基于Mises屈服條件的外壓圓筒自增強研究

唐 峰,朱瑞林,夏新遠

(1.湖南師范大學工程與設計學院，中國 長沙 410081；2.中航工業(yè)飛機起落架有限責任公司，中國 長沙 410200)

基于Mises屈服條件的外壓圓筒自增強研究

唐 峰1*,朱瑞林1,夏新遠2

(1.湖南師范大學工程與設計學院，中國 長沙 410081；2.中航工業(yè)飛機起落架有限責任公司，中國 長沙 410200)

為了更加準確地確定超應變度，基于米賽斯(Mises)屈服準則，建立了外壓圓筒應力方程．在此基礎上，按卸載定理分別建立了受外壓與受內(nèi)壓圓筒自增強方程，通過對當量應力求解，獲得在彈性階段與塑性階段產(chǎn)生屈服的規(guī)律，并與按屈雷斯加(Tresca)屈服條件導出的方程進行了比較．研究表明，外壓圓筒的彈性及塑性應力方程與受內(nèi)壓圓筒狀態(tài)時方程不同，自增強處理后的殘余應力大小也有差異，而且按米賽斯屈服準則的殘余應力分量比按屈雷斯加屈服條件的殘余應力分量大．但由于內(nèi)外壓圓筒的殘余應力的當量應力形式是一樣的，所以兩個強度理論導出的結(jié)果在許多地方相同．

外壓圓筒；自增強；彈塑性應力；強度理論

隨著外壓容器已廣泛應用于真空貯罐、減壓塔、潛艇外殼等，相應的外壓自增強理論的研究也在不斷深入．文獻[1]按第三強度理論，即屈雷斯加(Tresca)屈服條件導出外壓圓筒彈-塑性應力參數(shù)方程，即用最大切應力理論較為滿意地解釋了塑性材料的屈服現(xiàn)象．但不同的材料可能發(fā)生不同形式的失效，即使同一材料在不同的應力狀態(tài)下也可能有不同的失效形式[2]，該理論沒有考慮到其它主剪應力的影響．所以，本文基于米賽斯(Mises)屈服條件，即按均方根剪應力理論對圓筒受外壓條件下的自增強理論進行了研究，建立了外壓圓筒自增強解析解與關系曲線，這對研究外壓圓筒自增強有著重要意義．

1 圓筒各向彈-塑性應力計算

設圓筒內(nèi)、外半徑各為ri、ro，所受外壓為p，彈-塑性界面半徑為rj．為了分析方便，定義k=ro/ri為徑比，kj=rj/ri稱為塑性區(qū)厚度，pj為彈-塑性界面上的壓力．

圓筒體一般由鋼材料制成，其破壞形式多為塑性屈服，滿足米賽斯(Mises)條件，按照第四強度理論，則有[3]

(1)

式中，σr、σt分別為徑、周向應力屈服強度．

根據(jù)筒壁單元體的平衡方程為：dσr/dr+(σr-σt)/r=0[3]，將式(1)代入該式得：dσr/dr+σs/r=0，則該式的解為：

(2)

式(2)的邊界條件：(1)r=ri時，σr=0； (2)r=rj時，σr=σpj．

由條件(1)與式(2)聯(lián)合解出積分常數(shù)C，將C代回式(2)得塑性區(qū)：

(3)

由式(1)得：

(4)

而軸向應力：

(5)

由條件(2)與式(3) 聯(lián)合求解，得彈-塑性區(qū)界面壓力：

(6)

代入式(1)求解出：

(7)

令式(6)=式(7)得外壓與相應的rj的關系：

(8)

該等式的右邊第一項表示塑性層全屈服壓力大小，第二項表示彈性層內(nèi)壁面初始屈服壓力大小．

在式(8)中，令kj=1得初始屈服載荷：

而在彈性區(qū)的應力可由文獻[3～5]等直接得到：

(9)

(10)

(11)

取k=3.5，kj=1.712 76…(p=1.060 442…σy)和kj=k=3.5(全屈服，p=1.446 566…σy)，得彈-塑性狀態(tài)應力分布狀態(tài)，分別如圖1(a)、(b)所示．

(a) (b)1. σr/σy; 2.σz/σy; 3. σt/σy

式(8)表示的是進行自增強處理時所需要施加的外壓pa大小，即自增強壓力，由該式可知，壓力與塑性區(qū)厚度有關，所以只要rj確定了，自增強壓力就可按式(8)求得，并在此基礎上，可以對外壓自增強進行分析．

2 內(nèi)外壓自增強方程推導及理論的建立

圓筒容器在卸除pa后，筒壁中會存在殘余應力大小，按卸載定理[3]推導，分別求得徑向、周向、軸向應力改變量：

(12)

將式(8)代入式(12)得，應力改變量分別為：

(13)

(14)

(15)

再將式(3)～(5)和式(9)～(11)與式(13)～(15)相減，求得殘余應力．

塑性區(qū)：

(16)

(17)

(18)

彈性區(qū)：

(19)

(20)

盡管由式(19)、(20)公式得出彈-塑性區(qū)殘余應力的當量應力與按第三強度分析的結(jié)果相同[1]，但是由式(16)～(18)所得出的計算結(jié)果不相同，這是由于米賽斯(Mises)屈服條件與屈雷斯加( Tresca) 屈服條件之間的條件不同所致，由此可見，雖然兩個強度理論都適用于塑性屈服材料，但第三強度理論只適用拉伸屈服極限與壓縮屈服極限相同的材料．

(21)

(22)

在式(21)中令kj=k，得全屈服時容器內(nèi)表面殘余應力的當量應力為：

(23)

(24)

解式(24)得：

1. kj*=k; 2. k2ln kj*2-k2-kj*2+2=0

k≤2.218 457 489 916 7…=kc,

(25)

令kc=2.218 457 489 916 7…為臨界徑比．

因此，當k≤kc時，容器不會產(chǎn)生屈服；而k≥kc時，容器會產(chǎn)生屈服．

k2lnkj*2-k2-kj*2+2=0,

(26)

或

(27)

由以上比較分析可知，式(22)～(27)與外壓容器公式相同，并且與按第三強度計算情況相同[1，6-7]．用圖表示最佳塑性厚度，如圖2(實線oab)所示．

外壓引起的當量應力是：

(28)

1. k=3.5，kj=1.712 755，p/σy=1.060 439(按式(8)確定);2. k=3.5，kj=1.6，p/σy=0.999 409(按式(8)確定);3. k=3.5，kj=1.6，p/σy=1.060 439(大于式(8)確定的值) ;4. k=3.5，kj=1.6，p/σy=0.95(小于式(8)確定的值);5. k=3.5，kj=2，p/σy=1.189 205(按式(8)確定);6. k=3.5，kj=2，p/σy=1.060 439(小于式(8)確定的值);7. k=3.5，kj=2，p/σy=1.2(大于式(8)確定的值)

由于鋼材在外壓作用下，會出現(xiàn)彈性與塑性變化情況，因而需要分別討論．

塑性區(qū)內(nèi)當量應力，由上面討論可得：

(29)

(30)

彈性區(qū)內(nèi)當量應力：

當kj達到k位置時，即kj=k，式(30)成為全屈服壓力(py/σy)[1,6-7]：

1. py/σy=(2/30.5)ln k; 2. p/σy=2pe/σy; 3. pe/σy

(31)

結(jié)合式(30)與(26)可得：當kj=kj*時，自增強容器的承載壓力為：

(32)

將式(32)代入(29)得：

σep*/σy=2(r/ri)-2,

于是在塑性區(qū)當量應力：

(33)

(34)

在容器內(nèi)表面，r/ri=1，于是式(34)成為：

(35)

在容器彈塑性界面處，r/ri=kj，式(34)成為：

(36)

當kj=kj*時，結(jié)合式(36)與(26)可得：

由式(30)/(35)得：

(37)

為了求解總當量應力，將式(35)代入式(29)得：

(38)

因此，自增強容器承受由式(35)所表達的載荷時，一定不會屈服．

在彈性區(qū)當量應力：

在容器外表面，r/ri=ro/ri=k，則

(39)

(40)

3 結(jié)論

按第四強度理論建立了外壓圓筒應力方程，并在此基礎上，按卸載定理建立了外壓圓筒自增強理論與設計計算方法，通過對該解析解分析，獲得產(chǎn)生屈服條件及規(guī)律， 這些規(guī)律、關系式及數(shù)據(jù)、圖表，可作為圓筒壓力容器工程設計時參考的依據(jù)．內(nèi)壓自增強圓筒建立過程與外壓自增強圓筒相同，所以本文建立的外壓圓筒自增強理論同樣適用于內(nèi)壓自增強圓筒，其中本文討論的一些參數(shù)可以用于實際生產(chǎn)．

[1] 朱瑞林，朱國林.外壓自增強圓筒的設計計算方法[J].中國機械工程， 2010，21(15)：1869-1874.

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[9] ZHU R L, ZHU G L, TANG F. Anaylysis on autofrettage of clinders[J]. Chin J Mech Engin, 2012，25(3)：615-618.

[10] 賈紅光.基于ANSYS的厚壁圓筒的彈塑性應力分析 [J].青海大學學報:自然科學版, 2010，28(3)：8-12.

[11] 唐 峰，許第洪.SolidWorks與Pro/Engineer之間圖形數(shù)據(jù)交換方式的研究[J].湖南師范大學自然科學學報, 2011，34(1):37-42.

[12] 陳盛秒.外層容器設計的公式法及其應用[J].壓力容器， 2008，28(1)：30-33.

(編輯 陳笑梅)

Study on Autofrettage of External Pressure Cylinders Based on Mises Yield Criterion

TANGFeng1*,ZHURui-lin1,XIAXin-yuan2

(1. College of Polytechnic, Hunan Normal University, Changsha 410081, China;2. AVIC Landing Gear Advanced Manufacturing Corp, Changsha 410200, China)

In order to accurately determine the value of super strain，the strain equation of pressure cylinders was established on the basis of Mises yield criterion. Based on this，the equation on autofrettage of external pressure cylinders and internal pressure cylinders was built by offloading theorem，the yield rule in the plastic stage and the elastic phase was obtained through solving equivalent stress, and comparison between the results based on Mises and Tresca yield criterion was made. Results show that the elastic and the plastic stresses of the external pressure cylinders are different from equation of the internal pressure cylinders and their residual stresses after removing autofrettage pressure also differ from each other. The components of the residual stresses based on Mises yield criterion are greater than those based on Tresca yield criterion. But the equivalent stress expression of residual stresses of the external pressure cylinders is the same as the internal pressure cylinders. Therefore, the derived results are identical with that according to Tresca yield criterion and Mises yield criterion in many places.

external pressure vessel; autofrettage; elastic-plastic stresses; load-bearing capacity

2013-11-21

國家自然科學基金資助項目(51275060);湖南省科技廳資助項目(2012GK3122);湖南省高等學?？茖W研究項目(12C0198)

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,E-mail：ytangfengmm@sina.com

TH49

A

1000-2537(2014)05-0058-07