讓“解決分?jǐn)?shù)乘除問題”的教學(xué)回歸“本源”

陳海曉

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）10-0062-03

一、問題起因

人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)在第二、三單元的《分?jǐn)?shù)乘法》和《分?jǐn)?shù)除法》中分別編排了解決分?jǐn)?shù)乘、除問題。筆者在學(xué)生學(xué)完兩個(gè)單元內(nèi)容之后，隨機(jī)對(duì)本校六年級(jí)段的一個(gè)班級(jí)進(jìn)行解決分?jǐn)?shù)乘、除問題能力的測(cè)試，以考察學(xué)生是否能正確解決分?jǐn)?shù)乘、除兩種問題以及獨(dú)立分析數(shù)量關(guān)系的能力。設(shè)計(jì)題目如下：

請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立解決問題，再用自己喜歡的方式說明為什么這樣解決問題？

（可以畫圖、寫等量關(guān)系式、語言表達(dá)等方式）

（1）一個(gè)縣去年綠色蔬菜總產(chǎn)量720萬千克，去年比今年少了。今年全縣綠色蔬菜總產(chǎn)量是多少萬千克？

（2）同學(xué)們收集易拉罐，六年級(jí)同學(xué)比五年級(jí)多收集了，五年級(jí)同學(xué)收集了143個(gè)易拉罐。六年級(jí)同學(xué)收集了多少個(gè)易拉罐？

我對(duì)參與調(diào)查的53位學(xué)生，給予充足的時(shí)間進(jìn)行獨(dú)立解題和分析，共收得有效問卷53份。問卷情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

在對(duì)全部正確解題的22位學(xué)生進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)只有13位學(xué)生能用自己喜歡的方式正確分析數(shù)量關(guān)系，現(xiàn)摘錄兩位同學(xué)的解題過程（如下圖）：

生1：（1）今年產(chǎn)量€祝？-）=去年產(chǎn)量，所以720€鰨？- ）=800（萬千克）；

（2）五年級(jí)收集易拉罐數(shù)€祝？-）=六年級(jí)收集易拉罐數(shù)，所以143€祝？-）=169（個(gè)）。

生2：（1）把今年種的看作單位“1”，平均分成10份，去年種的占這樣的9份。

今年產(chǎn)量€祝？-）=去年產(chǎn)量，所以（1-）x=720，x=800；

（2）把五年級(jí)收集的易拉罐個(gè)數(shù)看作單位“1”平均分成11份，六年級(jí)相當(dāng)于這樣的的13份。

五年級(jí)收集的量€祝？+）=六年級(jí)收集的量，所以143€祝？+）=169（個(gè)）。

這部分學(xué)生比較喜歡用等量關(guān)系進(jìn)行分析，而此“關(guān)系式”的得出是建立在學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)乘、除意義的深刻理解基礎(chǔ)之上，但遺憾的是基于這樣一種有意義的思考并正確解題的學(xué)生只占全班人數(shù)的24.5%，而其余正確解題的學(xué)生更多的是一種“用技巧”或者說是“套模形”的方式解題。

在對(duì)解答1題正確的22位學(xué)生進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)他們對(duì)題中“分率”表示的具體含義不清晰，從而不能準(zhǔn)確找出單位“1”或沒有這種意識(shí)，更談不上進(jìn)一步運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘、除意義去分析題中的數(shù)量關(guān)系（如下圖）：

生3：（1）因?yàn)樽詈笠痪涫恰敖衲耆h綠色蔬菜總產(chǎn)量……”，所以把今年看作單位“1”，少的就是減。列式為：720€鰨？-）=800（萬千克）。

（2）六年級(jí)收集的個(gè)數(shù)€祝？+）=五年級(jí)的收集的個(gè)數(shù)，列式為：143€鰨？+）=121（個(gè)）。

生4：（1）我用方程來計(jì)算是因?yàn)榉匠瘫容^簡(jiǎn)便，不容易算錯(cuò)。

（1-）x=720

x=800

（2）同上。（1-）x=143

x=174

仔細(xì)分析以上兩位學(xué)生的思考，不難看出他們更多的是解題“模型” 的套用和模仿，即使解題正確那也純粹是“運(yùn)氣”。至于解題全錯(cuò)的學(xué)生，分析分?jǐn)?shù)問題的能力那就可想而知了。綜合以上調(diào)查可見，更多的學(xué)生不是從數(shù)量關(guān)系的角度去分析題意解答問題，而是從題型特征去猜測(cè)和套用模型來解答。顯然，學(xué)生分析分?jǐn)?shù)問題的習(xí)慣、選擇解決問題的方法以及解決問題的能力都是令人堪憂的。

二、現(xiàn)象分析

上述情況發(fā)生的原因是什么？我認(rèn)為，主要有以下三個(gè)方面。

1.用簡(jiǎn)單的操作步驟代替問題的分析和抽象

簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)乘、除問題具有一定的模式，解題的步驟也比較單一，即使學(xué)生沒有理解數(shù)量之間的關(guān)系，憑借簡(jiǎn)單的關(guān)鍵詞或句作判斷也可能正確解題。這往往給部分教師造成錯(cuò)覺，認(rèn)為分?jǐn)?shù)問題的數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)單，缺乏對(duì)題中分?jǐn)?shù)含義的仔細(xì)分析，更談不上引導(dǎo)學(xué)生借助分?jǐn)?shù)乘、除法意義來抽象數(shù)量關(guān)系。即使在兩個(gè)單元內(nèi)容教學(xué)完成之后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有出現(xiàn)“混淆”兩者之勢(shì)，也只是簡(jiǎn)單地告知學(xué)生操作步驟“三部曲”：第一，在問題中找單位“1”的量，確定已知還是未知；第二，單位“1”已知，就用乘法解題；第三，單位“1”未知，就用方程解題或除法解題。

“三部曲”雖然能讓部分學(xué)生正確解題，但這樣的教學(xué)過于程式化，學(xué)生成了操作工，只要按老師事先編制好的程序，一步步執(zhí)行，就能解決問題，很少需要認(rèn)真分析和思考。久而久之，學(xué)生分析問題的能力得不到培養(yǎng)，有根據(jù)的列式解答的習(xí)慣難以形成，解決問題的能力得不到提升。

2.對(duì)分?jǐn)?shù)問題基本關(guān)系模型的抽象缺乏必要的感悟和經(jīng)歷

分?jǐn)?shù)乘、除問題有一個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系模型，

即：?jiǎn)挝弧?”的量€追致？分率對(duì)應(yīng)量

此模型，需要學(xué)生在大量解決實(shí)際問題的過程中體驗(yàn)和感悟，才能真正被理解和內(nèi)化。但經(jīng)驗(yàn)不足的教師往往忽視這一過程，而直接告知學(xué)生，并用它來代替數(shù)量關(guān)系的分析，使得學(xué)生在解決實(shí)際問題中本末倒置，忽視了對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析過程，而直接套用此模型來解題。同時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系模型的掌握也只是靠記憶，缺乏數(shù)量關(guān)系模型的分析和抽象過程，更談不上基于分?jǐn)?shù)乘、除運(yùn)算意義的理解和內(nèi)化。因此，學(xué)生在遇到兩類問題同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，很難做到模型的正確運(yùn)用和靈活變化，從而導(dǎo)致解題時(shí)的隨意選擇。

3.對(duì)分?jǐn)?shù)乘、除問題的聯(lián)系與區(qū)別缺乏必要的辨析

分?jǐn)?shù)乘、除問題在結(jié)構(gòu)上非常相似，都是已知一個(gè)具體量和兩個(gè)量之間的關(guān)系，求另一個(gè)具體量。如果不仔細(xì)分析各數(shù)量間的關(guān)系，學(xué)生很容易造成混淆。而且筆者查閱了人教版數(shù)學(xué)六（上）教材，發(fā)現(xiàn)在《分?jǐn)?shù)乘法》單元安排的全部是分?jǐn)?shù)乘法問題，《分?jǐn)?shù)除法》單元安排的全部是分?jǐn)?shù)除法問題，人為地分開了兩類問題，分?jǐn)?shù)乘、除對(duì)比題組練習(xí)始終在教材中沒有出現(xiàn)。這就使得學(xué)生很少有機(jī)會(huì)在課堂上進(jìn)行兩類問題的對(duì)比練習(xí)，更談不上對(duì)兩類問題的聯(lián)系和區(qū)別進(jìn)行有效辨析。所以，當(dāng)兩種類型題目同時(shí)呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生的思考就會(huì)產(chǎn)生障礙，容易導(dǎo)致在兩種模型之間“徘徊”，從而出現(xiàn)隨機(jī)套用固有的模型來解決問題，而不是基于對(duì)題目的分析和思考。endprint

上述分析，反映出學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘、除問題的相關(guān)知識(shí)掌握不夠扎實(shí)，缺乏獨(dú)立分析問題的能力，解決問題的方式和方法趨于模式化和簡(jiǎn)單化。

三、對(duì)策思考

解決分?jǐn)?shù)乘、除問題的思維過程，其本質(zhì)應(yīng)該是分?jǐn)?shù)乘、除法意義運(yùn)用的過程。同時(shí)，分?jǐn)?shù)除法意義是建立在分?jǐn)?shù)乘法意義基礎(chǔ)上，所以學(xué)生如果建立了分?jǐn)?shù)乘法意義，以及明白乘、除法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就能運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義抽象數(shù)量關(guān)系模型，從而達(dá)到基于意義理解之上的解題。那么，學(xué)生怎樣才算是已經(jīng)建立了分?jǐn)?shù)乘法意義？如何幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)乘法意義？筆者認(rèn)為，需要從以下三個(gè)方面入手。

1.關(guān)注分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘法意義的區(qū)別與聯(lián)系

在整數(shù)乘法中，學(xué)生對(duì)乘法的理解是相同加數(shù)“合”的過程，而用這樣的理解去解釋分?jǐn)?shù)乘法顯然是不夠的。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法還可以表示“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。比如：12€資抵適潛硎景？2平均分成3份，這樣的2份是多少。教師可以通過畫圖或其他策略使學(xué)生形象的感知12€？12€？€？，從而使分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘除之間建立聯(lián)系，既體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，又使學(xué)生體會(huì)到分?jǐn)?shù)乘法意義的本質(zhì)是先“分”再“合”的過程，而整數(shù)乘法只體現(xiàn)相同數(shù)“合”的過程。

在教學(xué)過程中，我們既要關(guān)注整數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法的區(qū)別，還要關(guān)注它們的聯(lián)系。教師可以設(shè)計(jì)如下一組問題，讓學(xué)生在解題的過程中逐步體會(huì)兩者的聯(lián)系。

1根粉筆長(zhǎng)9厘米。

（1）3根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→3個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”的疊加。

（2）根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→不夠1個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”，需把它平均分成若干份，表示這樣的幾份。

（3）3根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→3個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”和不夠1個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”的組合。

可見，不管是整數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，都與“標(biāo)準(zhǔn)量”有關(guān)。只有學(xué)生既明白分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法之間的區(qū)別，又明白他們之間的聯(lián)系，才表示已經(jīng)真正建立了分?jǐn)?shù)乘法的意義。

2.在與整數(shù)方法的對(duì)比中來理解分?jǐn)?shù)乘法意義的內(nèi)涵。

從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次重大擴(kuò)展。無論是在意義上、在讀寫方法和計(jì)算方法上，都有很大的差別。比較之下，分?jǐn)?shù)概念比整數(shù)概念更加抽象。所以我們要善于借助整數(shù)運(yùn)算的意義來建構(gòu)分?jǐn)?shù)乘法意義在解決問題中的實(shí)際含義。學(xué)生學(xué)了分?jǐn)?shù)乘法問題后，重新去審視三年級(jí)的整數(shù)乘除問題：一個(gè)工人4天生產(chǎn)200個(gè)零件，照這樣計(jì)算，3天生產(chǎn)多少個(gè)零件？問：能否從分?jǐn)?shù)的角度去思考問題？引領(lǐng)學(xué)生把4天的工作量看做“標(biāo)準(zhǔn)”，平均分成4份，3天的工作量就是這樣的3份，所以列式為200€住V揮邪顏頭質(zhì)街紙馓獠唄越卸員瘸氏鄭拍芴寤岱質(zhì)朔ㄒ庖逶誚餼鑫侍夤討械惱媸的諍？

又如教學(xué)人教版六年級(jí)上冊(cè)第38頁的例題（如下圖），

小明的爸爸體重是多少千克？

在用線段圖示表達(dá)后，學(xué)生分別從分?jǐn)?shù)和整數(shù)兩種角度做如下思考，

爸爸體重的是小明體重35千克

爸爸體重€祝叫∶魈逯？5千克

列方程或根據(jù)乘除關(guān)系列除法算式

把爸爸體重平均分成15份，

7份即是小明體重35千克

↓

先求每份量，再求幾份量

↓

35€？€？5

在與整數(shù)方法的對(duì)比中，使學(xué)生體會(huì) “單位‘1的量€追致？分率對(duì)應(yīng)量”這一分?jǐn)?shù)乘除問題基本數(shù)量關(guān)系模型的實(shí)質(zhì)，這雖是人為的一種規(guī)定，但學(xué)生似乎在這種規(guī)定背后找到了理解的支點(diǎn)。在這一過程中，使舊知和新知之間建立聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化，從而加深對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的理解。這樣的教學(xué)過程，既是運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義解決問題的過程，也是理解分?jǐn)?shù)乘法意義的過程。

3.關(guān)注學(xué)生是否建立了“標(biāo)準(zhǔn)量”概念

運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義解決分?jǐn)?shù)問題的過程中，除了與整數(shù)方法對(duì)比外還需建立“標(biāo)準(zhǔn)量”即單位“1”的概念。例如：學(xué)校買來彩色粉筆120盒，比白色粉筆少。白色粉筆有多少盒？在理解分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，教師可在解題思路上給予指導(dǎo)。（1）把誰看作標(biāo)準(zhǔn)。（2）比標(biāo)準(zhǔn)多還是少。（3）在標(biāo)準(zhǔn)上疊加還是從標(biāo)準(zhǔn)里減去。可見標(biāo)準(zhǔn)的建立在解決問題的過程中顯得致關(guān)重要。標(biāo)準(zhǔn)這個(gè)詞學(xué)生并不陌生，但真正理解標(biāo)準(zhǔn)量的學(xué)生少之又少。我們可以選取學(xué)生身邊熟悉的例子：（1）老師比XX同學(xué)高，XX同學(xué)比老師矮。分別說說這兩句話分別以誰為標(biāo)準(zhǔn)？為什么？老師比XX同學(xué)高，以XX同學(xué)的身高為標(biāo)準(zhǔn)來測(cè)量老師的身高，結(jié)果高出了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。反之，XX同學(xué)比老師矮，以老師的身高為標(biāo)準(zhǔn)去測(cè)量XX同學(xué)的身高，這位同學(xué)的身高就低于標(biāo)準(zhǔn)。（2）老師比XX同學(xué)高，老師又比姚明矮，同樣是老師一下子說“高”一下子說“矮”這又是為什么？（3）XX人長(zhǎng)得漂亮，XX人真胖，他們有標(biāo)準(zhǔn)嗎？你怎么理解？讓學(xué)生明白，表面上看沒有標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)心中有標(biāo)準(zhǔn)，在這里“標(biāo)準(zhǔn)量”這一概念產(chǎn)生了同化。在大量的具體事例中讓學(xué)生明白標(biāo)準(zhǔn)的意思，建立“標(biāo)準(zhǔn)量”的概念，再解決抽象的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生就輕松多了。象以上例題，學(xué)生知道白粉筆是標(biāo)準(zhǔn)量，彩色粉筆比白粉筆少，在標(biāo)準(zhǔn)里減去一部份就是彩色粉筆。

即：白粉筆-白粉筆€祝講噬郾？

白粉筆€祝？-）=彩色粉筆

著名數(shù)學(xué)家華羅庚爺爺指出，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。以上思想正是立足于此，解決分?jǐn)?shù)乘除問題→分?jǐn)?shù)乘除意義→分?jǐn)?shù)乘法意義→分?jǐn)?shù)意義→整數(shù)乘除法意義，不斷追尋知識(shí)的原點(diǎn)。我們要拋棄一切形式化的教學(xué)，使學(xué)生從“訓(xùn)練有數(shù)的操作工”中解放出來，使我們的教學(xué)離數(shù)學(xué)的本質(zhì)更近一些，回歸教學(xué)本源，使學(xué)生真正找到理解數(shù)學(xué)的支點(diǎn)。endprint

上述分析，反映出學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘、除問題的相關(guān)知識(shí)掌握不夠扎實(shí)，缺乏獨(dú)立分析問題的能力，解決問題的方式和方法趨于模式化和簡(jiǎn)單化。

三、對(duì)策思考

解決分?jǐn)?shù)乘、除問題的思維過程，其本質(zhì)應(yīng)該是分?jǐn)?shù)乘、除法意義運(yùn)用的過程。同時(shí)，分?jǐn)?shù)除法意義是建立在分?jǐn)?shù)乘法意義基礎(chǔ)上，所以學(xué)生如果建立了分?jǐn)?shù)乘法意義，以及明白乘、除法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就能運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義抽象數(shù)量關(guān)系模型，從而達(dá)到基于意義理解之上的解題。那么，學(xué)生怎樣才算是已經(jīng)建立了分?jǐn)?shù)乘法意義？如何幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)乘法意義？筆者認(rèn)為，需要從以下三個(gè)方面入手。

1.關(guān)注分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘法意義的區(qū)別與聯(lián)系

在整數(shù)乘法中，學(xué)生對(duì)乘法的理解是相同加數(shù)“合”的過程，而用這樣的理解去解釋分?jǐn)?shù)乘法顯然是不夠的。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法還可以表示“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。比如：12€資抵適潛硎景？2平均分成3份，這樣的2份是多少。教師可以通過畫圖或其他策略使學(xué)生形象的感知12€？12€？€？，從而使分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘除之間建立聯(lián)系，既體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，又使學(xué)生體會(huì)到分?jǐn)?shù)乘法意義的本質(zhì)是先“分”再“合”的過程，而整數(shù)乘法只體現(xiàn)相同數(shù)“合”的過程。

在教學(xué)過程中，我們既要關(guān)注整數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法的區(qū)別，還要關(guān)注它們的聯(lián)系。教師可以設(shè)計(jì)如下一組問題，讓學(xué)生在解題的過程中逐步體會(huì)兩者的聯(lián)系。

1根粉筆長(zhǎng)9厘米。

（1）3根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→3個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”的疊加。

（2）根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→不夠1個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”，需把它平均分成若干份，表示這樣的幾份。

（3）3根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→3個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”和不夠1個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”的組合。

可見，不管是整數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，都與“標(biāo)準(zhǔn)量”有關(guān)。只有學(xué)生既明白分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法之間的區(qū)別，又明白他們之間的聯(lián)系，才表示已經(jīng)真正建立了分?jǐn)?shù)乘法的意義。

2.在與整數(shù)方法的對(duì)比中來理解分?jǐn)?shù)乘法意義的內(nèi)涵。

從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次重大擴(kuò)展。無論是在意義上、在讀寫方法和計(jì)算方法上，都有很大的差別。比較之下，分?jǐn)?shù)概念比整數(shù)概念更加抽象。所以我們要善于借助整數(shù)運(yùn)算的意義來建構(gòu)分?jǐn)?shù)乘法意義在解決問題中的實(shí)際含義。學(xué)生學(xué)了分?jǐn)?shù)乘法問題后，重新去審視三年級(jí)的整數(shù)乘除問題：一個(gè)工人4天生產(chǎn)200個(gè)零件，照這樣計(jì)算，3天生產(chǎn)多少個(gè)零件？問：能否從分?jǐn)?shù)的角度去思考問題？引領(lǐng)學(xué)生把4天的工作量看做“標(biāo)準(zhǔn)”，平均分成4份，3天的工作量就是這樣的3份，所以列式為200€住V揮邪顏頭質(zhì)街紙馓獠唄越卸員瘸氏鄭拍芴寤岱質(zhì)朔ㄒ庖逶誚餼鑫侍夤討械惱媸的諍？

又如教學(xué)人教版六年級(jí)上冊(cè)第38頁的例題（如下圖），

小明的爸爸體重是多少千克？

在用線段圖示表達(dá)后，學(xué)生分別從分?jǐn)?shù)和整數(shù)兩種角度做如下思考，

爸爸體重的是小明體重35千克

爸爸體重€祝叫∶魈逯？5千克

列方程或根據(jù)乘除關(guān)系列除法算式

把爸爸體重平均分成15份，

7份即是小明體重35千克

↓

先求每份量，再求幾份量

↓

35€？€？5

在與整數(shù)方法的對(duì)比中，使學(xué)生體會(huì) “單位‘1的量€追致？分率對(duì)應(yīng)量”這一分?jǐn)?shù)乘除問題基本數(shù)量關(guān)系模型的實(shí)質(zhì)，這雖是人為的一種規(guī)定，但學(xué)生似乎在這種規(guī)定背后找到了理解的支點(diǎn)。在這一過程中，使舊知和新知之間建立聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化，從而加深對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的理解。這樣的教學(xué)過程，既是運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義解決問題的過程，也是理解分?jǐn)?shù)乘法意義的過程。

3.關(guān)注學(xué)生是否建立了“標(biāo)準(zhǔn)量”概念

運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義解決分?jǐn)?shù)問題的過程中，除了與整數(shù)方法對(duì)比外還需建立“標(biāo)準(zhǔn)量”即單位“1”的概念。例如：學(xué)校買來彩色粉筆120盒，比白色粉筆少。白色粉筆有多少盒？在理解分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，教師可在解題思路上給予指導(dǎo)。（1）把誰看作標(biāo)準(zhǔn)。（2）比標(biāo)準(zhǔn)多還是少。（3）在標(biāo)準(zhǔn)上疊加還是從標(biāo)準(zhǔn)里減去?？梢姌?biāo)準(zhǔn)的建立在解決問題的過程中顯得致關(guān)重要。標(biāo)準(zhǔn)這個(gè)詞學(xué)生并不陌生，但真正理解標(biāo)準(zhǔn)量的學(xué)生少之又少。我們可以選取學(xué)生身邊熟悉的例子：（1）老師比XX同學(xué)高，XX同學(xué)比老師矮。分別說說這兩句話分別以誰為標(biāo)準(zhǔn)？為什么？老師比XX同學(xué)高，以XX同學(xué)的身高為標(biāo)準(zhǔn)來測(cè)量老師的身高，結(jié)果高出了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。反之，XX同學(xué)比老師矮，以老師的身高為標(biāo)準(zhǔn)去測(cè)量XX同學(xué)的身高，這位同學(xué)的身高就低于標(biāo)準(zhǔn)。（2）老師比XX同學(xué)高，老師又比姚明矮，同樣是老師一下子說“高”一下子說“矮”這又是為什么？（3）XX人長(zhǎng)得漂亮，XX人真胖，他們有標(biāo)準(zhǔn)嗎？你怎么理解？讓學(xué)生明白，表面上看沒有標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)心中有標(biāo)準(zhǔn)，在這里“標(biāo)準(zhǔn)量”這一概念產(chǎn)生了同化。在大量的具體事例中讓學(xué)生明白標(biāo)準(zhǔn)的意思，建立“標(biāo)準(zhǔn)量”的概念，再解決抽象的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生就輕松多了。象以上例題，學(xué)生知道白粉筆是標(biāo)準(zhǔn)量，彩色粉筆比白粉筆少，在標(biāo)準(zhǔn)里減去一部份就是彩色粉筆。

即：白粉筆-白粉筆€祝講噬郾？

白粉筆€祝？-）=彩色粉筆

著名數(shù)學(xué)家華羅庚爺爺指出，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。以上思想正是立足于此，解決分?jǐn)?shù)乘除問題→分?jǐn)?shù)乘除意義→分?jǐn)?shù)乘法意義→分?jǐn)?shù)意義→整數(shù)乘除法意義，不斷追尋知識(shí)的原點(diǎn)。我們要拋棄一切形式化的教學(xué)，使學(xué)生從“訓(xùn)練有數(shù)的操作工”中解放出來，使我們的教學(xué)離數(shù)學(xué)的本質(zhì)更近一些，回歸教學(xué)本源，使學(xué)生真正找到理解數(shù)學(xué)的支點(diǎn)。endprint

上述分析，反映出學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘、除問題的相關(guān)知識(shí)掌握不夠扎實(shí)，缺乏獨(dú)立分析問題的能力，解決問題的方式和方法趨于模式化和簡(jiǎn)單化。

三、對(duì)策思考

解決分?jǐn)?shù)乘、除問題的思維過程，其本質(zhì)應(yīng)該是分?jǐn)?shù)乘、除法意義運(yùn)用的過程。同時(shí)，分?jǐn)?shù)除法意義是建立在分?jǐn)?shù)乘法意義基礎(chǔ)上，所以學(xué)生如果建立了分?jǐn)?shù)乘法意義，以及明白乘、除法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就能運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義抽象數(shù)量關(guān)系模型，從而達(dá)到基于意義理解之上的解題。那么，學(xué)生怎樣才算是已經(jīng)建立了分?jǐn)?shù)乘法意義？如何幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)乘法意義？筆者認(rèn)為，需要從以下三個(gè)方面入手。

1.關(guān)注分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘法意義的區(qū)別與聯(lián)系

在整數(shù)乘法中，學(xué)生對(duì)乘法的理解是相同加數(shù)“合”的過程，而用這樣的理解去解釋分?jǐn)?shù)乘法顯然是不夠的。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法還可以表示“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。比如：12€資抵適潛硎景？2平均分成3份，這樣的2份是多少。教師可以通過畫圖或其他策略使學(xué)生形象的感知12€？12€？€？，從而使分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘除之間建立聯(lián)系，既體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，又使學(xué)生體會(huì)到分?jǐn)?shù)乘法意義的本質(zhì)是先“分”再“合”的過程，而整數(shù)乘法只體現(xiàn)相同數(shù)“合”的過程。

在教學(xué)過程中，我們既要關(guān)注整數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法的區(qū)別，還要關(guān)注它們的聯(lián)系。教師可以設(shè)計(jì)如下一組問題，讓學(xué)生在解題的過程中逐步體會(huì)兩者的聯(lián)系。

1根粉筆長(zhǎng)9厘米。

（1）3根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→3個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”的疊加。

（2）根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→不夠1個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”，需把它平均分成若干份，表示這樣的幾份。

（3）3根粉筆長(zhǎng)多少厘米？→3個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”和不夠1個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)量”的組合。

可見，不管是整數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，都與“標(biāo)準(zhǔn)量”有關(guān)。只有學(xué)生既明白分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法之間的區(qū)別，又明白他們之間的聯(lián)系，才表示已經(jīng)真正建立了分?jǐn)?shù)乘法的意義。

2.在與整數(shù)方法的對(duì)比中來理解分?jǐn)?shù)乘法意義的內(nèi)涵。

從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次重大擴(kuò)展。無論是在意義上、在讀寫方法和計(jì)算方法上，都有很大的差別。比較之下，分?jǐn)?shù)概念比整數(shù)概念更加抽象。所以我們要善于借助整數(shù)運(yùn)算的意義來建構(gòu)分?jǐn)?shù)乘法意義在解決問題中的實(shí)際含義。學(xué)生學(xué)了分?jǐn)?shù)乘法問題后，重新去審視三年級(jí)的整數(shù)乘除問題：一個(gè)工人4天生產(chǎn)200個(gè)零件，照這樣計(jì)算，3天生產(chǎn)多少個(gè)零件？問：能否從分?jǐn)?shù)的角度去思考問題？引領(lǐng)學(xué)生把4天的工作量看做“標(biāo)準(zhǔn)”，平均分成4份，3天的工作量就是這樣的3份，所以列式為200€住V揮邪顏頭質(zhì)街紙馓獠唄越卸員瘸氏鄭拍芴寤岱質(zhì)朔ㄒ庖逶誚餼鑫侍夤討械惱媸的諍？

又如教學(xué)人教版六年級(jí)上冊(cè)第38頁的例題（如下圖），

小明的爸爸體重是多少千克？

在用線段圖示表達(dá)后，學(xué)生分別從分?jǐn)?shù)和整數(shù)兩種角度做如下思考，

爸爸體重的是小明體重35千克

爸爸體重€祝叫∶魈逯？5千克

列方程或根據(jù)乘除關(guān)系列除法算式

把爸爸體重平均分成15份，

7份即是小明體重35千克

↓

先求每份量，再求幾份量

↓

35€？€？5

在與整數(shù)方法的對(duì)比中，使學(xué)生體會(huì) “單位‘1的量€追致？分率對(duì)應(yīng)量”這一分?jǐn)?shù)乘除問題基本數(shù)量關(guān)系模型的實(shí)質(zhì)，這雖是人為的一種規(guī)定，但學(xué)生似乎在這種規(guī)定背后找到了理解的支點(diǎn)。在這一過程中，使舊知和新知之間建立聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化，從而加深對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的理解。這樣的教學(xué)過程，既是運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義解決問題的過程，也是理解分?jǐn)?shù)乘法意義的過程。

3.關(guān)注學(xué)生是否建立了“標(biāo)準(zhǔn)量”概念

運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法意義解決分?jǐn)?shù)問題的過程中，除了與整數(shù)方法對(duì)比外還需建立“標(biāo)準(zhǔn)量”即單位“1”的概念。例如：學(xué)校買來彩色粉筆120盒，比白色粉筆少。白色粉筆有多少盒？在理解分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，教師可在解題思路上給予指導(dǎo)。（1）把誰看作標(biāo)準(zhǔn)。（2）比標(biāo)準(zhǔn)多還是少。（3）在標(biāo)準(zhǔn)上疊加還是從標(biāo)準(zhǔn)里減去?？梢姌?biāo)準(zhǔn)的建立在解決問題的過程中顯得致關(guān)重要。標(biāo)準(zhǔn)這個(gè)詞學(xué)生并不陌生，但真正理解標(biāo)準(zhǔn)量的學(xué)生少之又少。我們可以選取學(xué)生身邊熟悉的例子：（1）老師比XX同學(xué)高，XX同學(xué)比老師矮。分別說說這兩句話分別以誰為標(biāo)準(zhǔn)？為什么？老師比XX同學(xué)高，以XX同學(xué)的身高為標(biāo)準(zhǔn)來測(cè)量老師的身高，結(jié)果高出了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。反之，XX同學(xué)比老師矮，以老師的身高為標(biāo)準(zhǔn)去測(cè)量XX同學(xué)的身高，這位同學(xué)的身高就低于標(biāo)準(zhǔn)。（2）老師比XX同學(xué)高，老師又比姚明矮，同樣是老師一下子說“高”一下子說“矮”這又是為什么？（3）XX人長(zhǎng)得漂亮，XX人真胖，他們有標(biāo)準(zhǔn)嗎？你怎么理解？讓學(xué)生明白，表面上看沒有標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)心中有標(biāo)準(zhǔn)，在這里“標(biāo)準(zhǔn)量”這一概念產(chǎn)生了同化。在大量的具體事例中讓學(xué)生明白標(biāo)準(zhǔn)的意思，建立“標(biāo)準(zhǔn)量”的概念，再解決抽象的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生就輕松多了。象以上例題，學(xué)生知道白粉筆是標(biāo)準(zhǔn)量，彩色粉筆比白粉筆少，在標(biāo)準(zhǔn)里減去一部份就是彩色粉筆。

即：白粉筆-白粉筆€祝講噬郾？

白粉筆€祝？-）=彩色粉筆

著名數(shù)學(xué)家華羅庚爺爺指出，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。以上思想正是立足于此，解決分?jǐn)?shù)乘除問題→分?jǐn)?shù)乘除意義→分?jǐn)?shù)乘法意義→分?jǐn)?shù)意義→整數(shù)乘除法意義，不斷追尋知識(shí)的原點(diǎn)。我們要拋棄一切形式化的教學(xué)，使學(xué)生從“訓(xùn)練有數(shù)的操作工”中解放出來，使我們的教學(xué)離數(shù)學(xué)的本質(zhì)更近一些，回歸教學(xué)本源，使學(xué)生真正找到理解數(shù)學(xué)的支點(diǎn)。endprint