兩種類型的不定積分問題

毛北行,孟曉玲

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系，河南 鄭州 450015)

0 引言

數(shù)學(xué)的各部分之間互相滲透，且有內(nèi)在聯(lián)系是數(shù)學(xué)的主要特征之一[1-4]，而這種聯(lián)系往往隱蔽于某些表面似乎毫不相關(guān)的問題中，本文討論了兩種類型的不定積分問題，即一類可用分部積分公式求出遞推公式的積分，文中第二種類型的積分討論了可轉(zhuǎn)化為方程組進(jìn)行求解的不定積分問題.，對(duì)于這類不定積分[5]，可以通過構(gòu)造方程組來求解，而且能夠降低求解的難度.

1 類型1：下述函數(shù)求不定積分

采用分部積分法

第二項(xiàng)積分，作代換x=tant

考慮到x=tant，所以得到：

上式對(duì)于n≥3都成立

以下來分別計(jì)算n=1,2兩種情況

采用分部積分法

若規(guī)定I0=I-1=0，則I1,I2也滿足遞推公式In

令x=tant

令x=sect

2 類型2：下述函數(shù)求不定積分

則I=mI1+nI2，因此上述為題轉(zhuǎn)化為求變量I1,I2

=ln|psinx+qcosx|+C2

兩個(gè)方程兩個(gè)未知量，解這個(gè)線性方程組，很容易求出I1,I2，而I=mI1+nI2就相應(yīng)的求了出來.

上述題目我們發(fā)現(xiàn)有一個(gè)共同點(diǎn)：那就是(sinx)′=cosx,?(cosx)′=sinx

因此我把上述問題概括為如下抽象問題：

F′(x)=f(x),f′(x)=±F(x)，或者：

F′(x)=±f(x),f′(x)=F(x)

解：上述關(guān)系式，即滿足：F″(x)=±F(x)

這顯然是關(guān)于F(x)的二階線性齊次微分方程

對(duì)應(yīng)的特征方程為：λ2±1=0

(1)若λ2=1則，方程有通解：F(x)=C1ex+C2e-x

則I=mI1+nI2，因此上述為題轉(zhuǎn)化為求變量I1,I2

解這個(gè)線性方程組，很容易求出I1,I2，而I=mI1+nI2就相應(yīng)的求了出來.

(2)若λ2=-1則，方程有通解：F(x)=C1sinx+C2cosx

3 結(jié)束語

從上面這些例題中可見：利用解方程組的方法不僅較簡(jiǎn)便地求出了原不定積分，而且附帶求出了另外一個(gè)不定積分；這兩個(gè)不定積分相輔相成．充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和有機(jī)的統(tǒng)一，并展示了一個(gè)完整的思維過程和結(jié)果.

[1] 高穎.淺談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J].教育時(shí)空,2003,12(1):199-200.

[2] 歐陽光中，姚允龍.數(shù)學(xué)分析[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2004:197-267.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2004:114-157.

[4] 數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,1979:250—277.

[5] 謝芳.方程組解求不定積分中的應(yīng)用[J].昭通師專學(xué)報(bào),1998,20(4):119-122.

[6] 毛北行,孟曉玲.一類不定積分的一題多解與結(jié)論推廣[J].科教導(dǎo)刊,2013,10(中旬):42-43.