利用圖式優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法的研究

諸錦娟

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在總目標(biāo)中指出：“學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式?！睌?shù)學(xué)思想對學(xué)生認(rèn)識、分析和解決問題有非常重要的作用，它指引學(xué)生如何用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的方法去看待事物、提出問題、解決問題。應(yīng)該說，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。那么，如何有意識地優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法呢？筆者認(rèn)為，在課堂中可以利用圖式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，激活學(xué)生思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)思想。

現(xiàn)以蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“解決問題的策略”的教學(xué)為例，加以闡述。

一、借助“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

師：讀題后你獲得了哪些信息？你準(zhǔn)備怎樣來解決這個問題呢？

生1：可以假設(shè)10只全是大船。

生2：可以假設(shè)10只全是小船。

生3：可以假設(shè)一半是大船，一半是小船。

師：同學(xué)們提出了三種不同的假設(shè)情況，讓我們來試試看！

出示優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖：

[借助畫圖、列表等

方法分析數(shù)量關(guān)系] [選擇一種假設(shè)情況，自己嘗試畫一畫，填一填，算一算] [獨立思考解答后，

小組探究學(xué)習(xí)] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.討論：不同的方法解題時有什么共同的特點]

師：請根據(jù)優(yōu)學(xué)圖的指引，完成學(xué)習(xí)單，然后小組交流。

在學(xué)習(xí)例題前，學(xué)生還處于一種“似有所悟”的狀態(tài)，他們的思考呈現(xiàn)出很多的“碎片”。上述片段中，教師適時出示了“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”，幫助學(xué)生把這些碎片進(jìn)行整理，并對學(xué)習(xí)方法進(jìn)行優(yōu)化，讓此段的學(xué)習(xí)進(jìn)入一個“呈現(xiàn)—納入—碎片—整理—優(yōu)化”的過程。這里的“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”是一幅學(xué)習(xí)的流程圖，是對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。圖中用兩種顏色進(jìn)行了區(qū)分，綠色方框表示學(xué)生獨立解決的部分，黃色方框表示小組合作完成的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)生有了“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”的指引，不僅學(xué)習(xí)步驟清晰了，學(xué)習(xí)目標(biāo)也更明確了。

二、利用“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，提煉思路

【片段2】

師：誰愿意來介紹你找到的答案和方法？

生1：我是畫圖來幫助分析的。先假設(shè)10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人數(shù)多了8人。因為一條小船被當(dāng)作大船就會多算2人，8里面有幾個2，我就把幾條大船調(diào)換成小船。

生2：我是畫圖來思考的。假設(shè)10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人數(shù)少了12人，12里面有6個2，我就把6條小船調(diào)換成大船。

生3：我是列表來分析的。先假設(shè)一半是大船，一半是小船，各為5只。再算出假設(shè)與實際總?cè)藬?shù)相差多少，調(diào)整后得到大船6只，小船4只。

課堂上，學(xué)生發(fā)言非常踴躍，呈現(xiàn)出各種不同的解答方法。用畫圖的方法幫助分析問題的學(xué)生都只抽取了與數(shù)學(xué)有關(guān)的“大船”與“小船”的數(shù)量特征，而船的具體形態(tài)不見了。如果說抽象思維的細(xì)胞是概念，形象思維的細(xì)胞是表象，那么學(xué)生課堂中產(chǎn)生的這些“學(xué)習(xí)圖式”既是形象生動的運演，也是形象思維過渡到抽象思維的一種具體表現(xiàn)。在利用圖式導(dǎo)學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)思想方法得到了升華。

【片段3】

師：同學(xué)們，讓我們一起來回顧一下我們是怎樣解決這個問題的。

完成板書：

[畫圖或列表

][假設(shè)10只

都是大船][比42人

多幾人][一只大船比一

只小船多幾人][假設(shè)10只都是小船][比42人

少幾人][一只大船比一

只小船多幾人][調(diào)整 驗證][假設(shè)一半是大船一半是小船][與42人相差幾人][一只大船比一只小船多幾人]

出示練一練：雞和兔一共有8只，數(shù)一數(shù)腿有22條。你知道雞和兔各有多少只嗎？

師：獨立解答時如果覺得有困難，可以參照板書的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，先畫一畫，再算一算。

生獨立完成后，在小組內(nèi)交流。

師：誰來向大家介紹一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只數(shù)；8-3=5（只），求出雞的只數(shù)。我想8只假設(shè)都是雞，就比22條腿少了6條，因為一只兔比一只雞多2條腿，6里面有幾個2，就是有幾只兔被看成了雞。

師相機出示“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖一”：

[假設(shè)都

是雞] [比22條

少幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調(diào)整] [檢驗]

生2：我把8只假設(shè)都是雞，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只數(shù)；8-5=3（只），求出雞的只數(shù)。

師相機出示“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖二”：

[假設(shè)都

是兔] [比22條

多幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調(diào)整] [檢驗]

生3：我是用畫圖的方法來解答的。

[假設(shè)全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（條）][雞：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：雞有5只，兔有3只。][假設(shè)全部

都是雞] [16條腿

少6條][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][雞：8-3=5（只）][答：雞有5只，

兔有3只。][設(shè)全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32條][比原來多了10條][應(yīng)用5只兔換5只雞][正確：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22條]

在學(xué)完例題后，教師根據(jù)學(xué)生歸納的思路，完成了板書的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，這是對學(xué)生解題思路的梳理。這幅“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”既是學(xué)生解題思路的總結(jié)圖，也是學(xué)生練習(xí)時思考問題的引導(dǎo)圖。

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學(xué)會了畫應(yīng)用題，我就可以有把握地說，他一定能學(xué)會解應(yīng)用題。”作為老師，我們時常發(fā)現(xiàn)學(xué)生沒有理清數(shù)量關(guān)系，可這是為什么呢？根源在于學(xué)生還沒有掌握解題的思考方法。因此，借助“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”幫助學(xué)生整理信息，理清思路，把抽象的文字語言變成直觀的圖形語言，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的幫助。

三、構(gòu)建“隱性思路導(dǎo)圖”合理運用

【片段4】

練一練2 六年級學(xué)生制作了176件蝴蝶標(biāo)本，分別在13塊展板上展出。每塊小展板貼8件，每塊大展板貼20件，各有幾塊？

師：估一估大、小展板可能各有幾塊？你是怎么想的？

師：用你喜歡的方法算一算。

學(xué)生匯報，集體交流。

生1：我是這么想的：假設(shè)13塊全是大展板，就比176多多少件標(biāo)本呢？再想……

生2：我是這么想的：假設(shè)13塊全是小展板，就比176少多少件標(biāo)本呢？再想……

從學(xué)生的回答可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)把板書呈現(xiàn)的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，逐步過渡到在腦海中形成一幅隱性的思路導(dǎo)圖，并能利用這樣一幅隱性圖式，在具體解決問題的過程中合理、靈活地運用。教師在巡視學(xué)生的解法時，發(fā)現(xiàn)班級中絕大多數(shù)學(xué)生都不再需要借助列表或畫圖的方法來分析了。這就說明，學(xué)生對策略的理解和運用已經(jīng)越來越嫻熟了。

鋼琴教育家但昭義先生曾說：“過了一段時間，孩子可能不再彈鋼琴了，但是，音樂已經(jīng)留在他的心底?！庇纱思氨?，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該最終留給孩子什么呢？我想應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想方法。一旦學(xué)業(yè)結(jié)束，時過境遷，某些知識、技巧可能被遺忘，但是數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)積淀在他們心底，照亮他們前進(jìn)的道路?？v觀整節(jié)課，數(shù)學(xué)思想方法蘊含在知識的構(gòu)建、發(fā)展和運用中。先通過“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”的指引自主學(xué)習(xí)；再通過小組探究概括出“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，提煉出解題思路；最后過渡到在腦海中形成“隱性思路導(dǎo)圖”。整個學(xué)習(xí)過程，既優(yōu)化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法。我想：這就是數(shù)學(xué)課的魅力所在，也是我們永遠(yuǎn)追尋的優(yōu)質(zhì)課堂的“根”。?endprint

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在總目標(biāo)中指出：“學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式?！睌?shù)學(xué)思想對學(xué)生認(rèn)識、分析和解決問題有非常重要的作用，它指引學(xué)生如何用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的方法去看待事物、提出問題、解決問題。應(yīng)該說，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。那么，如何有意識地優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法呢？筆者認(rèn)為，在課堂中可以利用圖式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，激活學(xué)生思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)思想。

現(xiàn)以蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“解決問題的策略”的教學(xué)為例，加以闡述。

一、借助“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

師：讀題后你獲得了哪些信息？你準(zhǔn)備怎樣來解決這個問題呢？

生1：可以假設(shè)10只全是大船。

生2：可以假設(shè)10只全是小船。

生3：可以假設(shè)一半是大船，一半是小船。

師：同學(xué)們提出了三種不同的假設(shè)情況，讓我們來試試看！

出示優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖：

[借助畫圖、列表等

方法分析數(shù)量關(guān)系] [選擇一種假設(shè)情況，自己嘗試畫一畫，填一填，算一算] [獨立思考解答后，

小組探究學(xué)習(xí)] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.討論：不同的方法解題時有什么共同的特點]

師：請根據(jù)優(yōu)學(xué)圖的指引，完成學(xué)習(xí)單，然后小組交流。

在學(xué)習(xí)例題前，學(xué)生還處于一種“似有所悟”的狀態(tài)，他們的思考呈現(xiàn)出很多的“碎片”。上述片段中，教師適時出示了“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”，幫助學(xué)生把這些碎片進(jìn)行整理，并對學(xué)習(xí)方法進(jìn)行優(yōu)化，讓此段的學(xué)習(xí)進(jìn)入一個“呈現(xiàn)—納入—碎片—整理—優(yōu)化”的過程。這里的“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”是一幅學(xué)習(xí)的流程圖，是對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。圖中用兩種顏色進(jìn)行了區(qū)分，綠色方框表示學(xué)生獨立解決的部分，黃色方框表示小組合作完成的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)生有了“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”的指引，不僅學(xué)習(xí)步驟清晰了，學(xué)習(xí)目標(biāo)也更明確了。

二、利用“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，提煉思路

【片段2】

師：誰愿意來介紹你找到的答案和方法？

生1：我是畫圖來幫助分析的。先假設(shè)10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人數(shù)多了8人。因為一條小船被當(dāng)作大船就會多算2人，8里面有幾個2，我就把幾條大船調(diào)換成小船。

生2：我是畫圖來思考的。假設(shè)10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人數(shù)少了12人，12里面有6個2，我就把6條小船調(diào)換成大船。

生3：我是列表來分析的。先假設(shè)一半是大船，一半是小船，各為5只。再算出假設(shè)與實際總?cè)藬?shù)相差多少，調(diào)整后得到大船6只，小船4只。

課堂上，學(xué)生發(fā)言非常踴躍，呈現(xiàn)出各種不同的解答方法。用畫圖的方法幫助分析問題的學(xué)生都只抽取了與數(shù)學(xué)有關(guān)的“大船”與“小船”的數(shù)量特征，而船的具體形態(tài)不見了。如果說抽象思維的細(xì)胞是概念，形象思維的細(xì)胞是表象，那么學(xué)生課堂中產(chǎn)生的這些“學(xué)習(xí)圖式”既是形象生動的運演，也是形象思維過渡到抽象思維的一種具體表現(xiàn)。在利用圖式導(dǎo)學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)思想方法得到了升華。

【片段3】

師：同學(xué)們，讓我們一起來回顧一下我們是怎樣解決這個問題的。

完成板書：

[畫圖或列表

][假設(shè)10只

都是大船][比42人

多幾人][一只大船比一

只小船多幾人][假設(shè)10只都是小船][比42人

少幾人][一只大船比一

只小船多幾人][調(diào)整 驗證][假設(shè)一半是大船一半是小船][與42人相差幾人][一只大船比一只小船多幾人]

出示練一練：雞和兔一共有8只，數(shù)一數(shù)腿有22條。你知道雞和兔各有多少只嗎？

師：獨立解答時如果覺得有困難，可以參照板書的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，先畫一畫，再算一算。

生獨立完成后，在小組內(nèi)交流。

師：誰來向大家介紹一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只數(shù)；8-3=5（只），求出雞的只數(shù)。我想8只假設(shè)都是雞，就比22條腿少了6條，因為一只兔比一只雞多2條腿，6里面有幾個2，就是有幾只兔被看成了雞。

師相機出示“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖一”：

[假設(shè)都

是雞] [比22條

少幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調(diào)整] [檢驗]

生2：我把8只假設(shè)都是雞，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只數(shù)；8-5=3（只），求出雞的只數(shù)。

師相機出示“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖二”：

[假設(shè)都

是兔] [比22條

多幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調(diào)整] [檢驗]

生3：我是用畫圖的方法來解答的。

[假設(shè)全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（條）][雞：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：雞有5只，兔有3只。][假設(shè)全部

都是雞] [16條腿

少6條][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][雞：8-3=5（只）][答：雞有5只，

兔有3只。][設(shè)全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32條][比原來多了10條][應(yīng)用5只兔換5只雞][正確：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22條]

在學(xué)完例題后，教師根據(jù)學(xué)生歸納的思路，完成了板書的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，這是對學(xué)生解題思路的梳理。這幅“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”既是學(xué)生解題思路的總結(jié)圖，也是學(xué)生練習(xí)時思考問題的引導(dǎo)圖。

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學(xué)會了畫應(yīng)用題，我就可以有把握地說，他一定能學(xué)會解應(yīng)用題?！弊鳛槔蠋煟覀儠r常發(fā)現(xiàn)學(xué)生沒有理清數(shù)量關(guān)系，可這是為什么呢？根源在于學(xué)生還沒有掌握解題的思考方法。因此，借助“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”幫助學(xué)生整理信息，理清思路，把抽象的文字語言變成直觀的圖形語言，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的幫助。

三、構(gòu)建“隱性思路導(dǎo)圖”合理運用

【片段4】

練一練2 六年級學(xué)生制作了176件蝴蝶標(biāo)本，分別在13塊展板上展出。每塊小展板貼8件，每塊大展板貼20件，各有幾塊？

師：估一估大、小展板可能各有幾塊？你是怎么想的？

師：用你喜歡的方法算一算。

學(xué)生匯報，集體交流。

生1：我是這么想的：假設(shè)13塊全是大展板，就比176多多少件標(biāo)本呢？再想……

生2：我是這么想的：假設(shè)13塊全是小展板，就比176少多少件標(biāo)本呢？再想……

從學(xué)生的回答可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)把板書呈現(xiàn)的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，逐步過渡到在腦海中形成一幅隱性的思路導(dǎo)圖，并能利用這樣一幅隱性圖式，在具體解決問題的過程中合理、靈活地運用。教師在巡視學(xué)生的解法時，發(fā)現(xiàn)班級中絕大多數(shù)學(xué)生都不再需要借助列表或畫圖的方法來分析了。這就說明，學(xué)生對策略的理解和運用已經(jīng)越來越嫻熟了。

鋼琴教育家但昭義先生曾說：“過了一段時間，孩子可能不再彈鋼琴了，但是，音樂已經(jīng)留在他的心底?！庇纱思氨?，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該最終留給孩子什么呢？我想應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想方法。一旦學(xué)業(yè)結(jié)束，時過境遷，某些知識、技巧可能被遺忘，但是數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)積淀在他們心底，照亮他們前進(jìn)的道路。縱觀整節(jié)課，數(shù)學(xué)思想方法蘊含在知識的構(gòu)建、發(fā)展和運用中。先通過“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”的指引自主學(xué)習(xí)；再通過小組探究概括出“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，提煉出解題思路；最后過渡到在腦海中形成“隱性思路導(dǎo)圖”。整個學(xué)習(xí)過程，既優(yōu)化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法。我想：這就是數(shù)學(xué)課的魅力所在，也是我們永遠(yuǎn)追尋的優(yōu)質(zhì)課堂的“根”。?endprint

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在總目標(biāo)中指出：“學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式?！睌?shù)學(xué)思想對學(xué)生認(rèn)識、分析和解決問題有非常重要的作用，它指引學(xué)生如何用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的方法去看待事物、提出問題、解決問題。應(yīng)該說，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。那么，如何有意識地優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法呢？筆者認(rèn)為，在課堂中可以利用圖式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，激活學(xué)生思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)思想。

現(xiàn)以蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“解決問題的策略”的教學(xué)為例，加以闡述。

一、借助“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

師：讀題后你獲得了哪些信息？你準(zhǔn)備怎樣來解決這個問題呢？

生1：可以假設(shè)10只全是大船。

生2：可以假設(shè)10只全是小船。

生3：可以假設(shè)一半是大船，一半是小船。

師：同學(xué)們提出了三種不同的假設(shè)情況，讓我們來試試看！

出示優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖：

[借助畫圖、列表等

方法分析數(shù)量關(guān)系] [選擇一種假設(shè)情況，自己嘗試畫一畫，填一填，算一算] [獨立思考解答后，

小組探究學(xué)習(xí)] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.討論：不同的方法解題時有什么共同的特點]

師：請根據(jù)優(yōu)學(xué)圖的指引，完成學(xué)習(xí)單，然后小組交流。

在學(xué)習(xí)例題前，學(xué)生還處于一種“似有所悟”的狀態(tài)，他們的思考呈現(xiàn)出很多的“碎片”。上述片段中，教師適時出示了“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”，幫助學(xué)生把這些碎片進(jìn)行整理，并對學(xué)習(xí)方法進(jìn)行優(yōu)化，讓此段的學(xué)習(xí)進(jìn)入一個“呈現(xiàn)—納入—碎片—整理—優(yōu)化”的過程。這里的“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”是一幅學(xué)習(xí)的流程圖，是對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。圖中用兩種顏色進(jìn)行了區(qū)分，綠色方框表示學(xué)生獨立解決的部分，黃色方框表示小組合作完成的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)生有了“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”的指引，不僅學(xué)習(xí)步驟清晰了，學(xué)習(xí)目標(biāo)也更明確了。

二、利用“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，提煉思路

【片段2】

師：誰愿意來介紹你找到的答案和方法？

生1：我是畫圖來幫助分析的。先假設(shè)10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人數(shù)多了8人。因為一條小船被當(dāng)作大船就會多算2人，8里面有幾個2，我就把幾條大船調(diào)換成小船。

生2：我是畫圖來思考的。假設(shè)10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人數(shù)少了12人，12里面有6個2，我就把6條小船調(diào)換成大船。

生3：我是列表來分析的。先假設(shè)一半是大船，一半是小船，各為5只。再算出假設(shè)與實際總?cè)藬?shù)相差多少，調(diào)整后得到大船6只，小船4只。

課堂上，學(xué)生發(fā)言非常踴躍，呈現(xiàn)出各種不同的解答方法。用畫圖的方法幫助分析問題的學(xué)生都只抽取了與數(shù)學(xué)有關(guān)的“大船”與“小船”的數(shù)量特征，而船的具體形態(tài)不見了。如果說抽象思維的細(xì)胞是概念，形象思維的細(xì)胞是表象，那么學(xué)生課堂中產(chǎn)生的這些“學(xué)習(xí)圖式”既是形象生動的運演，也是形象思維過渡到抽象思維的一種具體表現(xiàn)。在利用圖式導(dǎo)學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)思想方法得到了升華。

【片段3】

師：同學(xué)們，讓我們一起來回顧一下我們是怎樣解決這個問題的。

完成板書：

[畫圖或列表

][假設(shè)10只

都是大船][比42人

多幾人][一只大船比一

只小船多幾人][假設(shè)10只都是小船][比42人

少幾人][一只大船比一

只小船多幾人][調(diào)整 驗證][假設(shè)一半是大船一半是小船][與42人相差幾人][一只大船比一只小船多幾人]

出示練一練：雞和兔一共有8只，數(shù)一數(shù)腿有22條。你知道雞和兔各有多少只嗎？

師：獨立解答時如果覺得有困難，可以參照板書的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，先畫一畫，再算一算。

生獨立完成后，在小組內(nèi)交流。

師：誰來向大家介紹一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只數(shù)；8-3=5（只），求出雞的只數(shù)。我想8只假設(shè)都是雞，就比22條腿少了6條，因為一只兔比一只雞多2條腿，6里面有幾個2，就是有幾只兔被看成了雞。

師相機出示“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖一”：

[假設(shè)都

是雞] [比22條

少幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調(diào)整] [檢驗]

生2：我把8只假設(shè)都是雞，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只數(shù)；8-5=3（只），求出雞的只數(shù)。

師相機出示“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖二”：

[假設(shè)都

是兔] [比22條

多幾條] [一只兔比

一只雞多

幾條腿] [調(diào)整] [檢驗]

生3：我是用畫圖的方法來解答的。

[假設(shè)全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（條）][雞：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：雞有5只，兔有3只。][假設(shè)全部

都是雞] [16條腿

少6條][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][雞：8-3=5（只）][答：雞有5只，

兔有3只。][設(shè)全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32條][比原來多了10條][應(yīng)用5只兔換5只雞][正確：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22條]

在學(xué)完例題后，教師根據(jù)學(xué)生歸納的思路，完成了板書的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，這是對學(xué)生解題思路的梳理。這幅“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”既是學(xué)生解題思路的總結(jié)圖，也是學(xué)生練習(xí)時思考問題的引導(dǎo)圖。

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學(xué)會了畫應(yīng)用題，我就可以有把握地說，他一定能學(xué)會解應(yīng)用題。”作為老師，我們時常發(fā)現(xiàn)學(xué)生沒有理清數(shù)量關(guān)系，可這是為什么呢？根源在于學(xué)生還沒有掌握解題的思考方法。因此，借助“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”幫助學(xué)生整理信息，理清思路，把抽象的文字語言變成直觀的圖形語言，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的幫助。

三、構(gòu)建“隱性思路導(dǎo)圖”合理運用

【片段4】

練一練2 六年級學(xué)生制作了176件蝴蝶標(biāo)本，分別在13塊展板上展出。每塊小展板貼8件，每塊大展板貼20件，各有幾塊？

師：估一估大、小展板可能各有幾塊？你是怎么想的？

師：用你喜歡的方法算一算。

學(xué)生匯報，集體交流。

生1：我是這么想的：假設(shè)13塊全是大展板，就比176多多少件標(biāo)本呢？再想……

生2：我是這么想的：假設(shè)13塊全是小展板，就比176少多少件標(biāo)本呢？再想……

從學(xué)生的回答可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)把板書呈現(xiàn)的“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，逐步過渡到在腦海中形成一幅隱性的思路導(dǎo)圖，并能利用這樣一幅隱性圖式，在具體解決問題的過程中合理、靈活地運用。教師在巡視學(xué)生的解法時，發(fā)現(xiàn)班級中絕大多數(shù)學(xué)生都不再需要借助列表或畫圖的方法來分析了。這就說明，學(xué)生對策略的理解和運用已經(jīng)越來越嫻熟了。

鋼琴教育家但昭義先生曾說：“過了一段時間，孩子可能不再彈鋼琴了，但是，音樂已經(jīng)留在他的心底?！庇纱思氨耍瑪?shù)學(xué)課堂應(yīng)該最終留給孩子什么呢？我想應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想方法。一旦學(xué)業(yè)結(jié)束，時過境遷，某些知識、技巧可能被遺忘，但是數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)積淀在他們心底，照亮他們前進(jìn)的道路?？v觀整節(jié)課，數(shù)學(xué)思想方法蘊含在知識的構(gòu)建、發(fā)展和運用中。先通過“優(yōu)學(xué)方法導(dǎo)圖”的指引自主學(xué)習(xí)；再通過小組探究概括出“優(yōu)學(xué)思維導(dǎo)圖”，提煉出解題思路；最后過渡到在腦海中形成“隱性思路導(dǎo)圖”。整個學(xué)習(xí)過程，既優(yōu)化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法。我想：這就是數(shù)學(xué)課的魅力所在，也是我們永遠(yuǎn)追尋的優(yōu)質(zhì)課堂的“根”。?endprint