種檢驗(yàn)可以省略.

解分式方程或無(wú)理方程時(shí)情況就大不相同了. 解分式方程時(shí)，課本對(duì)檢驗(yàn)是這樣要求的：“用同一個(gè)整式（各公式的最簡(jiǎn)公分母）去乘分式方程的兩邊，約去分母，化為整式方程時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為零，產(chǎn)生增根，所以必須檢驗(yàn). 為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，通常把求得的整式方程的根，逐一代入變形時(shí)所乘的整式（最簡(jiǎn)公分母）進(jìn)行檢驗(yàn)：如果不使所乘的整式為零，就是原方程的根；如果使所乘的整式為零，就是增根，必須舍去.” 在解無(wú)理方程時(shí)，課本對(duì)檢驗(yàn)是這樣要求的：“為了把無(wú)理方程變形為有理方程，需要將方程的兩邊都乘方相同的次數(shù)，這樣就有產(chǎn)生增根的可能. 因此解無(wú)理方程時(shí)，必須把變形后得到的有理方程的根逐一代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn). 如果適合，就是原方程的根；如果不適合，就是增根.” 那么，不禁要問(wèn)：①對(duì)這兩種情況為什么必須檢驗(yàn)？②可能產(chǎn)生增根的原因何在？③檢驗(yàn)時(shí)，分式方程和無(wú)理方程在提法上又為什么不一樣？

我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：一元一次方程的求解，是經(jīng)過(guò)一系列變形將其化為最簡(jiǎn)方程ax=b（a≠0)而解決的；一元二次方程（以及一些特殊的高次方程）是通過(guò)因式分解把它降次化為一元一次方程來(lái)求解的；分式方程是通過(guò)去分母化為整式方程來(lái)求解的；無(wú)理方程是經(jīng)過(guò)方程兩邊同乘方相同的次數(shù)后，化為有理方程來(lái)求解的；二元（多元）一次方程組是通過(guò)代入消元或加減消元，將其化為一元一次方程求解；其他方程（組）是通過(guò)降次、消元化為一元一次方程求解. 總之，在解各類方程（組）的過(guò)程中，總要通過(guò)各種變形，最后化歸為一元一次方程求解. 所用的變形有下述兩大類型：

（1）在方程兩邊同加減一個(gè)數(shù)或一個(gè)整式；同乘一個(gè)不等于零的數(shù)或式子；同乘方若干次；代入消元或加減消元等，這類變形稱為等式變形.

（2）在方程的一邊（或兩邊各自）進(jìn)行的如去括號(hào)、合并同類項(xiàng)、約分、通分、分解因式以及利用公式■·■=■，lga 2=2lga等變形，這類變形稱為恒等變形（在方程的定義域內(nèi)）.

這兩類變形對(duì)所要解的方程的解到底會(huì)不會(huì)發(fā)生影響？這就是我們要解決的問(wèn)題. 研究了方程（組）的同解理論后，對(duì)前面的若干問(wèn)題就會(huì)有令人滿意的答案.

先看兩個(gè)實(shí)例：

例1?搖 解方程：2x+3=1.

方程兩邊同加-3，有2x=-2；方程兩邊同乘■，得x=-1. 于是我們認(rèn)為x=-1是方程的解. 似乎原方程經(jīng)過(guò)變形后，所得方程的解就一定是原方程的解. 其實(shí)這種理解是不完全正確的.

例2?搖 解方程：■=－2.

方程兩邊平方，得2x+1=4；方程兩邊同加-1，得2x=3. 方程兩邊同乘■，得x=■. 顯然，該解并不是原方程的解. 因此，不能認(rèn)為原方程經(jīng)過(guò)變形后，所得方程的解就一定是原方程的解.

從邏輯上講，原命題“若a則b”正確，未必其逆命題“若b則a”正確. 落實(shí)在例1和例2上，就是這個(gè)道理. 就例2而言，第一步推導(dǎo)過(guò)程：■=－2?圯2x+1=4?圯2x=3?圯 x=■；第二步推導(dǎo)過(guò)程：x=■?圯2x=3?圯2x+1=4，得不出原來(lái)的■=－2. 由于不是每一步推導(dǎo)都可逆，于是x=■也不是原方程的解. ?搖?搖

所謂解方程，包含“解方程”和“檢驗(yàn)”兩個(gè)步驟，并且缺一不可，無(wú)論解哪類方程（組）都是如此. 如果解了方程就認(rèn)為，得出的結(jié)果就是原方程的解，那么實(shí)際上就是用“若a則b”正確同時(shí)代替了“若b則a”也正確. 對(duì)于“推導(dǎo)的每一步都可逆”這種可逆性（一種等價(jià)關(guān)系），取個(gè)名稱，叫做同解.

根據(jù)循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，又涉及學(xué)生的知識(shí)面的局限性和可接受性，在初中要闡述較多的同解性理論是不符合實(shí)際的，課本在具體處理上做到了恰到好處. 對(duì)于一元一次方程的解法，課本總結(jié)了五個(gè)步驟：（1）去分母，（2）去括號(hào)，（3）移項(xiàng)，（4）合并同類項(xiàng)，（5）系數(shù)化為1，而這五個(gè)步驟均是方程的同解變形，所有的“檢驗(yàn)”步驟可以省略，如果檢驗(yàn)，作用只是為了驗(yàn)算計(jì)算正確與否. 理解了這個(gè)道理，就不難理解課本在解一元一次方程時(shí)，對(duì)檢驗(yàn)的三種處理辦法：要求詳細(xì)檢驗(yàn)；簡(jiǎn)略檢驗(yàn)（用口算）；不檢驗(yàn).

對(duì)于一元二次方程的解題方法，課本上介紹了四種，它們的每一個(gè)步驟都是同解變形，也就沒(méi)有提出檢驗(yàn)的必要，整式方程（含一元高次方程）都是如此. 然而，在解其他類型的方程（如分式方程、無(wú)理方程等）時(shí)，未必步步都可逆，出現(xiàn)了非同解變形.

先看一個(gè)分式方程的例子，解方程■+■－■=1 ，解得x■=2，x■=1. 當(dāng)x=2時(shí)，原方程的分母為零，顯然不可能是原方程的根，它是增根. 增根產(chǎn)生于何處？按照上述解分式方程的一般步驟，所有的增根（如果有的話）都在去分母時(shí)所乘最簡(jiǎn)公分母等于零的那些值上，所以檢驗(yàn)時(shí)只需將所求的根逐個(gè)代入原分式的最簡(jiǎn)公分母看是否為零. 假如使分式方程有意義而方程的兩端不相等，那么一定是計(jì)算錯(cuò)誤.

由此可見(jiàn)，解分式方程可能產(chǎn)生增根有兩種觀點(diǎn)：一種是用一個(gè)可能等于零的式子去乘以原方程的兩邊，就沒(méi)有同解定理作保證；另一種是由分式方程變?yōu)檎椒匠虝r(shí)，對(duì)方程的兩側(cè)進(jìn)行恒等變形，使定義域發(fā)生了改變而引起的.

再看一個(gè)無(wú)理方程的例子，解方程■=7－x，解得x■=5，x■=10，易知x=10是原方程的增根. 無(wú)理方程產(chǎn)生增根的原因之一，是在原方程有理化過(guò)程中使所乘式子（此式是由相應(yīng)的乘方而得到的）得零而引起的. 但這是不是無(wú)理方程產(chǎn)生增根的唯一原因呢？答案是否定的. 例如，解方程■·■=■①，通過(guò)恒等變形，得到■=■②，解得x■=3，x■=-2，經(jīng)檢驗(yàn)，x=-2是原方程的增根. 方程①的定義域是x∈［1，+∞），而方程②的定義域是x∈［－5，－1］∪［1，+∞），比較方程①②的定義域，方程②的定義域比方程①的定義域擴(kuò)大了［-5，-1］部分，而增根x=-2恰好就在進(jìn)行恒等變形時(shí)，定義域擴(kuò)大的那一部分中，這就是解無(wú)理方程可能產(chǎn)生增根的第二個(gè)原因.

由此可見(jiàn)，解無(wú)理方程可能產(chǎn)生增根的原因有兩個(gè)：一個(gè)是由于乘方運(yùn)算，把共軛因式的根帶進(jìn)去了，這時(shí)把最后的解代入原方程，表現(xiàn)為左端≠右端；另一個(gè)是在進(jìn)行根式變形時(shí)，定義域的擴(kuò)大所引起的，這時(shí)把最后的解代入原方程時(shí)，表現(xiàn)為使某個(gè)根式無(wú)意義. 因而無(wú)理方程檢驗(yàn)的方法和作用都與分式方程不一樣. 在檢驗(yàn)方法上，分式方程可簡(jiǎn)單地代入所乘的最簡(jiǎn)公分母，看其是否等于零來(lái)判斷是否為增根；而無(wú)理方程必須代入原方程檢驗(yàn).

非同解變形可能產(chǎn)生增根，但方程的非同解變形也可能引起失根（也稱丟根、減根）. 對(duì)于由于方程定義域的變化，而引起根的增減可以總結(jié)為：方程兩端進(jìn)行恒等變形時(shí)，若定義域擴(kuò)大，則可能產(chǎn)生增根，其增根必在定義域擴(kuò)大的那一部分里；若定義域縮小，則可能產(chǎn)生失根，所失的根一定在定義域被縮掉的那部分里.

可以以解對(duì)數(shù)方程和三角方程為例來(lái)分析增減根的情況，其原因往往是在解方程中不可避免地要進(jìn)行一些恒等變形，隨之引起方程定義域的變化所造成的. 例如lgx2=lg9， lg（x2-4）-lg（x+2）=1，解這類方程，往往不是失根，就是增根，但有時(shí)候也可以避免. 如lgx2=lg9，若推出2lgx=2lg3，得到x=3，就將x=-3這一個(gè)根丟了；若推出x 2=9，得到x=±3，這就避免了丟根的情況. 至于解三角函數(shù)，也同樣如此.

同解原理是解方程的理論基礎(chǔ)，所以，不管是初中階段的整式方程、分式方程、無(wú)理方程，還是高中階段的對(duì)數(shù)方程、三角方程，個(gè)人認(rèn)為解方程（組）的兩個(gè)步驟缺一不可，特別是“檢驗(yàn)”的步驟至關(guān)重要.