徑向壓力作用下夾層圓板自由振動(dòng)理論解

廖明建，李映輝

（1.中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽(yáng)621999；2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031）

徑向壓力作用下夾層圓板自由振動(dòng)理論解

廖明建1，李映輝2

（1.中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽(yáng)621999；2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031）

基于小撓度薄板理論，建立徑向均布?jí)毫ψ饔孟聤A層圓板的振動(dòng)控制方程。采用分離變量法導(dǎo)出夾層圓板的固有頻率及振型解析式，計(jì)算徑向均布?jí)毫ψ饔孟轮苓吂讨A層圓板固有頻率和振型，討論徑向均布?jí)毫蛫A心層比率對(duì)固有頻率的影響。研究表明夾層圓板的固有頻率隨徑向壓力增大而減小，臨界壓力隨階次的增大而增大；作用徑向壓力的夾層圓板固有頻率隨夾心層比率增大，先緩慢增大，到峰值后減小，該趨勢(shì)與無(wú)徑向壓力時(shí)相同。

振動(dòng)與波；夾層圓板；固有頻率；徑向均布?jí)毫?/p>

本文擬基于小撓度薄板理論，建立徑向均布?jí)毫ψ饔孟聤A層圓板的振動(dòng)控制方程，采用分離變量法導(dǎo)出夾層圓板的固有頻率及振型的理論解。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算周邊固支夾層圓板固有頻率和振型，討論徑向壓力和夾心層厚度對(duì)固有頻率的影響。

1 夾層圓板力學(xué)模型

圖1為徑向作用均布?jí)毫的夾層圓板模型。夾層圓板由上下兩層對(duì)稱(chēng)約束層和夾心層組成。約束層彈性模量Ec，泊松比mc，密度rc，厚度h/2；夾心層彈性模量Ej，泊松比mj，密度rj，厚度H，夾層板等效密度ρ=(rch+rjH)/(H+h)。

圖1 夾層圓板模型

假定夾層圓板各層均為各向同性材料，處于小撓度狀態(tài)，徑向壓力與橫向撓曲無(wú)關(guān)。采用如圖1所示的坐標(biāo)系，夾層圓板平衡方程[8]為

其中Nr、Nq、Nrq為相應(yīng)方向的膜內(nèi)力；Qr、Qq、Mr、Mq、Mrq為相應(yīng)方向的剪力和力矩，w為板中面橫向位移，q為橫向荷載。

板內(nèi)任意一點(diǎn)的徑向、環(huán)向位移分別為

夾層板應(yīng)變與撓度w關(guān)系為

各層的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

其中c表示約束層，j表示夾心層。

夾層板的彎矩和扭矩分別為

受壓夾層板的膜內(nèi)力求解屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，由文獻(xiàn)[9]可得

將(5)和(6)代入(1)，得徑向均布?jí)毫ψ饔孟聤A層圓板的橫向振動(dòng)方程為

其中D為廣義彎曲剛度，?2為極坐標(biāo)下調(diào)和算子，表達(dá)式分別為

2 夾層圓板振動(dòng)特性

2.1 夾層圓板固有振型

若方程(7)中q=0，即得徑向均布?jí)毫ψ饔孟聤A層圓板的自由振動(dòng)方程。采用分離變量求解，令

將式(9)代入方程(7)，可得振型方程

式中

其中w為系統(tǒng)固有圓頻率。

令方程(10)的解為

把式(12)代入方程(10)得

式(13)均是貝塞爾方程[10]，其解為

其中Jm(ar)、Ym(ar)、Im(ar)、Km(ar)分別為實(shí)宗量的第一類(lèi)及第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)、虛宗量的第一類(lèi)及第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)。

對(duì)于完整的夾層圓板，在圓心處振型為有限值。若將坐標(biāo)軸置于振型對(duì)稱(chēng)軸上，則式(12)簡(jiǎn)化為

其中系數(shù)Am和Cm由夾層圓板的邊界條件確定。

2.2 周邊固支夾層圓板的固有頻率

周邊固支邊界條件為

將式(15)代入式(16)，可得齊次線性方程組

式中

由齊次線性方程組非零解條件，得頻率方程

通過(guò)求解頻率方程可得其n個(gè)正根φmn，然后將φmn代入式(11)，可求出徑向均布?jí)毫ψ饔孟轮苓吂讨A層圓板的各階固有頻率

將φmn代入式(15)，可求出夾層圓板各階振型。

3 算例

3.1 理論解的有效性驗(yàn)證

首先，為驗(yàn)證本文方法的正確性，計(jì)算了徑向壓力為零時(shí)夾層圓板的各階固有頻率和振型。本算例中夾層圓板的幾何尺寸和材料參數(shù)數(shù)值如表1。

表2給出了各階固有頻率及其對(duì)應(yīng)固有振型的理論計(jì)算結(jié)果，并與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較。表中m為節(jié)徑數(shù)，n為節(jié)圓數(shù)。從表2可見(jiàn)，理論解與有限元結(jié)果比較接近。后文在此基礎(chǔ)上主要討論徑向均布?jí)毫蛫A層厚度參數(shù)對(duì)夾層圓板的振動(dòng)特性的影響。

3.2 徑向壓力對(duì)固有頻率的影響

圖2給出了周邊固支夾層圓板各階固有頻率與徑向均布?jí)毫Φ淖兓P(guān)系。算例中幾何參數(shù)和材料參數(shù)如表1。固有頻率為零時(shí)對(duì)應(yīng)的徑向壓力即為夾層板失穩(wěn)的臨界載荷。從圖2可見(jiàn)，徑向壓力對(duì)夾層圓板各階頻率影響趨勢(shì)相同，均表現(xiàn)出隨徑向壓力增大，固有頻率減?。慌R界載荷隨階次的增大而增大。

表1 夾層圓板的幾何尺寸和材料參數(shù)

表2 周邊固支夾層圓板固有頻率(P=0)

3.3 夾心層比率對(duì)固有頻率的影響

圖2 徑向壓力對(duì)固有頻率的影響

夾心層比率定義為夾心層厚度占夾層板總厚度的比值。圖3給出了半徑1.0 m、總厚度0.01 m固支夾層圓板在徑向均布?jí)毫=0和P=2 000 N/m時(shí)各階固有頻率隨夾心層比率的變化。算例中材料參數(shù)見(jiàn)表1。從圖3可見(jiàn)，作用徑向壓力時(shí)的夾層圓板各階頻率均表現(xiàn)出隨夾心層比率增大，先緩慢增大，到峰值后減小的趨勢(shì)。該趨勢(shì)與無(wú)徑向壓力時(shí)相同；在夾心層比率一定時(shí)，有徑向壓力作用時(shí)夾層圓板的固有頻率會(huì)比無(wú)徑向壓力時(shí)固有頻率小。

圖3 夾心層比率對(duì)固有頻率的影響

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)小撓度薄板理論，建立了徑向均布?jí)毫ψ饔孟聤A層圓板的振動(dòng)控制方程，采用分離變量法導(dǎo)出了夾層圓板的固有頻率及振型的理論解，討論了徑向均布載荷和夾心層厚度對(duì)固有頻率的影響，得到如下結(jié)論：

(1)夾層圓板的固有頻率隨徑向壓力增大而減??；臨界壓力隨階次的增大而增大；

(2)作用徑向壓力時(shí)的夾層圓板各階頻率隨夾心層比率的變化趨勢(shì)與無(wú)徑向壓力時(shí)相同，均表現(xiàn)出隨夾心層比率增大，先緩慢增大，到峰值后減小的趨勢(shì)。

本文研究結(jié)果既可用于研究不考慮徑向壓力時(shí)夾層圓板的振動(dòng)特性，又可用于驗(yàn)證其它數(shù)值解法的正確性。

[1]徐 中，石慧榮，趙 軍，等.多點(diǎn)敷設(shè)支撐層的粘彈性約束阻尼梁振動(dòng)分析[J].噪聲與振動(dòng)控制，2009，(1)：21-24.

[2]李 智，殷祥超，何興華，等.復(fù)合層板減振降噪特性的數(shù)值模擬研究[J].噪聲與振動(dòng)控制，2006，(6)：27-30.

[3]Vinson J R.The behavior of sandwich structure of isotropic andcompositematerials[M].Lancaster:Techomic Publishing,1999.

[4]王盛春，鄧兆祥，沈衛(wèi)東，等.四邊簡(jiǎn)支條件下正交各向異性蜂窩夾層板的固有特性分析[J].振動(dòng)與沖擊，2012，31(9)：73-77.

[5]杜國(guó)君.圓薄板和夾層圓板非線性振動(dòng)研究[D].河北：燕山大學(xué)，2004.

[6]杜國(guó)君，胡達(dá)宇，張秀禮.靜載荷作用下夾層圓板大幅度振動(dòng)的時(shí)域特性分析[J].工程力學(xué)，2008，25(4)：39-44.

[7]杜國(guó)君，馬建青.復(fù)合載荷下夾層圓板的非線性振動(dòng)和屈曲[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)，2007，28(8)：967-975.

[8]曹志遠(yuǎn).板殼振動(dòng)理論[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，1989.

[9]徐芝綸.彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[10]吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.

Analytical Solution of Free Vibration of Sandwich Circular Plate Subjected to Radial Compression

LIAO Ming-jian1,LI Ying-hui2

（1.Institute of System Engineering,CAEP,Mianyang 621999,Sichuan China; 2.School of Mechanics and Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

Based on the basic assumptions of elastic thin plates,the vibration control equation of a sandwich circular plate subjected to uniform radial compression is established.The analytical expressions of natural frequencies and vibration modes are derived by employing the method of separate variables.The natural frequencies and modes of a clamped sandwich circular plate are calculated.The influence of radial compression and core ratio on natural frequency is discussed.It is concluded that the natural frequency decreases with the radial compression increasing,the critical compressive force increases with the increase of orders,and the natural frequency of the plate increases at first and then decreases with the increase of core ratio.

vibration and wave;sandwich circular plate;natural frequency;uniform radial compression

1006-1355(2014)03-0011-04

O326

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.03.003

夾層板結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、強(qiáng)度高、剛度大等諸多優(yōu)點(diǎn)，在航空、航天等重要工業(yè)中應(yīng)用廣泛。飛行器結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的夾層圓板通常既承受面力，又承受橫向載荷，因此研究面力作用下夾層圓板的彎曲振動(dòng)問(wèn)題在飛行器設(shè)計(jì)中有重要的實(shí)際意義。目前對(duì)夾層結(jié)構(gòu)的研究主要集中在振動(dòng)特性、非線性振動(dòng)和穩(wěn)定性等方面。徐中[1]采用假設(shè)模態(tài)法研究了夾層約束阻尼梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。李智等[2]采用理論模態(tài)分析技術(shù)研究了懸臂復(fù)合層板的動(dòng)態(tài)特性。Vinson[3]運(yùn)用經(jīng)典疊層板理論研究了復(fù)合材料夾層矩形板的振動(dòng)特性問(wèn)題；王盛春等[4]研究了四邊簡(jiǎn)支條件下正交各向異性蜂窩夾層板的固有特性；杜國(guó)君[5]利用修正迭代法討論了夾層板參數(shù)對(duì)夾層圓板非線性振動(dòng)的影響；杜國(guó)君等[6]采用假設(shè)模態(tài)法和變分法研究了均布載荷作用下夾層圓板大幅度振動(dòng)時(shí)初撓度和夾層板剪切參數(shù)對(duì)其振動(dòng)特性的影響；杜國(guó)君等[7]采用假設(shè)模態(tài)法和變分法研究了復(fù)合載荷下夾層圓板的非線性振動(dòng)和屈曲問(wèn)題。對(duì)于面內(nèi)徑向壓力作用下夾層圓板結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)特性的研究較少。

2013-06-12

國(guó)家自然科學(xué)基金（11072204）；中央高校業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)（SWJTU11ZT15）；中國(guó)工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（2010A0203007）

廖明建（1976-），男，重慶市合川人，碩士，從事結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制研究。

E-mail:liaomj@caep.ac.cn