對(duì)高中數(shù)學(xué)中分段函數(shù)有關(guān)問題的解決方法的思考

蘇旭景

摘要：分段函數(shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用，它可以考查函數(shù)的很多重要知識(shí)，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，分段數(shù)與函數(shù)各個(gè)性質(zhì)的結(jié)合與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；方程；不等式；值域（最值）；單調(diào)性；周期性；圖像

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0264-01

因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用，它可以考查函數(shù)的很多重要知識(shí)，它可以與求值方程、不等式，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖像、周期和最值等問題相結(jié)合。所以分段函數(shù)是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng)，筆者就幾種具體的題型做了一些思考，解析如下：“分段函數(shù)”是指在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。對(duì)它的基本認(rèn)識(shí)我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不能把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)。

2.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域也是各段值域的并集。

3.解決分段函數(shù)的方法：分段解決，先分后合。

一、分段函數(shù)與方程、不等式相結(jié)合

解方程、不等式或求范圍時(shí)應(yīng)根據(jù)自變量的分段情況，轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式（組）求解，然后取這些方程、不等式（組）解集的并集。

例1：（2011·江蘇高考）已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=2x+a，x<1

-x-2a，x≥1.若f（1-a）=f（1+a），則a的值為________。

解：首先討論1-a，1+a與1的關(guān)系，

當(dāng)a<0時(shí)，1-a>1，1+a<1，所以f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a，f（1+a）=2（1+a）+a=3a+2.

因?yàn)閒（1-a）=f（1+a），所以-1-a=3a+2，所以a=-.

當(dāng)a>0時(shí)，1-a<1，1+a>1，所以f（1-a）=2（1-a）+a=2-a；

f（1+a）=-（1+a）-2a=-3a-1.

因?yàn)閒（1-a）=f（1+a），所以2-a=-3a-1，所以a=-（舍去）。

綜上，滿足條件的a=-。

分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分x≤1和x>1時(shí)分別解得x的范圍，再求其并集。

二、分段函數(shù)與值域（最值）相結(jié)合

研究分段函數(shù)的值域、最值問題時(shí)，應(yīng)先分段進(jìn)行，再整體進(jìn)行判斷。

例2：（2013北京13）函數(shù)f（x）=

logx，x≥1

2x，x<1的值域?yàn)?。

解：當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=logx≤0；當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=2x∈（0，2]，所以值域?yàn)椋?∞，2）。

三、分段函數(shù)與單調(diào)性相結(jié)合

各段單調(diào)（如遞增）+分界點(diǎn)處不等關(guān)系。

例3：（2012·長春模擬）ax（x>1）

（4-

）x+2（x≤1）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）。

A.（1，+∞） B.4，8） C.（4，8） D.（1，8）

解：因?yàn)閒（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以可得a>1，

4-

>0，

a≥4-

+2. 解得4≤a<8。

點(diǎn)評(píng)：此類問題學(xué)生在考慮時(shí)容易忽略分界點(diǎn)處的不等關(guān)系。

四、分段函數(shù)與周期性相結(jié)合

例4：（2012年江蘇）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上[-1，1]，f（x）=ax+1，-1≤x<0

，0≤x≤1

其中a，b∈R.若f

=f

，則a+3b的值為 。

【解析】∵f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，∴f（-1）=f（1），即-a+1= ①。

又∵f

=f

-=-a+1，f

=f

∴-a+1=②。

聯(lián)立①②，解得：a=2，b=-4。∴a+3b=-10?！敬鸢浮?10。

五、分段函數(shù)與圖像相結(jié)合

例5：（2013新課標(biāo)卷一12）已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）。

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解：畫出函數(shù)圖像如圖所示，當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=f（x）=x2-2x，

g'（x）=2x-2，g'（0）=-2，故a≥-2.

當(dāng)x>0時(shí)，g（x）=f（x）=ln（x+1），g'（x）=。

由于g（x）上任意點(diǎn)的切線斜率都要大于a，所以a≤0，綜上-2≤a≤0，選D。

點(diǎn)評(píng)：本題涉及分段函數(shù)、不等式、參數(shù)的取值范圍不下3個(gè)知識(shí)點(diǎn)。解題途徑一般采用數(shù)形結(jié)合法，綜合考查學(xué)生解決問題的綜合能力。此題是數(shù)形結(jié)合的典型代表，也是新課標(biāo)“慣用”的命題模式，2009年、2010年、2011年均用此類命題形式進(jìn)行命題。

通過以上幾例體現(xiàn)分段數(shù)與函數(shù)各個(gè)性質(zhì)的結(jié)合與應(yīng)用，希望對(duì)學(xué)習(xí)分段函數(shù)有所幫助。

endprint

摘要：分段函數(shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用，它可以考查函數(shù)的很多重要知識(shí)，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，分段數(shù)與函數(shù)各個(gè)性質(zhì)的結(jié)合與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；方程；不等式；值域（最值）；單調(diào)性；周期性；圖像

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0264-01

因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用，它可以考查函數(shù)的很多重要知識(shí)，它可以與求值方程、不等式，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖像、周期和最值等問題相結(jié)合。所以分段函數(shù)是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng)，筆者就幾種具體的題型做了一些思考，解析如下：“分段函數(shù)”是指在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。對(duì)它的基本認(rèn)識(shí)我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不能把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)。

2.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域也是各段值域的并集。

3.解決分段函數(shù)的方法：分段解決，先分后合。

一、分段函數(shù)與方程、不等式相結(jié)合

解方程、不等式或求范圍時(shí)應(yīng)根據(jù)自變量的分段情況，轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式（組）求解，然后取這些方程、不等式（組）解集的并集。

例1：（2011·江蘇高考）已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=2x+a，x<1

-x-2a，x≥1.若f（1-a）=f（1+a），則a的值為________。

解：首先討論1-a，1+a與1的關(guān)系，

當(dāng)a<0時(shí)，1-a>1，1+a<1，所以f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a，f（1+a）=2（1+a）+a=3a+2.

因?yàn)閒（1-a）=f（1+a），所以-1-a=3a+2，所以a=-.

當(dāng)a>0時(shí)，1-a<1，1+a>1，所以f（1-a）=2（1-a）+a=2-a；

f（1+a）=-（1+a）-2a=-3a-1.

因?yàn)閒（1-a）=f（1+a），所以2-a=-3a-1，所以a=-（舍去）。

綜上，滿足條件的a=-。

分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分x≤1和x>1時(shí)分別解得x的范圍，再求其并集。

二、分段函數(shù)與值域（最值）相結(jié)合

研究分段函數(shù)的值域、最值問題時(shí)，應(yīng)先分段進(jìn)行，再整體進(jìn)行判斷。

例2：（2013北京13）函數(shù)f（x）=

logx，x≥1

2x，x<1的值域?yàn)?。

解：當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=logx≤0；當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=2x∈（0，2]，所以值域?yàn)椋?∞，2）。

三、分段函數(shù)與單調(diào)性相結(jié)合

各段單調(diào)（如遞增）+分界點(diǎn)處不等關(guān)系。

例3：（2012·長春模擬）ax（x>1）

（4-

）x+2（x≤1）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）。

A.（1，+∞） B.4，8） C.（4，8） D.（1，8）

解：因?yàn)閒（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以可得a>1，

4-

>0，

a≥4-

+2. 解得4≤a<8。

點(diǎn)評(píng)：此類問題學(xué)生在考慮時(shí)容易忽略分界點(diǎn)處的不等關(guān)系。

四、分段函數(shù)與周期性相結(jié)合

例4：（2012年江蘇）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上[-1，1]，f（x）=ax+1，-1≤x<0

，0≤x≤1

其中a，b∈R.若f

=f

，則a+3b的值為 。

【解析】∵f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，∴f（-1）=f（1），即-a+1= ①。

又∵f

=f

-=-a+1，f

=f

∴-a+1=②。

聯(lián)立①②，解得：a=2，b=-4?！郺+3b=-10?！敬鸢浮?10。

五、分段函數(shù)與圖像相結(jié)合

例5：（2013新課標(biāo)卷一12）已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）。

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解：畫出函數(shù)圖像如圖所示，當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=f（x）=x2-2x，

g'（x）=2x-2，g'（0）=-2，故a≥-2.

當(dāng)x>0時(shí)，g（x）=f（x）=ln（x+1），g'（x）=。

由于g（x）上任意點(diǎn)的切線斜率都要大于a，所以a≤0，綜上-2≤a≤0，選D。

點(diǎn)評(píng)：本題涉及分段函數(shù)、不等式、參數(shù)的取值范圍不下3個(gè)知識(shí)點(diǎn)。解題途徑一般采用數(shù)形結(jié)合法，綜合考查學(xué)生解決問題的綜合能力。此題是數(shù)形結(jié)合的典型代表，也是新課標(biāo)“慣用”的命題模式，2009年、2010年、2011年均用此類命題形式進(jìn)行命題。

通過以上幾例體現(xiàn)分段數(shù)與函數(shù)各個(gè)性質(zhì)的結(jié)合與應(yīng)用，希望對(duì)學(xué)習(xí)分段函數(shù)有所幫助。

endprint

摘要：分段函數(shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用，它可以考查函數(shù)的很多重要知識(shí)，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，分段數(shù)與函數(shù)各個(gè)性質(zhì)的結(jié)合與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；方程；不等式；值域（最值）；單調(diào)性；周期性；圖像

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0264-01

因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用，它可以考查函數(shù)的很多重要知識(shí)，它可以與求值方程、不等式，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖像、周期和最值等問題相結(jié)合。所以分段函數(shù)是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng)，筆者就幾種具體的題型做了一些思考，解析如下：“分段函數(shù)”是指在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。對(duì)它的基本認(rèn)識(shí)我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不能把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)。

2.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域也是各段值域的并集。

3.解決分段函數(shù)的方法：分段解決，先分后合。

一、分段函數(shù)與方程、不等式相結(jié)合

解方程、不等式或求范圍時(shí)應(yīng)根據(jù)自變量的分段情況，轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式（組）求解，然后取這些方程、不等式（組）解集的并集。

例1：（2011·江蘇高考）已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=2x+a，x<1

-x-2a，x≥1.若f（1-a）=f（1+a），則a的值為________。

解：首先討論1-a，1+a與1的關(guān)系，

當(dāng)a<0時(shí)，1-a>1，1+a<1，所以f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a，f（1+a）=2（1+a）+a=3a+2.

因?yàn)閒（1-a）=f（1+a），所以-1-a=3a+2，所以a=-.

當(dāng)a>0時(shí)，1-a<1，1+a>1，所以f（1-a）=2（1-a）+a=2-a；

f（1+a）=-（1+a）-2a=-3a-1.

因?yàn)閒（1-a）=f（1+a），所以2-a=-3a-1，所以a=-（舍去）。

綜上，滿足條件的a=-。

分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分x≤1和x>1時(shí)分別解得x的范圍，再求其并集。

二、分段函數(shù)與值域（最值）相結(jié)合

研究分段函數(shù)的值域、最值問題時(shí)，應(yīng)先分段進(jìn)行，再整體進(jìn)行判斷。

例2：（2013北京13）函數(shù)f（x）=

logx，x≥1

2x，x<1的值域?yàn)?。

解：當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=logx≤0；當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=2x∈（0，2]，所以值域?yàn)椋?∞，2）。

三、分段函數(shù)與單調(diào)性相結(jié)合

各段單調(diào)（如遞增）+分界點(diǎn)處不等關(guān)系。

例3：（2012·長春模擬）ax（x>1）

（4-

）x+2（x≤1）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）。

A.（1，+∞） B.4，8） C.（4，8） D.（1，8）

解：因?yàn)閒（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以可得a>1，

4-

>0，

a≥4-

+2. 解得4≤a<8。

點(diǎn)評(píng)：此類問題學(xué)生在考慮時(shí)容易忽略分界點(diǎn)處的不等關(guān)系。

四、分段函數(shù)與周期性相結(jié)合

例4：（2012年江蘇）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上[-1，1]，f（x）=ax+1，-1≤x<0

，0≤x≤1

其中a，b∈R.若f

=f

，則a+3b的值為 。

【解析】∵f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，∴f（-1）=f（1），即-a+1= ①。

又∵f

=f

-=-a+1，f

=f

∴-a+1=②。

聯(lián)立①②，解得：a=2，b=-4?！郺+3b=-10?！敬鸢浮?10。

五、分段函數(shù)與圖像相結(jié)合

例5：（2013新課標(biāo)卷一12）已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）。

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解：畫出函數(shù)圖像如圖所示，當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=f（x）=x2-2x，

g'（x）=2x-2，g'（0）=-2，故a≥-2.

當(dāng)x>0時(shí)，g（x）=f（x）=ln（x+1），g'（x）=。

由于g（x）上任意點(diǎn)的切線斜率都要大于a，所以a≤0，綜上-2≤a≤0，選D。

點(diǎn)評(píng)：本題涉及分段函數(shù)、不等式、參數(shù)的取值范圍不下3個(gè)知識(shí)點(diǎn)。解題途徑一般采用數(shù)形結(jié)合法，綜合考查學(xué)生解決問題的綜合能力。此題是數(shù)形結(jié)合的典型代表，也是新課標(biāo)“慣用”的命題模式，2009年、2010年、2011年均用此類命題形式進(jìn)行命題。

通過以上幾例體現(xiàn)分段數(shù)與函數(shù)各個(gè)性質(zhì)的結(jié)合與應(yīng)用，希望對(duì)學(xué)習(xí)分段函數(shù)有所幫助。

endprint