碰撞接觸模型的理論推導(dǎo)與數(shù)值方法的應(yīng)用

，

(浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

對(duì)于摩擦碰撞問(wèn)題，現(xiàn)有的理論多討論剛性物體的正碰撞問(wèn)題.通過(guò)碰撞過(guò)程，碰撞物體的法向相對(duì)速度發(fā)生改變，而碰撞沖量與法向力方向相同.在考慮不完全彈性碰撞時(shí)，即發(fā)生塑性形變的情況，描述碰撞過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方程數(shù)目不足以確定碰撞后物體的速度等未知變量，必須增加條件才能使方程組封閉有解.Newton在1686年最早提出將碰撞前后的法向速度之比定義為恢復(fù)因數(shù)e，以此補(bǔ)充正碰撞問(wèn)題的條件.1817年P(guān)oisson將正碰過(guò)程的恢復(fù)階段和壓縮階段的沖量之比來(lái)定義恢復(fù)因數(shù)e，顯然兩種定義是一致的.而對(duì)于斜碰撞，一般僅僅關(guān)注無(wú)摩擦的理想情形.對(duì)于有摩擦的情況，Whittaker(1904年)提出了切向沖量等于法向沖量乘以庫(kù)倫摩擦系數(shù)，其方向與碰撞前切向滑動(dòng)速度的方向相反.1984年Kane[1]在關(guān)于雙擺末端與平面碰撞的算例中發(fā)現(xiàn)，利用Whittaker假定的計(jì)算結(jié)果會(huì)導(dǎo)致碰撞后雙擺的總機(jī)械能大于碰撞前的不合理的計(jì)算結(jié)果，在隨后的研究工作中，人們先后對(duì)此問(wèn)題產(chǎn)生的原因提出了一些修正方案[2-7]，然而這些方案仍有許多的局限性，且多以定性闡述為主，筆者將以理論推導(dǎo)的形式并配合數(shù)值計(jì)算方法來(lái)探討研究這一問(wèn)題.

1 球與彈性半空間碰撞接觸模型物理量計(jì)算

以一個(gè)小球與彈性平面發(fā)生斜碰撞為研究對(duì)象，球的半徑為R，密度為ρ，質(zhì)量為m，球以初速度v0，角速度ω0，沿跟z軸負(fù)向呈α夾角與彈性半空間表面發(fā)生碰撞，球質(zhì)心為O，球與半空間表面接觸部分的最低點(diǎn)為P，半空間與P接觸的點(diǎn)為Q.其中，角速度方向以圖示逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，速度方向以座?biāo)軸正向?yàn)檎?須說(shuō)明的是，P和Q兩點(diǎn)不是物體上的固定點(diǎn)，而是在P和Q這兩個(gè)位置上的點(diǎn)，兩者接觸面半徑為a.設(shè)接觸面任意一點(diǎn)的法向位移為uz，到接觸中心的水平距離為r，接觸面最低點(diǎn)的壓力為p0，球壓入半空間的最大深度為d(圖1).

圖1 球與平面接觸碰撞模型

對(duì)于剛性球與彈性半空間的接觸碰撞模型，根據(jù)彈性理論[8]知當(dāng)彈性半空間上一點(diǎn)分別受法向集中力和切向集中力作用時(shí)，在彈性半空間表面處沿z和x方向的位移分別為

(1)

其中：E為彈性半空間彈性模量；μ為泊松比；r=(x2+y2)1/2；G=E/[2(1+μ)]；Fz和F分別為沿接觸面法向和切向的集中力，接觸面上的法向應(yīng)力分布為

(2)

為計(jì)算接觸面上的壓入深度，建立圖2所示的接觸積分區(qū)域，有

t2=(ssinφ)2+(r+scosφ)2=r2+s2+2rscosφ

(3)

將式(3)代入式(2)，有

(4)

令α2=α2-r2，β2=rcosφ，有

(5)

因接觸圓邊界上壓力為零，設(shè)s0為方程α2-s2-2βs=0的正根，得接觸圓域的積分上限為

(6)

對(duì)式(1)中的uz在接觸圓域進(jìn)行積分，有

(7)

由于積分的對(duì)稱性，β的一次項(xiàng)在φ∈[0,2π]上積分為0，則得接觸面法向位移為

(8)

其中：E*=E/(1-μ2)；r=(x02+y02)1/2且r≤a.

圖2 接觸積分區(qū)域

同理，對(duì)于切向分布力

(9)

將式(3)代入式(9)，并令α2=α2-r2和β2=rcosφ，有

(10)

對(duì)式(1)中的ux在接觸圓域進(jìn)行積分，并考慮到積分的對(duì)稱性，得到接觸面上的切向位移為

(11)

其中：x0=rcosθ；y0=rsinθ.當(dāng)x0?a時(shí)，ux(x0,y0)≈ux(0,0)，可忽略后兩項(xiàng).并且當(dāng)x0和y0都為0時(shí)，有最大切向變形，以其為考察點(diǎn)寫為

(12)

將式(2，9)分別在接觸面上積分可得球?qū)ζ矫娴姆ㄏ蛄颓邢蛄?，?/p>

(13)

(14)

由FN=?UN/?d和FT=?UT/?uQx，分別對(duì)d和uQx進(jìn)行積分，可得彈性半空間的應(yīng)變能近似為法向應(yīng)變能與切向應(yīng)變能之和，可寫為

(15)

根據(jù)牛頓第二定律可得接觸面上壓入深度d的微分方程

(16)

其中：KN=4E*R1/2/(3m)，考慮到球的運(yùn)動(dòng)，則d，uQx，p0，a都為時(shí)間的函數(shù).

球的動(dòng)能為平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和，寫為

(17)

其中：vOx為球質(zhì)心速度在x方向的分量；vOz為球質(zhì)心速度z方向的分量；J為球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其值為2mR2/5；ω為球自轉(zhuǎn)的角速度.

摩擦損耗的能量是由球與半空間表面接觸位置的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，計(jì)Q點(diǎn)沿x方向的速度為vQx，球最低點(diǎn)P相對(duì)于Q點(diǎn)的速度為vr，有

vr(t)=vOx(t)+Rω(t)-vQx(t)

(18)

(19)

其中vr的方向以座標(biāo)軸正向?yàn)檎?

球與彈性半空間組成一個(gè)系統(tǒng)，根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)總能量為上述三部分能量之和且應(yīng)為常數(shù)，其值等于球的初始動(dòng)能.并且，彈性半空間的應(yīng)變能與摩擦損耗的能量都不小于零.于是球與半空間碰撞后的動(dòng)能不應(yīng)大于其初始動(dòng)能，即E1(t)≤E1(0).若不滿足這一條件，則有悖于能量守恒定律.

2 數(shù)值離散

對(duì)于式(16)給出的d(t)的微分方程很難得到其解析解，但故而采用數(shù)值方法進(jìn)行近似計(jì)算.設(shè)Δt為很短的一段時(shí)間，由中心差分法可以得到d(t)的二階差分式

(20)

于是，將d(t)離散成n個(gè)時(shí)刻的值，相鄰時(shí)刻的時(shí)間間隔均為h，即h為時(shí)間步長(zhǎng)，得到離散形式為

(21)

球剛剛接觸到彈性半空間時(shí)記為0時(shí)刻，此時(shí)的最大壓入深度d(1)=0，球與半空間沒(méi)有相互作用力，近似認(rèn)為d(2)=-hvOz.在h較小的時(shí)候可以較精確地得到d的近似值.

球心法向速度的正方向與壓入深度相反，其大小等于d(t)的一階導(dǎo)數(shù)，由中心差分法得

(22)

將其離散得

(23)

發(fā)生動(dòng)摩擦?xí)r，令摩擦力方向與P和Q相對(duì)速度方向相反，按庫(kù)倫摩擦定律可得球?qū)椥园肟臻g表面切向力FT的離散形式

(24)

由式(14)可得

(25)

在較短的時(shí)間間隔內(nèi)，將FT(t)近似視為隨時(shí)間呈線性變化，根據(jù)沖量定理可得

(26)

將其離散得

(27)

同理，對(duì)于角速度ω(t)有

(28)

將其離散得

(29)

Q點(diǎn)速度為Q點(diǎn)位移的一階導(dǎo)數(shù)，由中心差分法可知

(30)

將其離散得

(31)

于是可以得到相對(duì)速度的離散形式

vr=vOx+Rω-vQx

(32)

再根據(jù)式(15，17，19)得到能量的離散形式，設(shè)i為正整數(shù)，從2～(n-1)變化時(shí)，有

(33)

(34)

(35)

在先得出d數(shù)值解的基礎(chǔ)上，由離散公式計(jì)算剛性球與彈性半空間碰撞過(guò)程中各個(gè)物理量的近似值.在靜摩擦情況下，Q點(diǎn)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而切向力應(yīng)由Q點(diǎn)位移確定，同時(shí)切向力影響著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，在此復(fù)雜的耦合狀態(tài)下，可用增量法得到近似的解.在變力條件下，對(duì)球心O點(diǎn)，可設(shè)

(36)

(37)

(38)

同理可得，P點(diǎn)由角速度產(chǎn)生的位移為

(39)

其中：k1≈-[FT(t)-FT0]R/(tJ)；角加速度β0=-FT0R/J.當(dāng)t→0時(shí)，uOx(t)和uω(t)能取到比較精確的值.此時(shí)忽略t的三次項(xiàng)，得到Q點(diǎn)位移的增量式，將其離散得

(40)

切向力的離散形式為

(41)

此時(shí)不發(fā)生動(dòng)摩擦，P和Q相對(duì)速度為零，無(wú)摩擦損耗.要注意的是，動(dòng)靜摩擦之間的變換可能發(fā)生于離散后的兩個(gè)相鄰時(shí)刻之間，對(duì)此可用插值法修正來(lái)得到更接近實(shí)際情況的結(jié)果.

3 結(jié) 論

剛性球與彈性半空間發(fā)生帶有摩擦的斜碰撞問(wèn)題，會(huì)出現(xiàn)物體機(jī)械能增大這一與能量守恒定律相悖的現(xiàn)象，筆者在研究中采用了解析的方法推導(dǎo)出碰撞接觸點(diǎn)處位移的微分方程，并通過(guò)數(shù)值方法求解這種二階非常規(guī)的微分方程，對(duì)于各物理量同時(shí)進(jìn)行了數(shù)值離散，這種方法為發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能量不守恒的原因提供了一種可行的解決途徑，由于篇幅所限，具體的計(jì)算結(jié)果將另文發(fā)表.

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