火災(zāi)下混凝土板溫度場(chǎng)的幾種計(jì)算方法

邱俊男 袁 勇 崔彥軒

1 引 言

發(fā)生火災(zāi)的建筑不僅災(zāi)后要評(píng)估建筑結(jié)構(gòu)的性能，還應(yīng)分析火災(zāi)過程結(jié)構(gòu)的性能變化，這意味著高溫不僅導(dǎo)致結(jié)構(gòu)性能退化，還會(huì)引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)變化。因此，確定構(gòu)件內(nèi)溫度場(chǎng)分布是進(jìn)行構(gòu)件乃至整體結(jié)構(gòu)分析的前提。

針對(duì)混凝土溫度場(chǎng)的計(jì)算，歐洲規(guī)范[1]給出了試驗(yàn)法、實(shí)用圖表法以及數(shù)值分析三種方法；一些學(xué)者[2,3]提出了簡(jiǎn)化計(jì)算的方法；我國(guó)目前尚沒有統(tǒng)一的混凝土結(jié)構(gòu)抗火計(jì)算規(guī)范，只在廣東省編寫了一本地方性抗火規(guī)范[4](其后簡(jiǎn)稱廣東規(guī)范)，在該規(guī)范中規(guī)定使用實(shí)用圖表法與數(shù)值分析計(jì)算構(gòu)件溫度場(chǎng)。困擾結(jié)構(gòu)工程師的問題是，這些溫度場(chǎng)分析方法繁簡(jiǎn)不一，工程應(yīng)用中不同方法的計(jì)算參數(shù)選取以及各方法的普適性和解答的一致性。

混凝土板作為混凝土結(jié)構(gòu)中最基本的構(gòu)件，在火災(zāi)下，部分板(如中隔板)需要具有隔火功能，另一部分板(如樓板)不僅要具有隔火功能還要有承載功能，因此，選取分析混凝土板的溫度場(chǎng)具有一定的代表性。本文擬通過混凝土板的溫度場(chǎng)分析比較常用方法的一致性。此外，有研究表明，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形狀態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)和溫度場(chǎng)變化的影響很小[5]，本文的分析不考慮混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)力與溫度場(chǎng)的耦合作用。

2 混凝土溫度場(chǎng)的基本原理

2.1 混凝土溫度場(chǎng)控制方程與邊界條件

就混凝土結(jié)構(gòu)而言，當(dāng)火災(zāi)發(fā)生后，周圍空氣溫度隨時(shí)間上升，混凝土構(gòu)件通過與熱空氣之間的傳熱及構(gòu)件內(nèi)部的導(dǎo)熱實(shí)現(xiàn)熱的傳遞。其傳熱過程分為兩個(gè)階段三種方式，第一階段熱由室內(nèi)(或室外)以對(duì)流換熱和物體間的輻射換熱方式傳給混凝土構(gòu)件外表面；第二階段構(gòu)件內(nèi)部熱以固體導(dǎo)熱的方式傳遞到內(nèi)部各點(diǎn)。

鋼筋混凝土在火災(zāi)下，屬于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，構(gòu)件內(nèi)溫度場(chǎng)為不穩(wěn)定溫度場(chǎng)，其控制方程為非線性的拋物線形偏微分方程。

混凝土內(nèi)部的導(dǎo)熱微分方程為[6]

(1)

方程定解的邊界條件共有三種[6]：

第一類邊界條件，已知s1邊界上各瞬時(shí)的溫度分布，即

Ts=Tb(P,t) (P∈s1,t>t0)

(2)

式中，T為溫度;P為空間點(diǎn)或空間坐標(biāo)變量;t為時(shí)間。

第二類邊界條件，已知s2邊界上各瞬時(shí)的熱流密度，即

(3)

式中，n表示外法線方向；λ為混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)。

第三類邊界條件，已知s3邊界上熱交換情況。

(4)

式中，qc為對(duì)流交換的熱量；qr熱輻射交換的熱量：

qc=β(Tg-T)

(5)

式中，β為對(duì)流換熱系數(shù)，W/(m2·K)；Tg為空氣溫度；T為構(gòu)件表面溫度。

qr=Φ·σ·ε[(Tr+273)4-(Tm+273)4]

(6)

式中，Φ為外形系數(shù);σ為Stephan Boltzmann常數(shù)，值為5.67×10-8W/(m2·K4);ε為表面輻射系數(shù);Tr為有效的火災(zāi)環(huán)境輻射溫度;Tm為構(gòu)件的表面溫度。

2.2 混凝土溫度場(chǎng)的熱工參數(shù)

由式(1)不難發(fā)現(xiàn)，影響混凝土溫度場(chǎng)的熱工參數(shù)主要是混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)λc、比熱容cp以及密度ρ?；炷恋慕M成材料的成分復(fù)雜且離散性大，熱工系數(shù)很難準(zhǔn)確地給定。目前，歐洲規(guī)范[1]中的參數(shù)取值得到較普遍接受。

1) 導(dǎo)熱系數(shù)

混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)由于骨料、含水量等的不同而存在較大差異。

歐洲規(guī)范[1]給出了常規(guī)混凝土導(dǎo)熱系數(shù)λc的范圍：

上限：

λc=2-0.245 1(T/100)+0.010 7(T/100)2

20 ℃≤T≤1 200 ℃

(7)

下限：

λc=1.36-0.136(T/100)+0.005 7(T/100)2

20 ℃≤T≤1 200 ℃

(8)

式中，λc為混凝土導(dǎo)熱系數(shù)；T為混凝土溫度。

Lie[7]忽略了各種因素的影響，給出的建議導(dǎo)熱系數(shù)：

λc=1.9-0.000 85T0 ℃≤T≤800 ℃

(9)

λc=1.22T>800 ℃

(10)

式中，λc為混凝土導(dǎo)熱系數(shù);T為混凝土溫度。

2) 比熱容[1,4]

混凝土的比熱容隨溫度變化而變化，廣東規(guī)范對(duì)歐洲規(guī)范的計(jì)算式進(jìn)行了簡(jiǎn)化，給出如下計(jì)算式。

cp(T)=900 J/(kg·K)

20 ℃≤T≤100 ℃

(11)

cp(T)=900+(T-100) J/(kg·K)

100 ℃

(12)

cp(T)=1 000+(T-200)/2 J/(kg·K)

200 ℃

(13)

cp(T)=1 100 J/(kg·K)

400 ℃

(14)

式中，cp為混凝土比熱容。

3) 密度[1]

一般認(rèn)為，混凝土常溫密度可以取為ρ(20 ℃)=2 300 kg/m3，由于失水的影響，密度隨溫度的變化，可以定義如下：

ρ(T)=ρ(20 ℃)

20 ℃≤T≤115 ℃

(15)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[1-0.02(T-115)/85]

115 ℃

(16)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[0.98-0.03(T-200)/200]

200 ℃

(17)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[0.95-0.07(T-400)/800]

400 ℃

(18)

式中,ρ為混凝土的密度。

3 混凝土溫度場(chǎng)計(jì)算方法

3.1 試驗(yàn)法

試驗(yàn)法指通過足尺火災(zāi)試驗(yàn)得到的測(cè)試數(shù)據(jù)的方法。它可為其他方法提供驗(yàn)證和基本數(shù)據(jù)，應(yīng)用新材料或構(gòu)建新型建筑的火災(zāi)場(chǎng)景應(yīng)進(jìn)行溫度場(chǎng)的試驗(yàn)研究。但試驗(yàn)法相對(duì)于其他設(shè)計(jì)方法花費(fèi)大，一些大型試驗(yàn)費(fèi)用高昂，有時(shí)也難以全面模擬邊界的物理和力學(xué)條件。

陳禮剛[8]按照ISO834標(biāo)準(zhǔn)火災(zāi)升溫曲線進(jìn)行的厚度120 mm普通混凝土板的試驗(yàn)中，測(cè)定了板特定部位的溫度發(fā)展過程?；炷涟彘L(zhǎng)、寬、厚分別為4 300 mm、1 500 mm、120 mm。空氣溫度25 ℃,板的下表面暴露在燃燒爐中，升溫曲線為圖1中的虛線曲線，為第三類邊界條件；上表面暴露在空氣中，同樣是第三類邊界條件；側(cè)邊用耐火保溫材料石棉蓋住，可簡(jiǎn)化認(rèn)為其為絕熱面，第二類邊界條件。本文采用其試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)法的代表值，為了方便比較，后面幾種方法的溫度場(chǎng)計(jì)算，均采用這一試驗(yàn)的尺寸。需要指出的是，試驗(yàn)中實(shí)測(cè)的升溫曲線較ISO834曲線略低，見圖1，這在后面的數(shù)值模擬計(jì)算中將予以考慮。

圖1 空氣升溫曲線[8]Fig.1 Temperature increase curve

3.2 實(shí)用圖表法

若規(guī)范以圖表方式給出了特定升溫曲線下混凝土構(gòu)件截面的溫度場(chǎng)，可方便地進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗火計(jì)算。但在使用圖表法時(shí)，應(yīng)注意建立圖表的具體條件，據(jù)此加以使用，否則易產(chǎn)生錯(cuò)誤。

歐洲規(guī)范中結(jié)構(gòu)抗火部分[1]與廣東的地方規(guī)范[4]均在附錄中給出了ISO834升溫曲線下的混凝土溫度場(chǎng)，所選取的室溫為20 ℃，兩本規(guī)范中熱工參數(shù)的選取只有少許差別，廣東規(guī)范給出更多情形的溫度場(chǎng)分布。圖2為取自廣東規(guī)范中板厚度為120 mm的溫度分布。

圖2 廣東規(guī)范120 mm板的溫度場(chǎng)[4]Fig.2 Temperature distribution of an 120 mm RC slab in Guangdong Standard

3.3 簡(jiǎn)化計(jì)算法

對(duì)于簡(jiǎn)單形狀的混凝土構(gòu)件高溫下溫度場(chǎng)，如果能建立簡(jiǎn)化的計(jì)算式則比其他方式簡(jiǎn)潔方便。在各種簡(jiǎn)化計(jì)算方法中，Hertz[3]與Wickstr?m[2]提出的方法得到了普遍接受。本文使用Wickstr?m的方法來計(jì)算在ISO834火災(zāi)升溫條件下普通混凝土板的溫度場(chǎng)。

1) 混凝土板受火面表面溫度

Tw=ηwTf

(19)

(2) 混凝土板內(nèi)溫度

Tc=ηxηwTf

(20)

式中，ηx=0.18ln(th/x2)-0.81(無量綱)；Tc為混凝土板深度x處的溫度(℃)；x為距受火面深度(m)。

這個(gè)方法也可以使用在二維情況，例如計(jì)算梁上的溫度場(chǎng)。此時(shí)，需要引入y方向的系數(shù)ηy，具體形式如下：

Tc=[ηw(ηx+ηy-2ηxηy)+ηxηy]Tf

(21)

式中，參數(shù)意義與式(19)、式(20)相同。

該公式通過修正等效爆火時(shí)間等參數(shù)，可以適用于其他類型混凝土和火災(zāi)升溫條件。

不難發(fā)現(xiàn)，計(jì)算系數(shù)ηw，ηx需要保持正值，公式才有意義。ηw為正值的條件是時(shí)間t>2.53 min,見圖3；而ηx為正值的條件與距受火面深度x有關(guān)，圖4為ηx=0時(shí)，時(shí)間t與距受火面深度x的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了保證ηx值為正，點(diǎn)(x,t)需要在直線上側(cè)。不難發(fā)現(xiàn)隨著深度x的增加，需要更長(zhǎng)的時(shí)間t來保證ηx的值為正。

圖3 系數(shù)ηw與時(shí)間th的關(guān)系Fig.3 The relation between ηw and time th

在這種計(jì)算法的公式中，沒有考慮構(gòu)件的厚度問題。具體來說，對(duì)于不同厚度的板，計(jì)算公式都是相同的，同一受火深度的溫度值的計(jì)算結(jié)果都是相同的，這會(huì)在計(jì)算中帶來誤差，特別是深度x積累到一定量或構(gòu)件背火面溫度計(jì)算的時(shí)候。

圖4 ηx=0時(shí)，時(shí)間th與深度x的關(guān)系Fig.4 The relation between time th and depth x when ηx=0

3.4 數(shù)值模擬

火災(zāi)下混凝土的溫度場(chǎng)是瞬態(tài)的拋物線形偏微分方程，復(fù)雜初邊值條件時(shí)難以獲得解析解，如果考慮混凝土熱工參數(shù)隨溫度變化時(shí)，解析解基本無法求出。對(duì)于高溫混凝土溫度場(chǎng)的計(jì)算，數(shù)值模擬一般通過時(shí)間變量差分法和空間域的有限元單元相結(jié)合的方法，可用來計(jì)算任何材料組合、形狀、火災(zāi)場(chǎng)景等的混凝土溫度場(chǎng)。數(shù)值模擬沒有試驗(yàn)法的危險(xiǎn)性與高昂花費(fèi)，又較簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)法更能適應(yīng)初邊界、材料條件。本文采用大型通用軟件Abaqus來計(jì)算混凝土的溫度場(chǎng)。模型的邊界與尺寸同陳禮剛[8]的試驗(yàn)條件。具體情況如下。

建立了長(zhǎng)、寬、厚分別為4 300 mm、1 500 mm、120 mm的混凝土板，計(jì)算模型如圖5所示。相關(guān)研究表明，鋼筋對(duì)混凝土溫度場(chǎng)計(jì)算的影響不大[9]，本模型中忽略鋼筋?；炷翜囟葓?chǎng)所涉及的參數(shù)，混凝土材料的密度、比熱，選取第2.2節(jié)中的相應(yīng)數(shù)值；導(dǎo)熱系數(shù)由于材料和含水量的原因差異較大，同時(shí)它對(duì)溫度場(chǎng)的分布也有較大影響，在4.1節(jié)根據(jù)陳禮剛[8]的建議，計(jì)算中取式(9)、式(10)，在4.2節(jié)的計(jì)算中取式(8)。

圖5 Abaqus中板模型圖Fig.5 Abaqus model

計(jì)算模型為單面受火形式：板的下表面為受火面，下表面通過對(duì)流和輻射兩種方式傳熱，依據(jù)式(4)—式(6)進(jìn)行計(jì)算，其中對(duì)流換熱系數(shù)為25 W/(m2·K)[10]，輻射的形狀系數(shù)取1，表面輻射系數(shù)取0.8[10]；上表面為背火面，暴露于室溫的空氣中，歐洲規(guī)范規(guī)定此時(shí)可把與空氣的輻射和對(duì)流簡(jiǎn)化看成對(duì)流換熱系數(shù)為9 W/(m2·K)的對(duì)流邊界[10]；由于板長(zhǎng)度和寬度較厚度大很多，且經(jīng)過隔熱處理，可簡(jiǎn)化認(rèn)為四個(gè)側(cè)面為絕熱面，按式(3)計(jì)算。

4 結(jié)果的比較與分析

4.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬的比較

數(shù)值模擬按照試驗(yàn)條件設(shè)定，其中，燃燒爐的升溫曲線取圖1中虛線曲線，室溫設(shè)定為25 ℃，計(jì)算時(shí)間取120 min。

混凝土板的溫度場(chǎng)選取距受火面深度20 mm、40 mm、60 mm、80 mm、120 mm五處為代表截面，所得數(shù)據(jù)繪于圖6中。

圖6 混凝土板內(nèi)升溫曲線Fig.6 Temperature increase in the slab

通過圖6不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)值模擬的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果趨勢(shì)一致，且吻合很好。

在20 mm、40 mm、60 mm、80 mm開始階段可明顯觀察到試驗(yàn)的升溫速率比數(shù)值模擬快，出現(xiàn)“加速增長(zhǎng)”段，同時(shí)這種現(xiàn)象隨著深度的增加逐漸減弱，在120 mm處就不存在了。這種情況的出現(xiàn)主要可能是因?yàn)樵囼?yàn)在加載情況下進(jìn)行，混凝土下部產(chǎn)生裂縫，高溫氣體可直接侵襲混凝土內(nèi)部，所以試驗(yàn)升溫速率較快；隨著深度的增加，裂縫寬度減小，再加上溫度的絕對(duì)數(shù)值也減小使得試驗(yàn)的“加速增長(zhǎng)”段逐漸平緩，向靠近數(shù)值模擬中的升溫曲線發(fā)展；而在位于受壓區(qū)的120 mm處，遠(yuǎn)離裂縫，且開始階段溫度的絕對(duì)數(shù)值很小，所以沒有出現(xiàn) “加速增長(zhǎng)”段。

混凝土試驗(yàn)溫度場(chǎng)在稍高于100 ℃的地方出現(xiàn)明顯的恒溫平臺(tái)，這主要是由于水分蒸發(fā)吸熱導(dǎo)致的[11]，而在本文的數(shù)值模擬中沒有考慮混凝土內(nèi)部自由水的相變問題，故沒有該平臺(tái)。由于恒溫平臺(tái)的出現(xiàn)，試驗(yàn)的升溫曲線在經(jīng)過恒溫平臺(tái)階段后，本該低于數(shù)值模擬結(jié)果；但由于下部裂縫導(dǎo)致的“加速增長(zhǎng)”的影響，在20 mm、40 mm處經(jīng)過恒溫平臺(tái)階段后兩條曲線符合很好，在60 mm、80 mm處甚至稍高于數(shù)值模擬結(jié)果；但在120 mm處由于沒有裂縫的存在，使得在經(jīng)過恒溫平臺(tái)階段后，大約80 min處，試驗(yàn)數(shù)據(jù)低于數(shù)值模擬。

4.2 實(shí)用圖標(biāo)法、簡(jiǎn)化計(jì)算、數(shù)值模擬比較

參照規(guī)范表格與簡(jiǎn)化計(jì)算中規(guī)定的升溫環(huán)境，數(shù)值模擬取圖1中的ISO834升溫曲線，室溫設(shè)定為20 ℃，計(jì)算時(shí)間取180 min。

同樣，選取混凝土板距受火面深度20 mm、40 mm、60 mm(板中)、80 mm、120 mm(背火面)五處為代表截面，所得數(shù)據(jù)繪于圖8。圖7為板在不同時(shí)刻的溫度場(chǎng)云圖。

圖7 混凝土板溫度場(chǎng)云圖Fig.7 Temperature nephogram in the RC slab

由圖8不難發(fā)現(xiàn)，三種方法運(yùn)算結(jié)果的趨勢(shì)是一致的，特別在20 mm、40 mm處三個(gè)結(jié)果符合得很好。

數(shù)值模擬的結(jié)果一直與廣東規(guī)范給出的結(jié)果吻合很好，相差較小。在距離受火面較近的20 mm處數(shù)值模擬的結(jié)果比廣東規(guī)范稍小，但在120 mm處比規(guī)范數(shù)值稍大，這主要是數(shù)值模擬中導(dǎo)熱系數(shù)比廣東規(guī)范中稍小引起的。

不計(jì)系數(shù)ηw，ηx非正的部分，簡(jiǎn)化計(jì)算方法的結(jié)果在20 mm、40 mm處能與其他結(jié)果較好符合，當(dāng)厚度加大到120 mm時(shí)其結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大偏差?？傮w來說，簡(jiǎn)化計(jì)算在計(jì)算深度較小的時(shí)候，結(jié)果符合較好；隨著計(jì)算厚度的增加，計(jì)算結(jié)果與其他方法相差逐漸變大。

圖8 混凝土板中升溫曲線Fig.8 Tempreature increase in the middle of the RC slab

5 結(jié) 論

通過計(jì)算比較，說明了在合理選取參數(shù)的前提下，數(shù)值模擬與試驗(yàn)法、數(shù)值模擬與實(shí)用圖表法計(jì)算結(jié)果較一致。

簡(jiǎn)化計(jì)算方便快捷，但只有在ηw，ηx同時(shí)為正值時(shí)結(jié)果才具有意義。由于該方法中沒有考慮構(gòu)件厚度，即背火面的邊界條件，所以隨著計(jì)算深度x的增加誤差會(huì)逐漸變大。但是，在靠近受火面的深度，計(jì)算結(jié)果較精確，例如本文計(jì)算案例中的20 mm處。建議使用該方法時(shí)，計(jì)算深度不要超過30 mm。

實(shí)用圖表法計(jì)算快速精確，但只能給出特定火災(zāi)情景、混凝土參數(shù)條件下的溫度場(chǎng)，具有很大的局限性。例如本文中的實(shí)用圖表法與試驗(yàn)法結(jié)果不具可比性。

本文中針對(duì)四種混凝土溫度場(chǎng)計(jì)算方法的比較主要是基于ISO834標(biāo)準(zhǔn)升溫曲線下的，若針對(duì)不同的火災(zāi)場(chǎng)景，各種方法的可行性、一致性、繁簡(jiǎn)性還有待進(jìn)一步研究。

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