基于序列線性規(guī)劃的空間鋼框架優(yōu)化

朱杰江 孫宇鳴

1 引 言

鋼結(jié)構(gòu)具有自重輕、施工簡便、易于環(huán)保等優(yōu)點(diǎn)，隨著我國鋼產(chǎn)量不斷提高，鋼結(jié)構(gòu)被越來越廣泛地應(yīng)用。目前制約鋼結(jié)構(gòu)發(fā)展的因素主要是鋼結(jié)構(gòu)直接造價(jià)高于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)[1]，故對鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)有現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義。

對于鋼桁架結(jié)構(gòu)，目前已有較成熟的基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法及粒子群算法、遺傳算法等啟發(fā)式算法的優(yōu)化研究[2-4]，對于鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究則相對較少。

宮海，李國強(qiáng)[5]采用一種由拉格朗日乘子法與虛功原理組合而得的位移準(zhǔn)則法，采用局部(構(gòu)件強(qiáng)度穩(wěn)定性)與整體(整體位移)優(yōu)化算法相結(jié)合方式，對空間多層、高層鋼框架進(jìn)行截面尺寸的優(yōu)化。

Stojan等[6]基于非線性規(guī)劃針對單層門式剛架的截面以及布局優(yōu)化進(jìn)行研究。Kaveh等[7,8]將蟻群算法運(yùn)用到基于性能的平面鋼框架優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

黃冀卓，王湛[9]以一種兩階段優(yōu)化策略實(shí)現(xiàn)了支撐的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化，第一階段控制構(gòu)件，不控制整體位移，第二階段針對鋼框架-支撐結(jié)構(gòu)中支撐位置、布局，以平面結(jié)構(gòu)的整個(gè)立面為連續(xù)設(shè)計(jì)區(qū)域，進(jìn)行支撐體系的拓?fù)鋬?yōu)化。

目前純鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化研究，對于層間相對位移約束的處理仍較為被動(dòng)，通常需要與構(gòu)件的強(qiáng)度及穩(wěn)定性進(jìn)行分級優(yōu)化?？紤]到鋼框架結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度低往往導(dǎo)致截面進(jìn)一步加大，進(jìn)而可能影響優(yōu)化效果，本文基于序列線性規(guī)劃和對偶仿射尺度法，將結(jié)構(gòu)層間位移約束置于與構(gòu)件應(yīng)力約束同等地位，優(yōu)化時(shí)對層間位移及柱頂位移進(jìn)行主動(dòng)控制。并且，考慮到工程實(shí)際運(yùn)用，直接對空間多層鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體優(yōu)化。

2 數(shù)學(xué)規(guī)劃法原理

2.1 序列線性規(guī)劃

序列線性規(guī)劃(Sequence Linear Programming,SLP)是非線性規(guī)劃中一種成熟的解法，它將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，然后用單純形法求解該線性規(guī)劃。對于目標(biāo)函數(shù)及約束條件，都可以使用泰勒展開取其線性項(xiàng)來逼近原函數(shù)，對于多元函數(shù)f(X1,X2, …,Xn)有

(1)

式中，df(k)(X1,X2, …,Xn)為f(X1,X2, …,Xn)在第k次序列線性規(guī)劃循環(huán)時(shí)的全微分，表示為

(2)

式中，{dX}為優(yōu)化變量X1,X2, …,Xn的微元dX1, dX2, …, dXn所組成的列向量。

這樣，就完成了目標(biāo)函數(shù)、約束條件的線性化。

2.2 對偶仿射尺度法

對以往的序列線性規(guī)劃方法加以改進(jìn)，采用對偶仿射尺度法來替代單純形法完成線性規(guī)劃的求解。

對偶仿射尺度法是基于內(nèi)點(diǎn)法的一種線性規(guī)劃算法。與單純形法所不同的是，內(nèi)點(diǎn)法在可行域的內(nèi)部搜索最優(yōu)解，而不是可行域的邊界。因此，對于規(guī)模較大的線性規(guī)劃問題，內(nèi)點(diǎn)法的迭代效率高于單純形法[10]。

考慮非對稱的對偶規(guī)劃，如式(3)所示。

(3)

求解的基本步驟如下：

(1) 找出初始可行解(y0,z0)滿足

ATy0+z0=c,z0>0

(4)

令k=0。

(2) 求搜索方向，令Sk=diag(zk)，并計(jì)算

(5)

(5) 若xk≥0,cTxk-bTyk=0，則停止，(yk,zk)為最優(yōu)解；否則，進(jìn)行第(6)步。

(6) 計(jì)算步長

(6)

(7) 校正解

(7)

令k=k+ 1，返回到第(2)步，不斷循環(huán)，直至滿足停止條件。

3 優(yōu)化模型

3.1 總則

本文以結(jié)構(gòu)框架用鋼的體積最小為目標(biāo)函數(shù)，如式(8)所示。

(8)

式中，Li為第i個(gè)桿件的長度;Ai為第i個(gè)桿件的面積;n為桿件數(shù)。

根據(jù)序列線性規(guī)劃的原理，取得目標(biāo)函數(shù)(8)的全微分，來構(gòu)建一個(gè)線性規(guī)劃問題，如式(9)所示。

(9)

對于第i個(gè)約束條件

N≤gi≤P

(10)

可作以下變換取得線性約束條件

(11)

式中，k表示序列線性規(guī)劃的循環(huán)次數(shù)；P為約束的上限；N為約束的下限；gi代表結(jié)構(gòu)的某響應(yīng)，為優(yōu)化變量的隱函數(shù)，問題歸結(jié)為取得各結(jié)構(gòu)響應(yīng)關(guān)于優(yōu)化變量的全微分。

3.2 基于空間梁系有限元法的優(yōu)化模型

使用不考慮剪切變形的梁單元，對于局部坐標(biāo)系下單元(圖1)，有以下控制方程組，

圖1 梁(柱)單元示意圖Fig.1 Beam (column) element

式(12a)中，

(13)

(14)

式(12b)為節(jié)點(diǎn)平衡方程，其中，

(15)

(16)

(17)

將式(12a)式(12c)代入式(12b)得

(18)

(19)

式(19)即單元在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

(20)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后整合所有桿件取得結(jié)構(gòu)的控制方程組：

對式(21b)、式(21c)、式(21e)展開得

將式(23)代入式(22)

最終可得

(25)

通過該列向量可對結(jié)構(gòu)任意節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度的位移施加約束條件。

整理得結(jié)構(gòu)整體優(yōu)化的有限元模型：

(26)

3.3 約束條件

應(yīng)力約束考慮構(gòu)件強(qiáng)度及穩(wěn)定性，如式(27)—式(29)所示：

(27)

(28)

(29)

式中，γRE為抗震承載力調(diào)整系數(shù)；γy，γz分別為截面兩個(gè)主軸塑性發(fā)展系數(shù)；φy，φz為軸心受壓穩(wěn)定系數(shù)，根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[11](GB 50017—2003)附錄C、D確定；φby，φbz為受彎整體穩(wěn)定系數(shù)，根據(jù)《規(guī)范》[11]附錄B確定；f為鋼材強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，根據(jù)《規(guī)范》[11]表3.4.1-1確定。

層間相對位移滿足

(30)

式中，Δδj為第j層水平位移；hj為第j層層高；δju為允許層間位移角，風(fēng)荷載作用下[11]為1/400，地震作用下[12]為1/250。

此外，框架柱頂風(fēng)荷載作用下允許位移取H/500(H為結(jié)構(gòu)高度)。

3.4 截面設(shè)計(jì)及優(yōu)化變量

描述截面尺寸可以是單參數(shù)，也可以是多參數(shù)。對于焊接型鋼，可以描述截面的若干參數(shù)推導(dǎo)6個(gè)物理量關(guān)于參數(shù)的函數(shù)。例如，對于焊接圓管，以內(nèi)徑d及外徑D作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量；對于焊接H型鋼，以翼緣寬度b及截面全高h(yuǎn)為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，其他參數(shù)則假定為b,h的牽連變量，設(shè)計(jì)截面時(shí)即可在一定程度上避免局部穩(wěn)定超限。這樣，截面力學(xué)參數(shù)可表示為b,h的函數(shù)，如截面的慣性矩和截面模量可表示為

(31)

其全微分可表示為

(32)

4 算 例

以兩個(gè)空間鋼框架為優(yōu)化算例，優(yōu)化期間直接控制序列線性規(guī)劃循環(huán)次數(shù)，而對偶仿射尺度法迭代次數(shù)直接取30。構(gòu)件全部采用以b,h為設(shè)計(jì)變量的雙參數(shù)焊接H型鋼(式(31)、式(32))，材料采用Q345。

結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)取1.0，中梁、邊梁剛度放大系數(shù)分別按《高層民用建筑鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[13](JGJ 99—98)條文5.1.3取1.5和1.2；場地特征周期取0.9 s，抗震設(shè)防烈度為7度，水平地震影響系數(shù)最大值取0.08，阻尼比取0.035，周期折減系數(shù)取0.7，考慮雙向地震作用并采用CQC振型組合方法；地面粗糙度類別為C類，基本風(fēng)壓取0.55 kN/m2，風(fēng)荷載體型系數(shù)取1.3?？紤]恒載、活載、風(fēng)荷載、地震作用的35種荷載效應(yīng)組合，并采用剛性樓板假定。

4.1 算例一

算例一為一個(gè)二層不規(guī)則簡單框架，如圖2所示，底層柱距為6 m，首層層高6 m，2層層高4 m。

圖2 算例一結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The 1st Model

首先，不控制結(jié)構(gòu)整體位移，將應(yīng)力比約束條件分別設(shè)置為0.95，0.65，0.35，進(jìn)行20次SLP循環(huán)，優(yōu)化曲線如圖3所示。

圖3顯示，雖然迭代在中后期表現(xiàn)出跳躍特點(diǎn)，但優(yōu)化曲線總體上表現(xiàn)為收斂；并且，應(yīng)力比約束越小，材料用量越大，證明優(yōu)化程序是有效的，且與實(shí)際相符合。

考察應(yīng)力比約束取0.95時(shí)優(yōu)化的最終情況，在第17次迭代時(shí)結(jié)構(gòu)用鋼量達(dá)到最低的0.314 m3，桿20達(dá)到最大應(yīng)力比0.938，與應(yīng)力比約束條件值相近。此時(shí)的結(jié)構(gòu)層間位移角列于表1，結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的宏觀效果見圖4。

圖3 不同應(yīng)力比約束下的優(yōu)化曲線Fig. 3 Optimization performance of the 1st Model underdifferent stress constraints

表1無位移約束時(shí)層間位移角

Table1Ratioofstorey-driftwithoutconstraints1/rad

層數(shù)X方向Y方向一層風(fēng)12.68.4地震0.60.7二層風(fēng)21.514.8地震1.11.3

圖4 算例一優(yōu)化宏觀效果圖Fig.4 Macroscopic optimization effect of the 1st Model

圖4顯示，在最小用鋼量目標(biāo)的驅(qū)使下，桿件的截面尺寸表現(xiàn)出差異性。

表1顯示，在無位移約束下，結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載作用下一、二層位移角均已超過規(guī)范限值2.5%。

然后對一層施加位移角約束條件，允許層間位移角風(fēng)荷載下取2.5%，地震作用下取4%，優(yōu)化后最小用鋼量為0.491 m3，桿2達(dá)到最大應(yīng)力比0.921，結(jié)構(gòu)層間位移角列于表2。

表2僅一層位移角約束時(shí)層間位移角

Table2Ratioofstorey-driftunder1ststorey-driftconstraints%

X方向Y方向一層風(fēng)2.31.5地震0.10.1二層風(fēng)15.37.3地震0.90.8

表2顯示，一層在風(fēng)荷載、地震作用下X方向?qū)娱g位移角分別為2.3%、0.1%，滿足約束條件2.5%、4%，而二層位移角未施加約束條件，在算法追求最小用鋼量的過程中自由變化，最高達(dá)到15.3%。

可以看到此時(shí)雖然是一層風(fēng)荷載下位移約束起控制作用，但應(yīng)力比最大仍可接近限值0.95。

最后對一、二層均施加位移角約束，優(yōu)化后最小用鋼量為0.528 m3，桿1達(dá)到最大應(yīng)力比0.941，結(jié)構(gòu)層間位移角列于表3。

表3一、二層位移角約束時(shí)層間位移角

Table3Ratioofstorey-driftunderconstraintsofbothstories1/rad

層數(shù)X方向Y方向一層風(fēng)1.71.8地震0.10.2二層風(fēng)2.01.6地震0.20.2

表3顯示，施加位移約束條件之后，結(jié)構(gòu)一層在風(fēng)荷載作用下X、Y方向?qū)娱g位移角為1.7%、1.8%、二層在風(fēng)荷載作用下X、Y方向?qū)娱g位移角為2.0%、1.6%，均已滿足規(guī)范2.5%要求。

通過算例一的一個(gè)不規(guī)則簡單框架查看了優(yōu)化算法和程序同時(shí)對應(yīng)力、位移約束條件進(jìn)行主動(dòng)控制的效果。通過放大、縮小約束條件，在數(shù)值上驗(yàn)證了程序的正確性和符合邏輯性。

4.2 算例二

算例二為一個(gè)規(guī)則二層主次梁鋼框架結(jié)構(gòu)體系，平面布置如圖5所示，柱距6 m，層高4 m。樓面恒載、活載均取4 kN/m2。

圖5中未注明標(biāo)簽的構(gòu)件均為次梁，不進(jìn)行優(yōu)化，只參與結(jié)構(gòu)分析，且兩端釋放轉(zhuǎn)角自由度。

應(yīng)力比約束取0.95，層間位移角約束風(fēng)荷載下取2.5%，地震作用下取4%，風(fēng)荷載下柱頂位移約束取H/500，H為結(jié)構(gòu)高度8 m。優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)總體情況列于表4，構(gòu)件尺寸列于表5，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)最大層間位移角列于表6，優(yōu)化的宏觀效果見圖6。

圖5 算例二結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 The 2nd Model

表4算例二優(yōu)化前后總體情況

Table4Macroscopicconditionsofthe2ndModelbeforeandafteroptimization

參數(shù)優(yōu)化前優(yōu)化后(圓整前)優(yōu)化后(圓整后)用鋼量/m36.982.953.14最大應(yīng)力比(強(qiáng)度)0.4080.6740.618最大應(yīng)力比(穩(wěn)定)0.5550.9090.844

表5算例二優(yōu)化前后構(gòu)件尺寸

Table5Membersizesofthe2ndModelbeforeandafteroptimizationmm

表6算例二優(yōu)化后層間位移角

Table6Ratioofstorey-driftofthe2ndModelafteroptimization

層數(shù)X方向Y方向圓整前圓整后圓整前圓整后一層風(fēng)0.64%0.57%0.64%0.57%地震2.13%1.91%2.13%1.91%二層風(fēng)0.52%0.47%0.52%0.47%地震0.23%2.05%0.23%2.05%

圖6 算例二優(yōu)化宏觀效果圖Fig.6 Macroscopic optimization effects of the 2nd Model

表4、表5、圖6顯示，優(yōu)化過程自動(dòng)使結(jié)構(gòu)應(yīng)力比在滿足約束條件情況下得到釋放。在初始截面的基礎(chǔ)上，程序自動(dòng)搜索最優(yōu)截面尺寸，構(gòu)件翼緣寬度及截面高度在最小用鋼量的驅(qū)使下自動(dòng)變化。

表6顯示，結(jié)構(gòu)優(yōu)化后地震作用下層間位移角X及Y方向幾乎一致，一層1.91%，二層為2.05%，說明優(yōu)化程序在兩個(gè)方向上同時(shí)對抗側(cè)剛度進(jìn)行了主動(dòng)調(diào)整，使用鋼量在約束條件之內(nèi)趨于最低。

觀察表4、表6中構(gòu)件圓整前后情況，進(jìn)行截面圓整后結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力比為0.844，最大層間位移角為2.05%，與圓整前的結(jié)構(gòu)響應(yīng)比較有所降低，與限值0.9、4%相比較則仍有富余。因此，考慮到優(yōu)化程序的精確度和優(yōu)化后構(gòu)件尺寸的圓整，在進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，可適當(dāng)放大約束條件的值。

5 結(jié) 語

(1) 本文基于序列線性規(guī)劃和對偶仿射尺度法，以結(jié)構(gòu)最小用鋼量為優(yōu)化目標(biāo)，以構(gòu)件截面尺寸為優(yōu)化變量，推導(dǎo)了空間鋼框架結(jié)構(gòu)在強(qiáng)度、穩(wěn)定性、節(jié)點(diǎn)位移、結(jié)構(gòu)層間位移約束下整體優(yōu)化的有限元模型，編制了程序。

(2) 通過一個(gè)簡單二層不規(guī)則鋼框架算例驗(yàn)證了優(yōu)化程序同時(shí)處理應(yīng)力與位移約束的可行性；收縮約束條件，驗(yàn)證了程序處理不同應(yīng)力、位移約束的效果。

(3) 對一個(gè)主次梁體系鋼框架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)考慮規(guī)范對于構(gòu)件強(qiáng)度、穩(wěn)定性，結(jié)構(gòu)層間位移角及柱頂側(cè)移的限制，證明了優(yōu)化算法和程序能夠滿足工程實(shí)際的需要。

[ 1 ] 趙赤云.鋼結(jié)構(gòu)住宅的現(xiàn)狀及其綜合經(jīng)濟(jì)效益分析[J].北京建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào), 2004, 20(2): 20-23.

Zhao Chiyun. The existing application of steel construction residence and analysis of comprehensive economic benefit for it [J]. Journal of Beijing University of Civil Engineering and Architecture, 2004, 20(2): 20-23. (in Chinese)

[ 2 ] 張雯雰,李麗娟,滕少華,等. 粒子群優(yōu)化算法在離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用[J]. 結(jié)構(gòu)工程師, 2010, 26(2): 76-82.

Zhang Wenfen, Li Lijuan, Teng Shaohua, et al. Particle swarm optimizer algorithm for design optimization of structures with discrete variable [J]. Structural Engineers, 2010, 26(2): 76-82. (in Chinese)

[ 3 ] 杜劍明,張維聲,郭旭. 基于SAND列式的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題序列線性規(guī)劃算法[J]. 工程力學(xué), 2012, 29(3): 21-26.

Du Jianming, Zhang Weisheng, Guo Xu. Sequential linear programming algorithm based on the sand formula for truss optimization [J]. Engineering Mechanics, 2012, 29(3):21-26. (in Chinese)

[ 4 ] 朱杰江,羅峰.基于強(qiáng)度和變形約束的鋼桁架優(yōu)化[J]. 鋼結(jié)構(gòu), 2012, 27(3): 11-16.

Zhu Jiejiang, Luo Feng. Steel-truss optimization based on strength and deformation constraints [J]. Steel Construction, 2012, 27(3): 11-16. (in Chinese)

[ 5 ] 宮海,李國強(qiáng).多高層建筑鋼結(jié)構(gòu)實(shí)用優(yōu)化方法研究[J]. 結(jié)構(gòu)工程師, 2006, 22(1):1-5.

Gong Hai, Li Guoqiang. Practical optimization method for structural design of multi and tall steel buildings[J]. Structural Engineers, 2006, 22(1):1-5. (in Chinese)

[ 6 ] Stojan K, Goran T, Simon, et al. Optimal design of single-story steel building structures based on parametric MINLP optimization [J]. Journal of Constructional Steel Research, 2013(81): 86-103.

[ 7 ] Kaveh A, Farahmand Azar B, Hadidi A, et al. Performance-based seismic design of steel frames using ant colony optimization [J]. Journal of Constructional Steel Research, 2010, 66(4): 566-574.

[ 8 ] Kaveh A, Talatahari S. An improved ant colony optimization for the design of planar steel frames[J]. Engineering Structures, 2010, 32(3): 864-873.

[ 9 ] 黃冀卓,王湛.鋼框架支撐體系連續(xù)型拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[J].工程力學(xué), 2010, 27(11):106-112.

Huang Jizhuo, Wang Zhan. Continuum structural topology optimization for layout design of steel frame bracing systems[J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(11):106-112. (in Chinese)

[10] 李煒. 線性優(yōu)化及其擴(kuò)展[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2011.

Li Wei. Linear optimization and its extension[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2011. (in Chinese)

[11] 中華人民共和國建設(shè)部. GB 50017—2003 鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S]. 北京: 中國計(jì)劃出版社, 2003.

Ministry of Construction of the People’s Republic of China. GB 50017—2003 Code for design of steel structures[S]. Beijing: China Planning Press, 2003. (in Chinese)

[12] 中華人民共和國建設(shè)部. GB 50011—2010 建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范[S]. 北京:中國建筑工業(yè)出版社, 2010.

Ministry of Construction of the People’s Republic of China. GB 50011—2010 Code for seismic design of buildings[S]. Beijing: China Architecture and Building Press, 2010. (in Chinese)

[13] 中華人民共和國建設(shè)部. JGJ 99—98 高層民用建筑鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程[S]. 北京:中國建筑工業(yè)出版社, 1998.

Ministry of Construction of the People’s Republic of China. JGJ 99—98 Technical specification for steel structure of tall buildings[S]. Beijing: China Architecture and Building Press, 1998. (in Chinese)