高等幾何對初等幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義

廣東金丹

引言

高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的主干課程之一，不少學(xué)者將它與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)并稱為數(shù)學(xué)教育基礎(chǔ)課程的“三高”，其重要性不言而喻。但現(xiàn)實教學(xué)工作中，教師可能會因為感受不到高等幾何與初等幾何知識之間的直接聯(lián)系，忽視高等幾何而造成了初等幾何與高等幾何知識的脫節(jié)，無法構(gòu)建起較為完整的幾何知識體系。

事實上，無論是數(shù)學(xué)的哪一個分支，都遵循由淺及深的發(fā)展規(guī)律。高等幾何是初等幾何的承接，在知識上是初等幾何的因襲和擴(kuò)張，在觀念上是初等幾何的深化與發(fā)展[1]。在高等幾何中貫穿著大量的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想、方法和觀點(diǎn)，不僅能擴(kuò)展幾何知識領(lǐng)域，開闊幾何視野，提高個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能加深教師對初等幾何的理解，進(jìn)而站在更高的層次靈活引導(dǎo)學(xué)生處理初等幾何問題，這對于教師從事的數(shù)學(xué)教學(xué)工作有著極其重要而深遠(yuǎn)的影響。

高等幾何對初等幾何的指導(dǎo)意義這個論題有著非常廣闊而豐富的研究空間，多年來有不少的國內(nèi)外學(xué)者潛心鉆研在這一問題上，而且也得到了許多精彩的結(jié)論。本文筆者借鑒前人的研究成果，嘗試從高等幾何課程地位和新大綱背景下對中職初等幾何教學(xué)要求的角度來認(rèn)識高等幾何與初等幾何的關(guān)系，淺談高等幾何學(xué)習(xí)對豐富初等幾何研討方法和拓寬初等幾何解題途徑的指導(dǎo)意義。

1 高等幾何對初等幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義

1.1 高等幾何和初等幾何的界定與聯(lián)系

在探討高等幾何對初等幾何解題研究的指導(dǎo)作用之前，首先就本文所涉及到的高等幾何和初等幾何這兩個概念所涵蓋的范圍加以限定，并簡單了解其內(nèi)容特點(diǎn)以及在克萊因群論觀點(diǎn)下存在的內(nèi)在聯(lián)系，明確高等幾何與初等幾何之間并不是相互孤立的：初等幾何是高等幾何的基礎(chǔ)，而高等幾何是初等幾何的延伸和拓展。

習(xí)慣上，我們把小學(xué)和中學(xué)階段所接觸的幾何知識都納入初等幾何范圍。初等幾何以歐氏幾何為理論基礎(chǔ)，是幾何學(xué)中最為基礎(chǔ)的部分，包括空間與圖形、平面解析幾何、立體幾何等等。初等幾何所涉及的思想方法具有較強(qiáng)的針對性，內(nèi)容相對直觀，學(xué)生可以先直接采用觀察、測量等實驗手段了解幾何圖形，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，再根據(jù)實際認(rèn)知水平逐步抽象思維，完成邏輯演繹證明。而我們所說的“高等幾何”通常是指在19世紀(jì)初期產(chǎn)生的另一幾何學(xué)重要分支——射影幾何。它的開辟和盛行，一方面是由于它有巨大的美學(xué)魅力，另一方面是由于它把幾何作為一個整體來研究時所獲得的明顯效果以及它與非歐幾何的緊密聯(lián)系[2]。高等幾何主要以克萊因的幾何學(xué)群論觀點(diǎn)為指導(dǎo)，他提出采用變換群對幾何學(xué)進(jìn)行分類，重點(diǎn)突出變換不變性的基本數(shù)學(xué)思想，這在幾何學(xué)不同的理論體系中具有一定的普適性。結(jié)合克萊因的群論觀點(diǎn)，我們可以這樣概括：歐氏幾何涵蓋于射影幾何，歐氏幾何是射影幾何的一個特例。

1.2 高等幾何和初等幾何的課程地位

初等幾何一直都是中等職業(yè)院校數(shù)學(xué)教育的重要組成部分之一，而高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，初等幾何與高等幾何的課程開設(shè)都具有其必要性和重要性。研究高等幾何知識體系的構(gòu)建對中職數(shù)學(xué)教學(xué)工作產(chǎn)生的影響，有必要關(guān)注高等幾何課程的教學(xué)目的和新大綱背景下對初等幾何教學(xué)的要求。

1.2.1 高等幾何的教學(xué)目的

培養(yǎng)具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)教學(xué)的數(shù)學(xué)教師，是高等師范院校數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)方向。高等幾何作為高師數(shù)學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)課程之一，是數(shù)學(xué)教育任務(wù)的重要組成部分，其課程的開設(shè)一般是安排在學(xué)習(xí)了解析幾何和高等代數(shù)之后，目的是在具備一定的初等幾何、解析幾何和高等代數(shù)知識的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何知識，引入變換群觀點(diǎn)，抓住變換和不變性的基本數(shù)學(xué)思想。高等幾何涵蓋了大量現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、方法、理論、應(yīng)用等，對于發(fā)展空間概念，豐富高層次的幾何知識，提高數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理和合情推理能力具有重要作用。不僅能更深入地認(rèn)識幾何學(xué)，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)微分幾何、畫法幾何或者其他高等數(shù)學(xué)知識做好準(zhǔn)備，還訓(xùn)練了抽象思維，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)審美意識，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)修養(yǎng)，提高了從師能力，為數(shù)學(xué)教學(xué)工作打下堅實的基礎(chǔ)。

1.2.2 新教學(xué)大綱對初等幾何的要求

清華大學(xué)蕭樹鐵教授說，在我國的傳統(tǒng)文化中，邏輯思維一直比較薄弱，數(shù)學(xué)，尤其是歐氏幾何，在這方面的訓(xùn)練是大有可為的。著名數(shù)學(xué)家陳省身在2002年接受采訪時更是強(qiáng)調(diào)，中學(xué)一定要講歐氏幾何，幾何推理的部分不能取消，整個數(shù)學(xué)就是建立在推理之上的。2009年重新修訂的《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》就是在教育形勢的發(fā)展和教學(xué)改革的不斷深入的大環(huán)境下應(yīng)運(yùn)而生的，它明確了“以服務(wù)為宗旨，以就業(yè)為導(dǎo)向，以提高質(zhì)量為重點(diǎn)”的辦學(xué)方針，提出本課程的任務(wù)是：使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，具備必需的相關(guān)技能與能力，為學(xué)習(xí)專業(yè)知識、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。新大綱將數(shù)學(xué)課程劃分為基礎(chǔ)模塊、職業(yè)模塊和拓展模塊，在各模塊間進(jìn)行知識組合，在各學(xué)科間進(jìn)行知識滲透。在新大綱下，培養(yǎng)目標(biāo)已經(jīng)由重點(diǎn)培養(yǎng)邏輯思維能力轉(zhuǎn)向培養(yǎng)幾何直觀能力和空間想象能力，這要求教師調(diào)整教學(xué)觀念和教學(xué)方法，“注意突出幾何的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算等探索與研究幾何問題的過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直覺”。[3]幾何學(xué)的教育價值不容小覷，歐氏幾何長期以來作為訓(xùn)練邏輯推理的素材的地位不可取代，幾何對學(xué)生多種能力的塑造和培養(yǎng)有著至關(guān)重要的影響。

1.3 豐富初等幾何研討方法，拓寬初等幾何解題途徑

明確了高等幾何與初等幾何的關(guān)聯(lián)，將有利于我們把高等幾何中獲得的觀點(diǎn)、體會反饋于初等幾何。事實上，將高等數(shù)學(xué)知識下放到初等數(shù)學(xué)教材中的成分越來越多，我們所熟悉的初等幾何中有部分內(nèi)容是需要以高等幾何為理論依據(jù)的，例如平面幾何的平移、旋轉(zhuǎn)是在正交變換群下的合同變換；立體幾何直觀圖的畫法、截面圖的作法分別是以透視仿射對應(yīng)性質(zhì)及笛沙格定理的理論為作圖依據(jù)[4]。前蘇聯(lián)幾何學(xué)家亞格龍曾經(jīng)指出：“在初等幾何中……，包含了兩個重要的有普遍意義的思想，它們構(gòu)成了幾何學(xué)的一切進(jìn)一步發(fā)展的基礎(chǔ)，其重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何學(xué)的界限。其中之一是演繹法和幾何學(xué)的公理基礎(chǔ)；另一個是幾何的變換和幾何學(xué)的群論基礎(chǔ)?！笨梢?，學(xué)生在學(xué)習(xí)初等幾何的過程中，實際上也是接受高等幾何數(shù)學(xué)意識和思想方法滲透的過程。利用這一特點(diǎn)，我們可以考慮用高等幾何理論來解決部分初等幾何問題，從而為初等幾何研究探討和解題方法尋求更廣泛的途徑[5]。另一方面，由于許多高等幾何定理、命題可以給出初等幾何的證明或解答，因此也可以將此類高等幾何問題進(jìn)行改編，創(chuàng)作出初等幾何中的提高題、壓軸題等，這無疑為教師們探索初等幾何的教學(xué)和科研指明了方向。

下文將通過仿射變換尋找初等幾何命題解題思路。

在高等幾何中，只要經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，任意一個三角形、平行四邊形、梯形或橢圓可對應(yīng)變?yōu)樘厥獾恼切?、正方形、等腰梯形或圓形。如果所給命題在這些特殊的圖形中結(jié)論成立，則根據(jù)仿射變換保持同素性、結(jié)合性、平行性、共線三點(diǎn)的單比不變、封閉圖形的面積之比不變等性質(zhì)即可推出在原命題中結(jié)論也成立[4]。

例如：將任意三角形每一頂點(diǎn)與對邊上的三等分點(diǎn)相連得六條直線，求證這六條直線所圍成的六邊形三雙對頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。

（圖 1）

（圖 2）

由于點(diǎn)線的結(jié)合性在仿射變換上都不變，所以可以利用仿射變換將任意三角形ΔA'B'C'（圖1）變成正三角形ABC（圖2），且各邊的三等分點(diǎn)及中點(diǎn)對應(yīng)變成正三角形各邊的三等分點(diǎn)和中點(diǎn)，因而本題就正三角形的情況證之。

因此，上述命題等價于：設(shè)L1、M1、N1（i＝1，2）分別為正三角形ABC三邊上的三等分點(diǎn)，由六條直線圍成六邊形P1R2Q1P2R1Q2，求證三雙對頂點(diǎn)的連線 P1P2，R1R2，Q1Q2共點(diǎn)。

顯然，運(yùn)用高等幾何的知識來處理上述題目時解法相當(dāng)簡單。當(dāng)然這種高等解法不能直接進(jìn)入中職數(shù)學(xué)課堂，但仍具有重要的參考價值，為教師思考問題指明方向，在一定程度上起到啟發(fā)和誘導(dǎo)的作用。高等幾何讓我們處于更高的立足點(diǎn)，以更遠(yuǎn)的視野、更豐富的知識，從幾何學(xué)的全局和整體來理解和把握初等幾何。面對初等幾何題目，我們的思路不再單一，可以嘗試站在另一種角度去思考、分析和理解初等問題，以尋求更為簡捷的處理方法，在不斷的探索中不僅豐富了初等幾何解題的途徑，還可以創(chuàng)新初等幾何問題，充分發(fā)揮高等幾何對初等幾何的指導(dǎo)作用。

[1]關(guān)麗娟.高等幾何與初等幾何的相融性[J].高師理科學(xué)刊,2007，9：76.

[2]R·柯朗、H·羅賓.什么是數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1995.

[3]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[4]李恩鳳.高等幾何與初等幾何的關(guān)系[J].青海師專學(xué)報,2001，6：53.

[5]劉德金,張全信.試論高等幾何對初等幾何的指導(dǎo)作用[J].德州師專學(xué)報,1997.

[6]張初榮.試談高等幾何對中學(xué)幾何教學(xué)的指導(dǎo)作用[J].零陵師專學(xué)報,1989（第 3期）.