鞅差時間序列的部分線性EV模型的小波估計

殷 威，林存津，夏雨荷

(湖北師范學院 數學與統(tǒng)計學院， 湖北 黃石 435002)

鞅差時間序列的部分線性EV模型的小波估計

殷 威，林存津，夏雨荷

(湖北師范學院 數學與統(tǒng)計學院， 湖北 黃石 435002)

用小波方法研究了誤差為滑動平均鞅差序列的部分線性EV模型，得到了小波估計量的矩收斂速度及強收斂性。

滑動平均鞅差序列；部分線性EV模型；小波估計；矩收斂速度；強收斂性

0 引言

本文研究如下部分線性EV模型：

yk=xkβ+g(tk)+εk,Xk=xk+ζk,k=1,2,…,n

(1)

其中yk為觀測數據,(xk,tk) 是已知的固定設計的點列且x1,…,xn不全相等,β是1維待估參數，g(·) 是 [0，1]上的未知函數，誤差εk為無窮階滑動平均過程：

(2)

文獻[1][2]分別用加權和小波的方法研究了帶有誤差(2)的半參數回歸模型，得到了估計量的矩收斂性及強收斂性；文獻[3]用核方法研究了該模型的特例(即β=0的情形)，得到了估計量的漸近正態(tài)性；文獻[4-6]等研究了鞅差線性組合時間序列。本文用小波方法研究模型(1)和(2)，仍采用文獻[7]修正后的最小二乘估計，即

(3)

由此可得非參數部分的小波估計為

(4)

1 主要結果

下面是本文的基本假設：

3)g(·),f(·) 滿足κ階Lipschitz條件，κ>0.

4)φ(·)∈Sl(階為l的Schwartz空間，l≥α)，φ滿足1階Lipschitz條件且具有緊支撐，當ξ→0

條件1)是文獻[7]的特殊情形，條件2)-5)是小波估計當中經常用到的(如文獻[8]-[11]等)。由此可見本文的假設條件是相當一般的。

其中

2 主要結果的證明

在證明主要結果之前，先介紹一些基本引理。

引理1[12]若條件1)～5)成立，則

引理2[11]若條件5)成立，則有

引理3 若條件1)～5)成立，則

證明 注意到

(5)

(6)

同理很容易證明U3→0,a.s.使用Cauchy-Schwarz不等式，有

(7)

由5)～7)式即得引理3.

引理4[1]若鞅差線性組合εi如(2)式所定義，Cni為實數列，則對每一個r≥2 ，有

(8)

由Cr不等式可得

(9)

由引理1和Cr不等式有

(10)

由引理1,引理4和Cr不等式有

(11)

(12)

由Cr不等式，(9)-(12)式，得

至此定理1證明完成。

定理2的證明:注意到

(13)

由Cr不等式得

(14)

(15)

由Cauchy-Schwarz不等式和Cr不等式有

(16)

由引理1得

(17)

由引理2及引理4得

(18)

由Cauchy-Schwarz不等式和Cr不等式有

(19)

由Cr不等式有

(20)

由(15)～(20)式，有

至此定理2證明完成。

定理3的證明

(21)

由引理3有

(22)

由Markov不等式,Cr不等式以及引理1有

(23)

由Markov不等式,Cr不等式有

(24)

運用Borel-Cantelli引理，分別由(23)和(24)式，可得

(25)

(26)

由引理1有

(27)

同理有

(28)

(29)

由Markov不等式以及引理1，引理4有

(30)

由Markov不等式,Cr不等式有

(31)

(32)

運用Borel-Cantelli引理，分別由(30),(31),(32)式，可得

(33)

(34)

同理有

(35)

(36)

定理3證畢。

定理4的證明

(37)

由Markov不等式, Cr不等式, Cauchy-Schwarz不等式有

(38)

運用Borel-Cantelli引理，由(38)式有

(39)

由引理1可得

(40)

同理有

(41)

(42)

定理4證明完畢。

[1]Hu shuhe. Fixed-design semiparametric regression for linear time series[J]. Acta Mathematica Scientia,2006, 26B(1):74～82.

[2]胡宏昌,胡迪鶴. 鞅差時間序列半參數回歸模型的小波估計[J].數學進展,2010,39(1):23～30.

[3]Lanh Tran,George Roussas,Sidney Yakowitz,et al. Fixed-design regression for linear time series[J]. The Annals of Statistics,1996,24(3):975～991.

[4]An H Z,Chen Z G,Hannan J E. Autoccorrelation,autoregression and autoregressive approximation[J]. Theannals of Statistics,1982,10:926～936.

[5]Jan Beran. Statistics for long-memory processes[M]. New York:Chapiman &Hall,1994.

[6]Donatas Surgailils,Marius Vaiciulis.Convergence of appell polynomials of long range dependent moving averages in martingale differences[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 1999, 58:343～357.

[7]Liang H, Hardle W,Carroll R J.Estimation in a semiparametric partially linear errors-in- variables model[J]. The Annals of Statistics, 1999, 27:1519～1535.

[8]Antoniads A,Gregorie G, Mckeague I W. Wavelet methods for curve estimation[J]. Journal of the American Statistical Association, 1994,89:1340～1353.

[9]Hu H C.Ridge estimation of a semiparametric regression model[J]. Journal Computational and Applied Mathematics, 2005,176:215～222.

[10]Zhou X,You J H. Wavelet estimation in varying-coefficient partially linear regression models[J]. Statistics &Probability Letters, 2004,68:91～104.

[11]錢偉民，柴根象.半參數回歸模型小波估計的強逼近[J].中國科學(A輯),1999,29(3):233～240.

[12]胡宏昌，胡迪鶴.半參數回歸模型小波估計的強相合性[J].數學學報,2006,49(6):1417～1424.

[13]Hu H C. Convergence rates of wavelet estimators in semiparametric regression models with martingale difference error[J]. Journal of Mathematical Sciences:Advances and Applications, 2009, 3:4～19.

WaveletestimationinapartlylinearEVmodelwithmartingaledifferencestimeserieserrors

YIN Wei,LIN Cun-jin,XIA Yu-he

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

Using wavelet method, we consider a partly linear EV model with moving average errors generated by a martingale difference sequence. We investigate the moment convergence rates and strong consistency of wavelet estimators.

moving average martingale difference sequence;partly linear EV model;wavelet estimation;moment convergence rate;strong consistency

2013—09—10

殷 威(1989— )，男，湖北鄂州人，碩士研究生，研究方向為回歸模型的統(tǒng)計理論及其應用.

O212.1

A

1009-2714(2014)01- 0042- 06

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.009