具有分布時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性分析

張吉慶，李同榮

(濱州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，山東 濱州 256603)

0 引言

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在智能控制、組合優(yōu)化、模式識別、聯(lián)想記憶、圖像處理、二次最優(yōu)化等方面有著廣泛應(yīng)用，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)得到了國內(nèi)外的普遍關(guān)注, 但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ), 因此研究這類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性就變的十分重要．特別當(dāng)設(shè)計(jì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來解決諸如平行計(jì)算、信號處理、優(yōu)化計(jì)算以及其他問題時(shí), 往往要求網(wǎng)絡(luò)有唯一的全局穩(wěn)定的平衡點(diǎn)．2005年,曹進(jìn)德等[1]發(fā)表《時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸近穩(wěn)定性條件》, 2006年, 王占山等[2]在東北大學(xué)學(xué)報(bào)上發(fā)表論文《一類延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性》, 探究了一類延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性．2007年，吳煒[3]利用非平滑分析的方法研究了一類常時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性問題. 2009年, 宋學(xué)力[4]發(fā)表論文《一類具分布時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性》, 探究了具分布時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性．2010年, 劉國彩等[5]發(fā)表論文《變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯相關(guān)全局漸近穩(wěn)定新判據(jù)》, 給出了變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯相關(guān)全局漸近穩(wěn)定判據(jù)．2012年，邱芳[6]研究了一類帶有時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性問題及平衡點(diǎn)位置的估計(jì)問題. 目前, 大多數(shù)研究者關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究僅局限在離散時(shí)滯這樣簡單的情況．然而一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常都有一個(gè)空間屬性的, 有一定數(shù)量的一些不同軸突大小和長度的平行路徑的存在而造成的, 那么就希望通過引入分布式時(shí)滯來建模．因此一些關(guān)于帶有分布式時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性研究很重要.

1 預(yù)備知識

考慮具有分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(1)

其中xi(t)是第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)變量，βi(xi(t))叫做行動(dòng)函數(shù),fj(xj(t))叫做激勵(lì)函數(shù),J=[J1J2···Jn]T和bij是聯(lián)接矩陣, 表示從第i個(gè)神經(jīng)元到第j個(gè)神經(jīng)元的連接強(qiáng)度，J=[J1J2···Jn]T為輸出常量，x*是變時(shí)間時(shí)滯,p(t)=x(t)-x*, 其中τ是常時(shí)滯．

為方便研究，對系統(tǒng)(1)進(jìn)行如下的假設(shè)：

假設(shè)E1 對任意的i∈{1,2,···,n}，如果存在激活函數(shù)fi:R→R為全局Lipschitz的，同時(shí)具有Lipschitz常數(shù)Li>0，即對任意變量xi,yi∈R，都有

|fi(xi)-fi(yi)|≤Li|xi-yi|.

令

L=diag[L1L2···Ln]>0.

假設(shè)E2 對任意xi,yi∈R，存在di≥0,令D=diag[d1d2···dn].使函數(shù)βi滿足

假設(shè)E3 設(shè)核函數(shù)kij:[0,∞)→[0,∞)在區(qū)間[0,∞)上為連續(xù)函數(shù)，且滿足

2 全局漸近穩(wěn)定性分析

由參考文獻(xiàn)[7]，可以得到定理1.

定理1 若假設(shè)(E1)～(E3)成立，對任意輸入J，如果Δ=DL-1-(|A|+|B|+|C|)是M-矩陣, 系統(tǒng)(1)有唯一平衡點(diǎn)x*.

定理2 若假設(shè)(E1)～(E3)成立，對任意輸入J，如果Δ=DL-1-(|A|+|B|+|C|)是M-矩陣，模型(1)存在唯一平衡點(diǎn)，且為全局漸近穩(wěn)定的.

證明因?yàn)棣镸-矩陣，由定理1可得，系統(tǒng)(1)存在且唯一的平衡點(diǎn)x*.令p(t)=x(t)-x*，則系統(tǒng)(1)可寫為

(2)

系統(tǒng)(2)有唯一平衡點(diǎn)x=0.由于Δ為M-矩陣，所以知D-(|A|+|B|+|C|)L為M-矩陣，由M-矩陣的性質(zhì)[8]可知，存在ξi>0,滿足

(3)

|pi(t)|沿模型(2)的解軌線的右上導(dǎo)數(shù).

(4)

定義：曲線φ={z(l):zi=ξil,l>0,i=1,2,···,n}；

集合 Ω(z)={x:0≤x≤z,z∈φ}；Si(z)={x∈Ω(z):xi=zi,0≤x≤z}.

根據(jù)定義可知，如果有l(wèi)>l′,則Ω(z(l))?Ω(z(l′)).假設(shè)給定任意ε>0,存在一點(diǎn)z0(l0)∈φ，使得Ω(z0(l0))?{x:x≤ε}，即存在正整數(shù)δ>0，使得{|p|:p≤δ}?Ω(z0).

設(shè)存在t0>0使p(t0)=ε，存在某一神經(jīng)元i和時(shí)間t1使得D*|pi(t1)≥0|，對于任意-∞

顯然與假設(shè)矛盾，所以對任意t≥0，有p(t)<ε.以上證明表明，如果{|p(t)|:-∞t0}?Ω(z0)，即Ω(z0)是不變集[10].

以下證明零解是全局漸近穩(wěn)定的，即對任意給定的ε>0和η>0，存在T=T(ε,η)>0，使得對任意t0>0，當(dāng)p(t)≤η(-∞

根據(jù)上述集合定義可知，存在常數(shù)l1和l2(l2>l1)，使得

Ω(z1(l1))={|p|:0≤|pi|≤zi1(l1),i=1,2,···,n}?{p:p≤ε}，

Ω(z2(l2))={|p|:0≤|pi|≤zi2(l1),i=1,2,···,n}?{p:p≤η}，

其中：z1(l1)∈φ,z2(l2)∈φ，即zij(lj)=ξilj,i=1,2,···,n,j=1,2.

利用數(shù)學(xué)歸納法證明.如果p(t)<η,-∞

|pi(t)|

(5)

由于Ω(z2(l2))是不變集，對于k=0，式(5)顯然成立.假設(shè)對于k(0≤k

|pi(t)|

(6)

現(xiàn)證明對于t≥tk有

|pi(t)|

(7)

|pi(t)|>zi1+(N-k-1)δi.

由式(4)和(5)可得

由于zi1=ξil1,δi=ε1ξi(i=1,2,···,n),可以得到

≤-α[l1+(N-k)ε1]≤-αl1.

因?yàn)?/p>

則

(8)

因此可得

(9)

在式(5)中令k=N，如果p(t)≤η,(-∞

3 比較與仿真

例1 考慮下列系統(tǒng)

kij(s)也滿足假設(shè)E3. 對關(guān)聯(lián)矩陣賦值為：

根據(jù)所給條件計(jì)算可得：

所以Δ是M-矩陣，且根據(jù)定理2，該系統(tǒng)存在唯一的平衡點(diǎn)，且是全局漸近穩(wěn)定的.圖1描述了在任何初始狀態(tài)下, 神經(jīng)元的狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的時(shí)間變化曲線。

圖1 τi1(t)=1,τi2(t)=1和σ=1時(shí), 系統(tǒng)(1)的神經(jīng)元狀態(tài)變量的時(shí)間變化曲線.

本文符號說明：

[1]周冬明,曹進(jìn)德,張立明．時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸近穩(wěn)定性條件[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2005, 26(3):342-347.

[2]王占山,張化光,呂化．一類延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào),2006, 27(2):123-126．

[3]WU W, CUI BT. Improved Sufficient Conditions for Global Asymptotic Stability of Delayed Neural Networks [J].IEEE Trans Circuits Syst II, 2007, 54 (7): 626-630.

[4]宋學(xué)力,封建湖.一類具分布時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2009, 22(4):888-894．

[5]劉國彩,劉玉常,鞠培軍.變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯相關(guān)全局漸近穩(wěn)定新判據(jù)[J]．山東大學(xué)學(xué)報(bào),2010,40(4):54-61.

[6]邱芳.具有時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性分析及平衡點(diǎn)位置估計(jì)[J]．濱州學(xué)院學(xué)報(bào),2012,28(6):20-26．

[7]Zhang JY. Global stability analysis in cellular neural networks with unbounded time delays [J]. Applied Mathematics and Mechanics-English Edition, 2004, 43(1): 686-693.

[8]舒仲周,張繼業(yè),曹登慶.運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性[M].北京：中國鐵道出版社，2001:148-167.

[9]HALE J K, LUNEL S M V. Introduction to functional differential equations[M]. New York:Springer-Verlag,1993:130-150.

[10]龍?zhí)m,徐曉惠,張繼業(yè).時(shí)滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2008,43(3):381-386.