高考中的實際應(yīng)用問題

向清耀

高考題是風(fēng)向標，是導(dǎo)航儀！近兩年數(shù)學(xué)高考題在應(yīng)用能力命題方面是如何考查的？考查哪些知識？有哪些創(chuàng)新？對考生有哪些能力要求？筆者就近兩年高考中主要的幾類應(yīng)用問題進行分析.

一、古典版“新問題·新思考”

例1 （2014年高考湖北卷—19）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量[X] （年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量[X]限制，并有如下關(guān)系；

[ 年入流量[X]＼& [40120]＼&發(fā)電機最多運行臺數(shù)＼& 1＼& 2＼&3＼&]

若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？

分析 此題屬于概率傳統(tǒng)題型，考查期望方差，第一問較簡單，考查概率統(tǒng)計的[N]次獨立重復(fù)試驗恰好發(fā)生[K]次的概率，但第二問中，要求考生能夠根據(jù)題意，分1，2，3臺發(fā)電機三種情形進行討論，分別求出期望值，再比較最值得出結(jié)論.

解 （1）依題意得，[p1=p（40

[p2=p（80≤x≤120）=3550=0.7]，

[p3=p（x>120）=550=0.1].

由二項分布知，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為：

[p=C04（1-p3）4+C14（1-p3）3=（910）4+4×（910）3×（110）=0.9477.]

（2）記水電站年總利潤為[Y]（單位：萬元）.

①安裝1臺發(fā)電機的情形

由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，

對應(yīng)的年利潤[Y=5000]，[E（Y）=5000×1=5000].

②安裝2臺發(fā)電機的情形

依題意，當(dāng)[40

因此[P（Y=4200）=P（40

當(dāng)[X≥80]時，兩臺發(fā)電機運行，

此時[Y=5000×2=10000]，

因此[P（Y=10000）=P（X≥80）=p2+p3=0.8].

由此得Y的分布列如下：

所以[E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840].

③安裝3臺發(fā)電機的情形

依題意，當(dāng)[40

因此[P（Y=15000）=P（X>120）=p3=0.1]，由此得[Y]的分布列如下.

[[Y]＼&3400＼&9200＼&15000＼&[P]＼&0.2＼&0.7＼&0.1＼&]

所以，

[E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620].

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺.

點撥 很多考生因為思維固化模式，求期望時不知道分三種情況討論. 可見高考不僅僅考基礎(chǔ)知識，關(guān)鍵考查靈活運用知識解決新問題的能力！在以往各地高考試題中此類題不多見.雖然難度不大，屬基本題，但是能考查考生靈活性，體現(xiàn)其選拔功能！考生不能只做熟練的“賣油翁”！還需做熟練的“能工巧匠”！

二、經(jīng)典版“新定義·新視角”

例2 （2014年高考江蘇卷—18）如圖，為了保護河上古橋[OA]，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m. 經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處， 點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），[tan∠BCO=43].

（1）求新橋[BC]的長；

（2）當(dāng)[OM]多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？

分析 此題面孔親切，生活氣息濃厚，第一問可以用解析法，建系是基礎(chǔ)，求出點[B]的坐標是關(guān)鍵，[BC]的長容易求解，也可以通過三角形相似，解三角形的知識求解.第二問可以用直線與圓的知識求出點[M（0，d）]到直線[BC]的距離是[r]；也可以通過直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系表示出[d]與[r]的關(guān)系再求解！

解 法一：（1）如圖，以[O]為坐標原點，[OC]所在直線為[x]軸，建立平面直角坐標系[xOy].

由條件知，[A（0，60），C（170，0）]，直線[BC]的斜率[kBC=-tan∠BCO=-43].

又因為[AB⊥BC]，所以直線[AB]的斜率[kBC=34].

設(shè)點[B]的坐標為[B（a，b）]，

則[kBC=b-0a-170=-43]，[kAB=b-60a-0=34].

解得[a=80，b=120]，

所以[BC=（170-80）2+（0-120）2=150].

因此新橋[BC]的長是[150m].

（2）設(shè)保護區(qū)的邊界圓[M]的半徑為[rm，OM=dm（0≤d≤60）].

由條件知，直線[BC]的方程為[y=-43（x-170）]，即[4x+3y-680=0].

由于圓[M]與直線[BC]相切，故點[M（0，d）]到直線[BC]的距離是[r]，

即[r=3d-68042+32=680-3d5].

因為[O]和[A]到圓[M]上任意一點的距離均不少于[80m]，

所以[r-d≥80，r-（60-d）≥80，]即[680-3d5-d≥80，680-3d5-（60-d）≥80，]

解得[10≤d≤35].

故當(dāng)[d=10]時，[r=680-3d5]最大，即圓的面積最大.

所以當(dāng)[OM=10]時，圓的面積最大.

法二：（1）如圖，延長[OA，CB]交于點[F]，

因為[tan∠FCO=43].

所以[sin∠FCO=45，cos∠FCO=35]，

[OA=60，OC=170].

所以[OF=OCtan∠FCO=6803，]

[CF=OCcos∠FCO=8503].

從而[AF=OF-OA=5003]，因為[OA⊥OC]，

所以[cos∠AFB=sin∠FCO=45].

又因為[AB⊥BC]，所以[BF=AFcos∠AFB=4003]，

從而[BC=CF-BF=150].

因此新橋[BC]的長是[150m].

（2）設(shè)保護區(qū)的邊界圓[M]與[BC]的切點為[D]，連接[MD]，則[MD⊥BC]，且[MD]是圓[M]的半徑，并設(shè)[MD=rm，OM=dm（0≤d≤60）]， 因為[OA⊥OC]，所以[sin∠CFO=cos∠FCO]

故由（1）知，

[sin∠CFO=MDMF=MDOF-OM=r6803-d=35，]

所以[r=680-3d5].

以下同法一.

點撥 “一題多解”在高考命題中備受命題者的青睞，這類題往往入題容易，但是深入難，得高分更難！雖然都會做，但是誰能做對做全，特別是在單位時間內(nèi)能否最快完成，這對考生的心態(tài)和綜合素質(zhì)提出了很高的能力要求！

三、創(chuàng)新版“新背景·新思維”

例3 （2013年高考湖南卷—20）在平面直角坐標系[xOy]中，將從點[M]出發(fā)沿縱、橫方向到達點[N]的任一路徑成為[M]到[N]的一條“L路徑”.如圖所示的路徑[MM1M2M3N與路徑MN1N]都是[M]到[N]的“[L]路徑”.某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面[xOy]內(nèi)三點[A（3，20），B（-10，0），C（14，0）]處.現(xiàn)計劃在[x]軸上方區(qū)域（包含[x]軸）內(nèi)的某一點[P]處修建一個文化中心.

（1）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；

（2）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小.

分析 本題考查分析解決應(yīng)用問題的能力，以及絕對值的基本知識. 第一問作為鋪墊，屬送分題；第二問題中修建一個文化中心的P給出在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，所以此題必須分[y≥1]，和[0≤y≤1]情況討論！函數(shù)關(guān)系中與[x，y]都有關(guān)系，如何求最值，是此題能否順利解答的關(guān)鍵！如：[d=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|+2 |y| + |y - 20|]，[a]應(yīng)該看成以[x]和[y]兩個變量值相加，再根據(jù)零點分段法分類討論，結(jié)合[x∈R，y≥1]，求出最值，再比較最值，判斷出最小值.

解 設(shè)點[P]的坐標為[（x，y）].

（1）[P]到居民區(qū)[A]的“[L]路徑 ”長度最小值為[d=|x- 3| + |y - 20|]，其中[y≥0，x∈R.]

（2）由題意知，點[P]到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點[P]分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和（記為[d]）的最小值.

①當(dāng)[y≥1]時，

[d=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|+2 |y| + |y - 20|]，

因為[d1（x）=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|]

[≥x+10+x-14].（*）

當(dāng)且僅當(dāng)[x=3]時，不等式（*）的等號成立.

又因為[x+10+x-14≥24].（**）

當(dāng)且僅當(dāng)[x∈-10，14]時，不等式（**）的等號成立.

所以[d1≥24]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=3]時，不等式（*）的等號成立.

[d2（y）=2y+|y- 20| ≥21].

當(dāng)且僅當(dāng)[y=1]時，等號成立.

故當(dāng)[P]的坐標為[（3，1）]時，[P]到三個居民區(qū)的“[L]路徑”長度最小值之和（記為[d]）的最小，最小值為45.

②當(dāng)[0≤y≤1]時，由于“[L]路徑”不能進入保護區(qū)，

[d（x）=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|+1+1-y+y+y-20].

此時[d1（x）=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|]，

[d2（y）=1+1-y+y+y-20=22-y≥21].

由①知[d1≥24]，故[d1（x）+d2（y）≥45]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=3，y=1]時，等號成立.

綜上所述，故當(dāng)[P]的坐標為[（3，1）]時，修建文化中心，使得它到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和最小，最小值為45.endprint

點撥 自定義是近年來受命題者青睞的題型，源于它能夠較好地考查考生對新知識的閱讀理解能力，這也恰好是我們后續(xù)學(xué)習(xí)必備的重要能力.如本題，自定義“[L]路徑”，理解題意后，分類討論，寫出函數(shù)關(guān)系式再求解，難度并不大.

四、靈動版“新跨度·新挑戰(zhàn)”

例4 （2013年高考湖北卷—19）假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)[X]是服從正態(tài)分布[N（800，502）]的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為[P0].

（1）求[P0]的值：

[參考數(shù)據(jù)：若[X～N（μ，σ2）]，有[P（μ-σ

（2）某客運公司用[A]，[B]兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次， [A]，[B]兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的運營成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求[B]型車不多于[A]型車7輛.若每天要以不小于[P0]的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運營成本最小，那么應(yīng)配備[A]型車[B]型車各多少輛？

分析 此題第一問較簡單，考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識，用數(shù)形結(jié)合的思想求概率，第二問學(xué)生知道屬于線性規(guī)劃問題，但是問題關(guān)鍵在于“若每天要以不小于[P0]的概率運完從甲地去乙地的旅客”這句話的理解，且轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，是本題得分的關(guān)鍵！不低于[P0]，意思也即運送的人員超過900人，問題解決！很多學(xué)生對這句話理解不透，失分可可惜！

解 （1）每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)[X]是服從正態(tài)分布[N（800，502）]，

[P0=0.5+12×0.9544=0.9772].

（2）設(shè)配備[A]型車[x]輛， [B]型車[y]輛，運營成本為[z]元，

由已知條件得，

所以配備[A]型車5輛， [B]型車12輛可使運營成本最小.

點撥 此題改變以往傳統(tǒng)題型中考查頻率分布直方圖、概率、期望方差等固定模式，將統(tǒng)計中的正態(tài)分布，與線性規(guī)劃完美整合，題目新穎，區(qū)分度高，是近年來高考命題應(yīng)用題中最具創(chuàng)新、最成功的應(yīng)用題之一！數(shù)學(xué)來源于生活，只要用心思考，數(shù)學(xué)無處不在，會學(xué)、會思考、會應(yīng)用，學(xué)會大跨度、新角度思考問題，如：立體幾何與解析幾何；統(tǒng)計與函數(shù)；解三角形與立體幾何；不等式與概率統(tǒng)計；數(shù)列與不等式等等！

2014年高考湖北卷—16，上海卷—21，陜西卷—10，浙江卷—17……分別考查三角函數(shù)，解三角形，函數(shù)圖象，立體幾何等在實際問題中的應(yīng)用，縱觀今年18套高考試卷，無一漏考實際問題的應(yīng)用，凸顯高考中對考生的應(yīng)用能力考查的重要地位！

點撥 自定義是近年來受命題者青睞的題型，源于它能夠較好地考查考生對新知識的閱讀理解能力，這也恰好是我們后續(xù)學(xué)習(xí)必備的重要能力.如本題，自定義“[L]路徑”，理解題意后，分類討論，寫出函數(shù)關(guān)系式再求解，難度并不大.

四、靈動版“新跨度·新挑戰(zhàn)”

例4 （2013年高考湖北卷—19）假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)[X]是服從正態(tài)分布[N（800，502）]的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為[P0].

（1）求[P0]的值：

[參考數(shù)據(jù)：若[X～N（μ，σ2）]，有[P（μ-σ

（2）某客運公司用[A]，[B]兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次， [A]，[B]兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的運營成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求[B]型車不多于[A]型車7輛.若每天要以不小于[P0]的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運營成本最小，那么應(yīng)配備[A]型車[B]型車各多少輛？

分析 此題第一問較簡單，考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識，用數(shù)形結(jié)合的思想求概率，第二問學(xué)生知道屬于線性規(guī)劃問題，但是問題關(guān)鍵在于“若每天要以不小于[P0]的概率運完從甲地去乙地的旅客”這句話的理解，且轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，是本題得分的關(guān)鍵！不低于[P0]，意思也即運送的人員超過900人，問題解決！很多學(xué)生對這句話理解不透，失分可可惜！

解 （1）每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)[X]是服從正態(tài)分布[N（800，502）]，

[P0=0.5+12×0.9544=0.9772].

（2）設(shè)配備[A]型車[x]輛， [B]型車[y]輛，運營成本為[z]元，

由已知條件得，

所以配備[A]型車5輛， [B]型車12輛可使運營成本最小.

點撥 此題改變以往傳統(tǒng)題型中考查頻率分布直方圖、概率、期望方差等固定模式，將統(tǒng)計中的正態(tài)分布，與線性規(guī)劃完美整合，題目新穎，區(qū)分度高，是近年來高考命題應(yīng)用題中最具創(chuàng)新、最成功的應(yīng)用題之一！數(shù)學(xué)來源于生活，只要用心思考，數(shù)學(xué)無處不在，會學(xué)、會思考、會應(yīng)用，學(xué)會大跨度、新角度思考問題，如：立體幾何與解析幾何；統(tǒng)計與函數(shù)；解三角形與立體幾何；不等式與概率統(tǒng)計；數(shù)列與不等式等等！

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點撥 自定義是近年來受命題者青睞的題型，源于它能夠較好地考查考生對新知識的閱讀理解能力，這也恰好是我們后續(xù)學(xué)習(xí)必備的重要能力.如本題，自定義“[L]路徑”，理解題意后，分類討論，寫出函數(shù)關(guān)系式再求解，難度并不大.

四、靈動版“新跨度·新挑戰(zhàn)”

例4 （2013年高考湖北卷—19）假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)[X]是服從正態(tài)分布[N（800，502）]的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為[P0].

（1）求[P0]的值：

[參考數(shù)據(jù)：若[X～N（μ，σ2）]，有[P（μ-σ

（2）某客運公司用[A]，[B]兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次， [A]，[B]兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的運營成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求[B]型車不多于[A]型車7輛.若每天要以不小于[P0]的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運營成本最小，那么應(yīng)配備[A]型車[B]型車各多少輛？

分析 此題第一問較簡單，考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識，用數(shù)形結(jié)合的思想求概率，第二問學(xué)生知道屬于線性規(guī)劃問題，但是問題關(guān)鍵在于“若每天要以不小于[P0]的概率運完從甲地去乙地的旅客”這句話的理解，且轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，是本題得分的關(guān)鍵！不低于[P0]，意思也即運送的人員超過900人，問題解決！很多學(xué)生對這句話理解不透，失分可可惜！

解 （1）每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)[X]是服從正態(tài)分布[N（800，502）]，

[P0=0.5+12×0.9544=0.9772].

（2）設(shè)配備[A]型車[x]輛， [B]型車[y]輛，運營成本為[z]元，

由已知條件得，

所以配備[A]型車5輛， [B]型車12輛可使運營成本最小.

點撥 此題改變以往傳統(tǒng)題型中考查頻率分布直方圖、概率、期望方差等固定模式，將統(tǒng)計中的正態(tài)分布，與線性規(guī)劃完美整合，題目新穎，區(qū)分度高，是近年來高考命題應(yīng)用題中最具創(chuàng)新、最成功的應(yīng)用題之一！數(shù)學(xué)來源于生活，只要用心思考，數(shù)學(xué)無處不在，會學(xué)、會思考、會應(yīng)用，學(xué)會大跨度、新角度思考問題，如：立體幾何與解析幾何；統(tǒng)計與函數(shù)；解三角形與立體幾何；不等式與概率統(tǒng)計；數(shù)列與不等式等等！

2014年高考湖北卷—16，上海卷—21，陜西卷—10，浙江卷—17……分別考查三角函數(shù)，解三角形，函數(shù)圖象，立體幾何等在實際問題中的應(yīng)用，縱觀今年18套高考試卷，無一漏考實際問題的應(yīng)用，凸顯高考中對考生的應(yīng)用能力考查的重要地位！