解析法在行星變速機構(gòu)效率和功率流分析中的應用

邢慶坤，趙欣源，張 鶴，何 融

(中國北方車輛研究所車輛傳動重點實驗室，北京 100072)

行星變速機構(gòu)與定軸變速機構(gòu)相比，有諸多明顯的優(yōu)點，關于行星變速機構(gòu)的效率問題，國內(nèi)外很多學者都在積極地進行探索與研究，發(fā)表了許多關于效率計算方面的論文.盡管使用方法和技巧各個不同，但歸納起來主要是由兩種方法推導或者派生出來的，一個是相對功率法[1](也稱嚙合功率法)，一個是轉(zhuǎn)化機構(gòu)法 (也稱換算機構(gòu)法).應用相對功率法計算效率時基于兩個前提:1)行星輪做牽連運動和相對運動時分別產(chǎn)生牽連功率和相對功率，只計算與相對運動有關的功率損失，忽略牽連運動產(chǎn)生的功率損失;2)行星變速機構(gòu)相對運動產(chǎn)生的齒輪嚙合損失與定軸相同.轉(zhuǎn)化機構(gòu)法最早見于1965年前蘇聯(lián)克列依涅斯所著的文章[2]，克列依涅斯運用對分效率求偏導數(shù)的方法解決了轉(zhuǎn)化機構(gòu)法中相對功率流向的判斷問題，并提出了各種不同類型周轉(zhuǎn)輪系的效率計算的通用方法.

這兩種方法相比各有優(yōu)缺點，在只考慮輪齒嚙合損失的前提下，用相對功率法求得的效率是近似的，用轉(zhuǎn)化機構(gòu)法求得的效率是精確的.前者對于已經(jīng)完成運動學與動力學分析的方案有無可比擬的求解優(yōu)勢，可以直接利用運動學及動力學運算結(jié)果進行效率分析，在一定的情況下具有足夠的精確度.這兩種方法均沒有將效率求解與結(jié)構(gòu)分析聯(lián)系在一起，不能在設計者選擇行星變速機構(gòu)方案以提高傳動效率時起到指導作用，同時后者在進行功率流向的判斷時，需要一定的技巧，不便于一般工程技術人員的掌握與使用.

在功率流分析方面，常規(guī)的分析方法為先進行運動學與動力學計算，最后通過構(gòu)件轉(zhuǎn)速與扭矩的方向的異同來確定，過程比較繁瑣，若進行功率分析必須進行相應的運動學和動力學計算.劉修驥教授提出應用符號法判斷功率流向[3]，但這種方法僅能應用于一部分特定方案.呂粟樵教授應用大小力矩構(gòu)件的性質(zhì)提出功率流分析的快速判斷方法[4]，但此方法僅限于三排以下的行星變速機構(gòu)方案才能應用，同時，判斷依據(jù)分類較多，并不容易掌握.

本文所介紹的方法在本質(zhì)上屬于嚙合功率法，在效率的最終結(jié)果表示上，卻表現(xiàn)為與轉(zhuǎn)換機構(gòu)法求得的效率表達式相同的構(gòu)式，是對嚙合功率法與轉(zhuǎn)換機構(gòu)法的延伸與發(fā)展.此方法可以對任意復雜程度的多自由度行星變速機構(gòu)方案進行效率分析，此外，運用此方法還可以對行星變速機構(gòu)的方案進行功率流分析，判斷是否存在循環(huán)功率及計算循環(huán)功率在輸出功率中所占的比例，同時還對選擇傳動方案具有指導意義[5].

1 基本行星排結(jié)構(gòu)分析

行星變速機構(gòu)以行星排為基本單元，行星排都具有對外聯(lián)系的3個構(gòu)件——行星架、齒圈和太陽輪以及只做內(nèi)部聯(lián)系的元件——行星輪，行星輪不是構(gòu)件，但卻是行星排的內(nèi)在核心.基本行星排的構(gòu)成元素有兩種運動方式:中心輪圍繞行星排軸線的旋轉(zhuǎn)運動和行星輪的行星式運動 (繞行星排軸線旋轉(zhuǎn)運動和繞自身軸線旋轉(zhuǎn)運動的合成運動).

為了方便敘述，我們根據(jù)行星排的運動特性引入基本回路的概念.所謂基本回路是由3個行星排的構(gòu)成元素 (我們稱之為鏈)組成，這里所說的構(gòu)成元素不但包括行星排的構(gòu)件也包括行星排的元件，也就是說，鏈既可以是齒圈、太陽輪、行星架，也可以是行星輪.每個基本回路由3個元素組成:相互嚙合的一對齒輪以及使這對嚙合齒輪的中心保持固定距離的行星架.

下面我們對7種基本行星排進行基本回路分析.7種基本行星排結(jié)構(gòu)及編號如圖1所示.7種基本行星排的基本回路分析如表1所示.

圖1 7種基本行星排結(jié)構(gòu)及編號

表1 7種基本行星排基本回路分析

通過分析，我們不難發(fā)現(xiàn):

1)對于一個行星變速結(jié)構(gòu)，基本回路個數(shù)=鏈的個數(shù) －2[6];

2)每種基本行星排只有一個行星架，并且行星架包含在每一個基本回路中作為鏈存在;

3)基本回路的個數(shù)等于結(jié)構(gòu)中嚙合齒輪對數(shù)目，這里所說的嚙合齒輪對數(shù)目不包括為了平衡結(jié)構(gòu)而加入的行星輪齒輪對.

任何一個復雜的行星變速機構(gòu)方案都是由上述的7種基本行星排的一個或幾個進行有序的排列組合而成的，圖2為某車行星變速箱方案在實現(xiàn)某擋位時的方案簡圖.

圖2 某行星變速箱實現(xiàn)某擋位方案簡圖

不難看出，此方案包括3個基本行星排，1個內(nèi)外嚙合雙星排(圖1(e))和2個內(nèi)外嚙合單星排(圖1(a)).由前面分析可知共有7個基本回路.根據(jù)圖2編號，1為輸入端，9為輸出端，8為制動端.基本回路及鏈分析如表2所示.

表2 基本回路組成

下面我們即以此例進行效率與功率分析.

2 理論轉(zhuǎn)速與扭矩分析

一個行星變速機構(gòu)方案是由數(shù)個基本回路組成的，基本回路特征參數(shù)Zk定義如下:

式中:“+”對應于基本回路中的嚙合齒輪對屬于外嚙合，“－”對應于基本回路中的嚙合齒輪對屬于內(nèi)嚙合.

根據(jù)行星排的運動關系易知，

式中:ωik、ωjk和ωrk分別是指基本回路k中的鏈i、j、r的角速度.

當行星機構(gòu)平穩(wěn)工作時，若不考慮功率損失，那么基本回路中的鏈所受外力矩代數(shù)和為零，所傳遞的功率代數(shù)和亦為零，即

將式(3)與式(2)代入式(4)，消去關系式中的r因子，得到

同時，對于每一個基本回路中的鏈，其受到的外力矩之和為零，對于鏈n，我們可以寫出下面等式:

其中

顯然，這里的鏈n不能是輸入構(gòu)件、輸出構(gòu)件或者制動構(gòu)件.

這樣dnk可以形成一個N×J的矩陣D，其中N是行星變速機構(gòu)中鏈的總個數(shù)，J為基本回路的總個數(shù).

由式(2)我們可以得到:

式中:ckn形成J×N矩陣C，其中ckn=dnk，C和D 互為轉(zhuǎn)置矩陣[7].

我們定義TREAC，TOUT為制動構(gòu)件、輸出構(gòu)件所受力矩，此外，我們規(guī)定輸入構(gòu)件受外力矩為1，于是我們可以得到力矩關系矩陣:

為了保持轉(zhuǎn)速與扭矩的系數(shù)矩陣依然保持轉(zhuǎn)置關系，而只需要在等號右邊改變常數(shù)矩陣，我們引入列矩陣Ω－，使?jié)M足:

其中，eN為單位矩陣，只最后一個元素為1.對比式(10)與式(9)，不難發(fā)現(xiàn)Ω－的實際意義，即式(10)中，我們將原行星變速機構(gòu)的輸出轉(zhuǎn)速規(guī)定為單位值1，同時Ω－與Ω關系為:

根據(jù)圖2與表2，我們根據(jù)實際齒輪齒數(shù)計算得到各基本回路特征參數(shù)，如表3所示.

表3 基本回路特征參數(shù)

依據(jù)上述分析，可得到已知量:

未知量為:

根據(jù)式(9)和式(10)，可解得結(jié)果的符號表達式及值，如表4、表5所示.

表4 角速度結(jié)果 (rad ·s－1)

其中:

表5 力矩結(jié)果 (N·m)

3 效率分析

當考慮行星變速機構(gòu)齒輪嚙合損失時，式(4)將不再成立.現(xiàn)假設在一個基本回路中，i是主動輪，式(4)可寫為式(12).

這里ηk的物理含義為當行星排框架相對靜止時基本回路k在傳遞功率時的效率.此時已經(jīng)將行星排的傳動效率等同于定軸齒輪傳動時的效率，ηk的值與齒輪的材料、制造誤差、油溫與潤滑條件有關.根據(jù)我國目前的齒輪加工精度、制造條件，通常內(nèi)嚙合取0.98，外嚙合取0.97.

聯(lián)立式(2)與式(12)，可得:

當j是主動輪時，

為統(tǒng)一公式，我們引入:

這樣，無論i是主動輪還是被動輪，我們可以得到統(tǒng)一的表達式

以及

這樣，式(9)與式(10)中、以及理論計算中由Zk表示的扭矩系數(shù)矩陣和轉(zhuǎn)速系數(shù)矩陣最終都將可以由來表示.

由于我們規(guī)定了輸入轉(zhuǎn)速與扭矩為1，所以最終行星變速機構(gòu)的效率即為

解式(9)、式(10)得:

現(xiàn)在求效率的關鍵歸結(jié)為判斷在行星排的相對運動中確定組成環(huán)元素的鏈的主被動的問題.

顯然，主動齒輪所受的內(nèi)力矩與轉(zhuǎn)速方向相反，即當i在行星排相對運動中為主動輪時，

此時嚙合功率從i流向j，根據(jù)式(15)即可得出行星變速機構(gòu)的傳動效率.

事實上，文獻[8]已經(jīng)證明

我們稱εk為靈敏度度系數(shù).若εk＞0，則i為主動.表6為靈敏度系數(shù)計算結(jié)果.

此外還可以通過式(22)來判斷嚙合功率流的方向[8].

其中Δ =det(C)，ΔOUT是根據(jù)Cramer’s Rule將Δ對應的輸出列以單位列向量代替得到的行列式.

內(nèi)銷局面依然不佳。近期國內(nèi)尿素市場暫無“亮點”，因高價風險不容忽視，下游經(jīng)銷商近段時間內(nèi)除隨進隨出操作外，備肥或者說淡儲需求繼續(xù)推遲。多數(shù)省級大農(nóng)資公司前期庫存成本價在1950-2000元/噸，再度考慮備肥的心理價位勢必在2000元/噸以下，且與工廠存在一定議價默契，對尿素企業(yè)來說自然也將是后期吸單的筑底機會。工業(yè)需求方面顯然也沒能借到磷復肥會議的“春風”，復合肥企業(yè)整體開工率依然偏低。另外，受環(huán)保檢查影響，尿素限產(chǎn)，下游膠合板企業(yè)也已被降產(chǎn)，原料采購同時縮減?？傊?，整體內(nèi)需啟動緩慢，降價或為最好刺激。

表6 靈敏度系數(shù)εk計算結(jié)果

結(jié)合表6，根據(jù)式(15)及式(19)即可進行效率計算:

當內(nèi)嚙合取0.98、外嚙合取0.97時，可計算得到η =91.12% .

4 功率分析

為了進行比較，我們先運用符號法進行功率流的判斷.“⊕”代表扭矩為正，“+”代表轉(zhuǎn)速為正.當一個構(gòu)件端扭矩與轉(zhuǎn)速方向相同，則從該端輸入功率.

符號法判斷原則如下:

1)同構(gòu)件上任何點，轉(zhuǎn)速相同;

2)同一構(gòu)件受兩個力矩，方向必相反;若同一構(gòu)件三個點受外力矩，若兩點相同，則第三點必相反;

3)同一行星排中，太陽輪所受力矩、齒圈所受外力矩和行星架所受外力矩三者符合關系式Tt∶Tq∶Tj=1∶k∶[－(1+k)]，其中k為行星排內(nèi)傳動比[1].

我們也可以試著運用呂粟樵教授的大小力矩構(gòu)件性質(zhì)判斷方向，對應方案圖我們得到連接圖，如圖4所示.

圖3 符號法功率流分析圖

圖4 連接關系圖

根據(jù)文獻[4]所述，可能的功率流路線如圖5所示.構(gòu)件連接有雙向箭頭代表功率流向未明.由排列組合可知，共可能有29-1種情況，需要根據(jù)大小力矩的判斷規(guī)則去一一判斷，顯然這是非常繁瑣的.正如其說述，必須要通過運動學與動力學計算進而判斷功率流向.

圖5 功率流向圖

由以上分析可知，對于復雜的行星變速機構(gòu)方案簡圖，以上兩種方法并不能解決功率流向的判斷問題，無法得到是否存在功率循環(huán)，進而確定其循環(huán)功率的比例更無從談起.實際上，運用解析法判斷功率流向優(yōu)勢非常明顯，下面予以說明.

上面我們已經(jīng)分析式(20)是判斷嚙合功率流向的根本依據(jù)，但應該注意到這里說的嚙合功率與實際功率是兩個概念，從這里不能得出整個行星變速機構(gòu)的總的實際功率流向，也不能判斷是否存在循環(huán)功率.

實際上功率的流動是通過齒輪的嚙合傳遞的，判斷功率流的方向即可以從齒輪的嚙合出發(fā)，判斷依據(jù)如下:

若sgn(Tjkk)與sgn(ωjkk)相同，則 i為主動，實際功率從齒輪i流向齒輪j;若相反，則實際功率從齒輪j流向齒輪i.

下面我們對上述方案進行分析.

根據(jù)表7，容易得出此擋位的功率流圖，如圖6所示.

表7 符號對照表

圖6 功率流向圖

設輸入端A所受力矩為單位1，轉(zhuǎn)速為單位1，輸入功率PA=1，若不考慮功率損失，則輸出端C輸出功率PC=1，一排齒圈流入功率PB=1.514，三排齒圈流出功率為PD=1.994，二排行星架流入功率PG=0.994，一排行星架流入功率PE=0.514，二排太陽輪流出功率為PF=0.480.

從圖6可以看出，整個系統(tǒng)中共有兩個功率流。我們將從輸入端A至B，然后到C流出的功率流稱為主功率流;將從G處流入二排框架的功率稱為循環(huán)功率流.被動件有3個受力點:D、G和C，其中D為輸入，G、C為輸出，功率在此處分流.功率流至第二排框架時功率重新分流為兩部分，一部分流經(jīng)第二排齒圈與輸入功率在第一排齒圈處匯流;一部分流經(jīng)第二排太陽輪，與從第一排齒圈處流經(jīng)的功率在第三排齒圈處重新匯流.循環(huán)功率的存在使得B處構(gòu)件承載的功率增大，但增大的功率并沒有輸出，反而使這些環(huán)節(jié)的構(gòu)件所受的強度增大.同時考慮到實際機構(gòu)中摩擦必然存在，循環(huán)存在的功率必然消耗能量，功率損失也勢必增大，因此循環(huán)功率是需要盡量避免的.是否存在循環(huán)功率也是判斷方案優(yōu)劣的一個重要標準.此方案的循環(huán)功率所占的比例可以用 PG/PD來計算，即:

5 結(jié)論

運用解析符號法能夠求解任意復雜程度的行星變速機構(gòu)的效率，能夠進行快速地判斷功率流，能夠判斷是否存在功率循環(huán)以及循環(huán)功率所占的比例.

此方法與其他方法所得結(jié)果是一致的，根據(jù)表2中基本回路i、j的定義方式與k的定義方式[1]，不難看出:Z1Z2Z3=k1，同理 Z4Z5=k2，Z6Z7=k3.于是

至于效率表達式:

此方法得出的功率流圖，也與常規(guī)求解法先進行運動學與動力學計算然后應用符號法得出的結(jié)果相同。

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