t-NIG單因子Copula的CDO定價(jià)模型

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(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

CDO定價(jià)的核心問題是參考資產(chǎn)投資組合損失分布的計(jì)算，首先必須研究資產(chǎn)的違約相關(guān)性.一般的相關(guān)性結(jié)構(gòu)只能用Monte Carlo進(jìn)行模擬,而CDO定價(jià)中相關(guān)性研究常運(yùn)用因子Copula方法，假設(shè)信用資產(chǎn)池的各資產(chǎn)與公共市場(chǎng)因子相互獨(dú)立，再通過半解析方法計(jì)算累計(jì)損失分布[1].2003年Laurent和Gregory[2]提出了快速Fourier轉(zhuǎn)換方法，2003年Sidenius和Basu[3]以及2004年Hull和White[4]都研究了迭代數(shù)值過程計(jì)算參考資產(chǎn)池的損失分布.更進(jìn)一步假設(shè)真實(shí)的參考信用投資組合是由大量具有相同違約率，回收率和相關(guān)系數(shù)的資產(chǎn)組成，在這種假設(shè)條件下，可以得到一個(gè)封閉式的CDO解析定價(jià)公式.1987年Vasicek根據(jù)大數(shù)定律提出LHP近似方法[5-6].在前人研究基礎(chǔ)上分析了大樣本同質(zhì)投資組合(LHP)近似方法下基于t-NIG單因子Copula的CDO定價(jià)模型，這個(gè)定價(jià)模型事實(shí)上是CDO標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)模型(單因子Gaussian Copula)的擴(kuò)展延伸.對(duì)模型的擴(kuò)展正是為了解決標(biāo)準(zhǔn)Gaussian Copula缺乏“厚尾性”和存在“相關(guān)性微笑”這兩個(gè)方面的問題，使定價(jià)和市場(chǎng)報(bào)價(jià)更好的吻合.許多研究者試圖采用尾部相關(guān)性更強(qiáng)的因子Copula模型來定價(jià)CDO，例如，2005年Andersen和Sidenius[7]提出的Marshall-Olkin Copula；2003年O’Kane和Schloegl提出的Student t Copula；2004年Hull and White[4]提出的double t Copula等.論文通過double t，正態(tài)逆高斯(NIG)[5]單因子Copula模型分別對(duì)Dow Jones iTraxx Europe指數(shù)的各分券層定價(jià).除這些模型外，文中基于t-NIG單因子Copula模型在LHP下對(duì)CDO定價(jià)進(jìn)行更詳盡的研究.另外，論文分析了數(shù)值結(jié)果，對(duì)不同模型適應(yīng)CDO各分券層的市場(chǎng)報(bào)價(jià)的能力進(jìn)行比較.結(jié)果表明：所有的模型都比標(biāo)準(zhǔn)模型更好地適應(yīng)市場(chǎng)報(bào)價(jià)，新型模型定價(jià)效果最為理想.

1 CDO分券層的半解析定價(jià)

合理給定CDO不同分券層的信用價(jià)差即是CDO定價(jià).每個(gè)分券層可分為損失面(DL)和收益面(PL)，損失面是指投資分券層違約發(fā)生時(shí)的損失現(xiàn)值，收益面是指投資分券層違約發(fā)生時(shí)的收益現(xiàn)值，根據(jù)無套利原則，通過損失面和收益面相等，得出不同分券層合理的信用價(jià)差，進(jìn)行CDO定價(jià).

(1)

其中時(shí)刻t的累積損失L(t)可表示為

(2)

為了能基于t-NIG單因子Copula模型研究CDO定價(jià)，在此引入引理1[5]和引理2[5].

引理1設(shè)時(shí)刻t的累積損失分部函數(shù)為F(t,x)，CDO中(K1,K2)層的期望損失百分比可表示為

EL(K1,K2)(t)=

(3)

下面描述常用CDO定價(jià)半解析方法中CDO各分券層(K1,K2)的損失面(DL)，收益面(PL)和信用價(jià)差S的計(jì)算.分券層(K1,K2)損失面的價(jià)值DL為違約支付貼現(xiàn)值[5]，表示為

(4)

分券層(K1,K2)收益面的價(jià)值PL為所有支付的權(quán)利金的現(xiàn)值[5]，表示為

(5)

式中Δti=ti-ti-1,i=2,…,M.

根據(jù)無套利原則，通過損失面和收益面相等，從而得到不同分券層的合理信用價(jià)差S.

引理2在無套利的情況下,CDO各分券層的定價(jià)公式為

(6)

資產(chǎn)的回收率，資產(chǎn)間的相關(guān)性和違約率是影響信用價(jià)差的主要因素：

1) 當(dāng)資產(chǎn)的市場(chǎng)回收率增加時(shí)，各分券層的信用價(jià)差減少，高級(jí)分券層受回收率的變化影響相對(duì)較小，股本分券層的信用價(jià)差受其影響最大.

2) 當(dāng)資產(chǎn)的相關(guān)性增強(qiáng)時(shí)，參考資產(chǎn)池發(fā)生聯(lián)合違約的可能性增大.

3) 當(dāng)資產(chǎn)的違約率增加時(shí)，各分券層的信用價(jià)差都增加，違約強(qiáng)度對(duì)股本分券層影響最深.

2 LHP情況下的t-NIG單因子Copula模型

引理2中給出了CDO信用價(jià)差的計(jì)算公式，為了能通過公式數(shù)值計(jì)算出信用價(jià)差S，本節(jié)通過構(gòu)建t-NIG單因子Copula模型將單個(gè)公司資產(chǎn)的違約概率轉(zhuǎn)化為非系統(tǒng)因子的違約概率問題計(jì)算資產(chǎn)的條件違約概率，進(jìn)一步在LHP的假設(shè)條件下近似計(jì)算出參考資產(chǎn)投資組合損失分布，最終結(jié)合引理1，2確定信用價(jià)差S.

2.1 t-NIG單因子Copula模型

為了捕捉金融市場(chǎng)的“厚尾性”的特征，研究者試圖用厚尾分布來建立金融市場(chǎng)模型.NIG分布是正態(tài)分布和逆高斯分布的混合厚尾分布，具有與金融市場(chǎng)研究相關(guān)的優(yōu)良統(tǒng)計(jì)性質(zhì).NIG分布的尾部比標(biāo)準(zhǔn)高斯分布下降的更緩慢[9]，并通過調(diào)節(jié)NIG分布的四個(gè)靈活參數(shù),使其更能充分反映金融市場(chǎng)中參考資產(chǎn)池的“尖峰厚尾”特征.且NIG分布有穩(wěn)定的卷積性，使計(jì)算更有效快速.在構(gòu)建t-NIG單因子Copula模型之前，下面先了解正態(tài)逆高斯分布的定義及其有關(guān)性質(zhì)[5].

定義1NIG分布是正態(tài)分布和逆高斯分布的混合分布.若隨機(jī)變量U服從參數(shù)為α，β，μ和δ的NIG(α,β,μ,δ)分布，則其密度函數(shù)為

fNIG(x;α,β,μ,δ)=

(7)

性質(zhì)1若隨機(jī)變量U～NIG(α,β,μ,δ),則

金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)一般具有明顯的厚尾性，如果CDO定價(jià)模型中分布尾部太薄,沒有厚尾性特征，得出的信用價(jià)差就會(huì)與市場(chǎng)報(bào)價(jià)相差過大，導(dǎo)致CDO各分券層的相關(guān)系數(shù)存在“相關(guān)性微笑”現(xiàn)象.CDO定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)模型(單因子Gaussian Copula模型)正是如此.因此，在因子Copula模型中，可以選取更具有“厚尾性”的潛在因子變量來代替高斯因子變量，更好地體現(xiàn)CDO參考資產(chǎn)池?fù)p失的“尖峰厚尾”性.因而，假定市場(chǎng)共同因子和個(gè)體異質(zhì)因子分別服從t分布和NIG分布，得到新的t-NIG單因子Copula模型.下面給出t-NIG單因子Copula模型的具體定義和相關(guān)定理.

定義2假定CDO資產(chǎn)池中標(biāo)的資產(chǎn)i的資產(chǎn)價(jià)值xi滿足

(8)

式中：ρi∈[0,1]為系統(tǒng)因子Z與資產(chǎn)價(jià)值xi之間的相關(guān)系數(shù)；Zi為影響資產(chǎn)i價(jià)值的非系統(tǒng)因子.隨機(jī)變量Z與Zi及Zi與Zj(i≠j)間相互獨(dú)立，且市場(chǎng)共同因子Z和個(gè)體異質(zhì)因子Zi分別服從學(xué)生t分布和NIG分布[10]：

Z～T(x;ν)

(9)

Zi～FNIG(x;α,β,μ,δ),i=1,2，…，n

(10)

稱由式(8—10)確定的模型為t-NIG單因子Copula模型，簡(jiǎn)稱t-NIG Copula模型.根據(jù)性質(zhì)1，把非系統(tǒng)因子Zi標(biāo)準(zhǔn)化.用參數(shù)α，β表示參數(shù)μ，δ：

定理1若CDO資產(chǎn)池中標(biāo)的資產(chǎn)i的資產(chǎn)價(jià)值xi滿足t-NIG Copula模型，設(shè)Hi(x)為資產(chǎn)價(jià)值xi的概率分布函數(shù)，則

Hi(x)=

(11)

證明由定義2可知資產(chǎn)價(jià)值xi的條件概率：

對(duì)條件概率積分，得到無條件概率分布函數(shù)為

Hi(x)=P(xi

定理2若CDO資產(chǎn)池中標(biāo)的資產(chǎn)i的資產(chǎn)價(jià)值xi滿足t-NIG Copula模型，則資產(chǎn)i的條件違約概率為

(12)

即

令

si(t)=P(τi≥t)=1-qi(t)

(13)

由式(13)可得

(14)

(15)

又根據(jù)t-NIG Copula模型，可以將單個(gè)公司資產(chǎn)的違約概率轉(zhuǎn)化為非系統(tǒng)因子的違約概率問題，因此

2.2 t-NIG因子Copula模型的LHP近似

(16)

(17)

對(duì)F(t,x)微分，則

dF(t,x)=

(18)

令

(19)

可知

(20)

由式(18—20)得

(21)

將式(19，21)代入引理1的式(3)進(jìn)行換元代換，則

(22)

3 數(shù)值分析

根據(jù)式(22)和引理2，我們可以基于t-NIG Copula模型應(yīng)用LHP近似方法定價(jià)CDO.考慮信用衍生品指數(shù)Dow Jones iTraxx Europe指數(shù)2006年4月13日的各分券層報(bào)價(jià).投資組合平均價(jià)差為31.5 bp，選取2006年3月20日設(shè)立的5年期指數(shù)系列，利用常數(shù)違約強(qiáng)度模型來獲得邊際違約分布，并估計(jì)在平均投資組合價(jià)差下大樣本同質(zhì)投資組合的違約率.回收率和無風(fēng)險(xiǎn)利率各自假定為40%和5%.下面選取標(biāo)準(zhǔn)Gaussian Copula模型，Double t Copula模型，NIG Copula模型，t-NIG Copula模型，在LHP情況下，給出數(shù)值分析結(jié)果.運(yùn)算結(jié)果見圖1，2和表1.

圖1為Gauss分布、t分布、NIG分布的概率密度函數(shù)曲線以及左右尾部比較，其中t分布尾部最厚，NIG分布尾部較Gauss分布尾部更厚，但比t分布尾部薄，“尖峰”特征最為明顯,t-NIG單因子Copula模型結(jié)合了兩種分布的優(yōu)勢(shì)，使其充分體現(xiàn)了CDO參考資產(chǎn)池?fù)p失分布的“尖峰厚尾”特征.圖2比較了四個(gè)模型的累積損失分布函數(shù)，能夠反映模型的“相關(guān)性微笑”問題以及貼合市場(chǎng)報(bào)價(jià)能力.可以通過觀察其各累積損失分布尾部的不同形狀對(duì)表1中各模型的數(shù)值結(jié)果加以解釋.表1為iTraxx各層的市場(chǎng)報(bào)價(jià)以及Gaussian Copula，Double t Copula，NIG Copula，t-NIG Copula的LHP模型適應(yīng)市場(chǎng)報(bào)價(jià)能力的比較，并依據(jù)參數(shù)校準(zhǔn)原則：股本層定價(jià)與市場(chǎng)報(bào)價(jià)相符以及各分券層定價(jià)的平方誤差和達(dá)到最小，將四個(gè)模型中參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，結(jié)果表明：Gaussian Copula遠(yuǎn)遠(yuǎn)高估了3%～6%這個(gè)分券層的價(jià)格，其他模型在這個(gè)分券層的定價(jià)都與市場(chǎng)報(bào)價(jià)匹配相對(duì)較好；反之，卻低估了高級(jí)分券層，這都是由于Gauss分布的尾部太薄的緣故.Double t Copula僅僅能精確定價(jià)CDO股本層，而高估或低估CDO其他分層券，因?yàn)镈ouble t Copula只有一個(gè)連續(xù)參數(shù)(相關(guān)系數(shù))，而另一個(gè)參數(shù)ν(自由度)只能取整數(shù)值.由于NIG Copula，t-NIG Copula中的自由參數(shù)比Double t Copula更多，它們的所有結(jié)果比Double t Copula的所有結(jié)果都稍好，甚至能精確定價(jià)CDO的第二分券層.且t-NIG Copula模型很好地提高了NIG Copula模型定價(jià)的精確性，誤差由原來的22 bp縮小到8.5 bp.原因是該模型引入了更能反映金融市場(chǎng)特征的t-NIG Copula，改進(jìn)了經(jīng)典的Gaussian Copula模型，所以定價(jià)精度更高,更能改善“相關(guān)性微笑”問題.

圖1 三種分布密度函數(shù)比較

圖2 四種模型的累計(jì)損失分布函數(shù)比較

表1 各模型適應(yīng)CDO各分券層的市場(chǎng)報(bào)價(jià)能力比較

4 結(jié) 論

對(duì)Gaussian Copula模型進(jìn)行擴(kuò)展，構(gòu)建了t-NIG Copula模型用于CDO定價(jià).得到了條件違約概率，投資組合損失的累積分布函數(shù)，期望分券層損失和信用價(jià)差的表達(dá)式.t-NIG Copula模型相對(duì)于研究的其他模型有更多的自由參數(shù)，給相關(guān)性結(jié)構(gòu)帶來更多的靈活性，因而也更能貼合CDO的市場(chǎng)報(bào)價(jià).另外， t-NIG Copula模型改善了Double t Copula是無卷積穩(wěn)定性的缺點(diǎn)，這樣就簡(jiǎn)化和加速了違約閾值的計(jì)算，實(shí)際應(yīng)用性更強(qiáng).

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