基于兩步最小均方的寬帶波束形成算法

鄭永翔,任 超,竇亞軍

(北京北斗星通導(dǎo)航技術(shù)股份有限公司,北京 100081)

0 引 言

波束形成是衛(wèi)星導(dǎo)航、雷達(dá)和通信信號(hào)處理中的一個(gè)重要組成部分[1]。波束形成系統(tǒng)可以看作是一種應(yīng)用在空間域的濾波器,它使得天線陣只在某一方向具有較高的增益,而在其它方向具有較低的增益,甚至可以在某一方向產(chǎn)生很深的零陷,抑制來自該方向的的干擾。要實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確的方向圖合成,這主要取決于所使用的波束形成算法。例如,在文獻(xiàn)[2]和[3]中描述了將RLS和LMS分別進(jìn)行級(jí)聯(lián),可以得到兩個(gè)快速有效的波束形成算法RLMS和LLMS。文獻(xiàn)[4]中采用了一種基于切比雪夫多項(xiàng)式的改進(jìn)波束形成算法,可以大大降低計(jì)算的復(fù)雜度。

在文獻(xiàn)[5]～[7]的基礎(chǔ)上,采用空時(shí)二維濾波器結(jié)構(gòu),提出了修正兩步最小均方波束形成算法。本算法修正了每次迭代運(yùn)算中的期望響應(yīng)幅度和方向矩陣,可以顯著地減少矩陣運(yùn)算量,快速準(zhǔn)確地求解出期望方向圖的相位和相應(yīng)的權(quán)矢量。此外,本算法在不改變天線陣元數(shù)的情況下,增加了時(shí)域處理維數(shù),達(dá)到改善波束形成質(zhì)量的目的。可廣泛應(yīng)用于多天線的GNSS導(dǎo)航接收機(jī)或抗干擾接收機(jī)中,在提高接收機(jī)在復(fù)雜環(huán)境下的可用性和靈敏度上具有重要的意義。

1 問題提出

空時(shí)自適應(yīng)濾波是將一維的空域?yàn)V波推廣到時(shí)間與空間的二維域中,形成空時(shí)二維濾波器結(jié)構(gòu),其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 空時(shí)二維濾波器結(jié)構(gòu)圖

圖中M為空時(shí)二維濾波器的天線陣元個(gè)數(shù);N為每 個(gè)陣元通道后FIR濾波器階數(shù)。{xmn}(m=1,2,…,M，n=1,2,…,N)為M路天線陣元接收到的輸入信號(hào)在FIR濾波器中延遲了n-1個(gè)處理節(jié)拍后的信號(hào)。{wmn}(m=1,2,…,M，n=1,2,…,N)為M個(gè)FIR濾波器的系數(shù),即空時(shí)二維權(quán)系數(shù)。y為各路FIR濾波器的合路輸出,即空時(shí)二維濾波器的輸出。每個(gè)處理節(jié)拍延時(shí)為 (T<1/B,B為信號(hào)帶寬),則每個(gè)陣元后信號(hào)總的延時(shí)長(zhǎng)度(N-1)T,要求能夠包括不同的多徑延時(shí)?？諘r(shí)濾波器權(quán)可用MN×1維向量表示為

W=[w11,w12,…,w1N,w21,…,w2N,…,

wM1,…,wMN]T.

(1)

各陣元接收數(shù)據(jù)組成的協(xié)方差矩陣

R=E[XXH].

(2)

空時(shí)二維導(dǎo)向矢量a可寫成

a=Ss?St,

(3)

式中:矢量Ss=[1,ejωs,…,ej(M-1)ωs]T為空間導(dǎo)向矢量;ωs為空間歸一化頻率;St=[1,ejωt,…,ej(N-1)ωt]T為時(shí)間導(dǎo)向矢量;ωt為時(shí)間歸一化頻率,?表示可羅奈克積。

假設(shè)有Ns個(gè)窄帶平面波信號(hào)si,i=1,2,…Ns入射到空間中M元均勻線陣上,陣元間距為接收到信號(hào)中最高頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)的一半。假設(shè)有用信號(hào)的帶寬為B,則第m個(gè)陣元的接收到的數(shù)據(jù)為

m=1,2,…,M,

(4)

式中,nm(t)為第m個(gè)陣元通道的熱噪聲。對(duì)其中某一個(gè)通道的數(shù)據(jù)進(jìn)行K點(diǎn)的離散傅立葉變換,可以得到如下的寬帶模型

X(fk)=A(fk)S(fk)+N(fk),

k=1,2,…,K.

(5)

式中:X(fk)為對(duì)應(yīng)頻率fk的接收數(shù)據(jù);S(fk)為信號(hào)的離散傅立葉變換;N(fk)噪聲的離散傅立葉變換;A(fk)=[a1(θ1,fk)a2(θ2,fk)…aNs(θNs,fk)]為信號(hào)導(dǎo)向矢量矩陣。

空頻二維方向圖的陣列響應(yīng)可表示為

P(θ,f)=WHA(θ,f),θ∈Θf∈B,

(6)

式中:Θ∈[-90°,90°]為信號(hào)波達(dá)角的集合;B為接收信號(hào)帶寬。

2 基于空時(shí)結(jié)構(gòu)最小均方的方向圖控制

陣列方向圖合成問題就是使合成方向圖與期望方向圖的誤差最小化,因此可表示為

(7)

考慮下面的公式

Pd(θ,f)=WHV(θ,f),θ∈Θf∈B.

(8)

其中矢量

Pd=[Pd(θ1,f),…,Pd(θN,f)]

(θ1,…,θN∈Θ,f∈B),

來自進(jìn)博會(huì)的數(shù)據(jù)顯示, 3000多家參展企業(yè)中,不僅涉及G20全部成員,覆蓋超過50個(gè)“一帶一路”沿線國(guó)家和地區(qū),全球44個(gè)最不發(fā)達(dá)國(guó)家中,也有超過30個(gè)前來參加。大量外國(guó)參展商希望抓住中國(guó)消費(fèi)升級(jí)和高質(zhì)量發(fā)展的機(jī)遇,借助進(jìn)博會(huì)的平臺(tái),在中國(guó)市場(chǎng)“更進(jìn)一步”。

為期望陣列響應(yīng)。而方向圖合成就是要尋找最優(yōu)的W,使等式(7)中的J值最小。在大多數(shù)應(yīng)用中,選擇的角度θ與頻率f的個(gè)數(shù)N遠(yuǎn)大于陣元數(shù)M,所以使用最小均方算法來求解等式(7)。

顯然,期望陣列響應(yīng)Pd(θ,f)可表示為

Pd(θ,f)=PdM(θ,f)PdP(θ,f),θ∈Θf∈B.

(9)

式中,PdP(θ,f)=exp(j∠Pd(θ,f)),θ∈Θ，f∈B;PdM(θ,f)=|Pd(θ,f)|.

所以

Pd=PdMPdP=PdP·diag(PdM),

(10)

式中:PdM=[PdM(θ1,f),…,PdM(θN,f)];PdP=[PdP(θ1,f),…,PdP(θN,f)] (θ1,…,θN∈Θf∈B).

方向圖合成問題可以表示為

diag(PdM)‖2.

(11)

基于等式 (11)的方向圖合成算法步驟概括如下:

第1步:初始化期望陣列響應(yīng)幅度PM=|W0HVpattern|,其中W0為最優(yōu)權(quán)矢量的初值Vpattern:[V(γ1,η1),…,V(γK,ηN)](γ1,…,γK∈Θ,η1,…,ηK∈B)為方向矩陣的初值;Θ∈[-90°,90°]為期望方向圖中增益峰值所對(duì)應(yīng)的波達(dá)角的集合,B為接收信號(hào)帶寬,設(shè)迭代次數(shù)n=0.

第3步:用找到的θi和fi更新迭代算法中的PdM和V

PdM=[Pml,PdM(θ1,f1),…,PdM(θL,fK)],

(12)

V=[Vml,V(θ1,f1),…,V(θL,fK)],

(13)

式中:Pml和Vml分別為天線陣主瓣所指方向?qū)?yīng)的陣列響應(yīng)幅度和方向?qū)蚴噶俊?/p>

第4步:采用文獻(xiàn)[7]中兩步最小均方算法更新權(quán)矢量Wn,迭代次數(shù)n=n+1.

(14)

Pdp0=Pdp/|Pdp|,

(15)

(16)

第5步:重復(fù)第2～4步,直到‖Wn-Wn-1‖2小于允許的方向圖合成誤差ε.

對(duì)于上述算法,有以下幾點(diǎn)說明:

1)依據(jù)期望方向圖的增益,可將波達(dá)角與頻率組成的二維集合(Θ,B)分為主瓣區(qū)域和旁瓣區(qū)域,由此可確定主瓣區(qū)域?qū)?yīng)的陣列響應(yīng)幅度Pml和方向?qū)蚴噶縑ml.在第一步初始化方向矩陣Vpattern時(shí),選擇掃描角度與頻率的間隔越大,計(jì)算量越小;間隔越小,方向圖越平滑。在后面的仿真實(shí)驗(yàn)中,掃描角度間隔選為0.1°,掃描頻率間隔選為1 MHz.

2)在第1步中,權(quán)矢量的初值W0可設(shè)為Capon波束形成算法的解[8]

W=R-1a(θ0,f)/(aH(θ0,f)R-1a(θ0,f)),

式中:(θ0,f)是天線主瓣指向方向;R=V(θ0,f)VH(θ0,f)+σ2I;σ為一個(gè)非常小的實(shí)數(shù),I為單位矩陣。

3)在第3步中,在迭代時(shí)通常只關(guān)心主瓣的響應(yīng),不去約束旁瓣并不會(huì)對(duì)方向圖合成結(jié)果造成明顯的影響,但是卻可以大大減少矩陣運(yùn)算量。

4)通常情況下,第4步中方向圖合成的允許誤差選為ε=10-4.

3 計(jì)算機(jī)仿真

通過兩個(gè)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本文提出的陣列方向圖合成算法可以合成任意的波束,以適應(yīng)不同場(chǎng)景的需要。

實(shí)驗(yàn)一:考慮7元均勻線陣結(jié)構(gòu),陣元間距d=λ/2,λ為接收信號(hào)載波頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。確定主瓣區(qū)域?yàn)閇-30°,0°],對(duì)應(yīng)的陣列響應(yīng)幅度為0 dB; 其余角度空間為旁瓣區(qū)域,對(duì)應(yīng)的陣列響應(yīng)幅度為-40 dB.每個(gè)陣元通道的FIR濾波器階數(shù)為5.計(jì)算機(jī)仿真有用信號(hào)疊加寬帶擴(kuò)頻干擾信號(hào),有用信號(hào)為帶寬20 MHz的BPSK調(diào)制信號(hào),信號(hào)中心頻率為15.48 MHz,干擾信號(hào)為帶寬20 MHz的BPSK調(diào)制信號(hào),與信號(hào)同頻,采樣率62 MHz.若選擇允許誤差ε=10-4,自適應(yīng)方向圖控制算法通過10次迭代運(yùn)算可以收斂,收斂結(jié)果,如圖2所示。從圖中可以看出,主瓣和旁瓣在各個(gè)頻點(diǎn)的陣列響應(yīng)幅度都很好的收斂到期望的響應(yīng),這樣,只要保證有用信號(hào)從主瓣區(qū)域入射,而干擾信號(hào)落入旁瓣區(qū)域,即使干擾與信號(hào)同頻,也可達(dá)到很好的抑制效果。

圖2 7元線陣方向圖收斂結(jié)果

實(shí)驗(yàn)二:考慮30元均勻線陣結(jié)構(gòu),采用本文算法設(shè)置階躍式旁瓣包絡(luò),首先確定主瓣區(qū)域?yàn)閇-5°,5°],對(duì)應(yīng)的陣列響應(yīng)幅度為0 dB;旁瓣區(qū)域[-40°,-5°]和[5°,40°],對(duì)應(yīng)的陣列響應(yīng)幅度為-30 dB,旁瓣區(qū)域[-90°,-40°]和[40°,90°],對(duì)應(yīng)的陣列響應(yīng)幅度為-40 dB.每個(gè)陣元通道的FIR濾波器階數(shù)為5.計(jì)算機(jī)仿真有用信號(hào)疊加寬帶擴(kuò)頻干擾信號(hào),有用信號(hào)為帶寬20 MHz的BPSK調(diào)制信號(hào),信號(hào)中心頻率為15.48 MHz,干擾信號(hào)為帶寬20 MHz的BPSK調(diào)制信號(hào),與信號(hào)同頻,采樣率62 MHz.選擇允許誤差ε=10-4,自適應(yīng)方向圖控制算法迭代30次收斂結(jié)果如圖3所示。同樣的陣列結(jié)構(gòu)設(shè)置鍥形旁瓣包絡(luò)時(shí),在區(qū)間[-90°,-5°]內(nèi),陣列響應(yīng)幅度從-50 dB開始以0.2 dB/(°)的速度上升到達(dá)-5°,在區(qū)間[5°,90°]內(nèi),陣列響應(yīng)幅度以0.2 dB/(°)的速度下降到-50 dB,形成一個(gè)鍥形包絡(luò)。確定主瓣區(qū)域?yàn)閇-5°,5°],對(duì)應(yīng)的陣列響應(yīng)幅度為0 dB.選擇允許誤差ε=10-4,自適應(yīng)方向圖控制算法迭代30次收斂結(jié)果，如圖4所示。同上個(gè)實(shí)驗(yàn)相比,此例中的主瓣區(qū)域更窄,但相應(yīng)旁瓣區(qū)域的響應(yīng)幅度略高,對(duì)于與信號(hào)方向相近的干擾區(qū)分度更高,具有更明顯的抑制效果。

圖3 30元線陣階躍式旁瓣方向圖

圖4 30元線陣鍥形旁瓣方向圖

4 結(jié)束語

本文結(jié)合空時(shí)濾波器結(jié)構(gòu)提出了一種新的基于兩步最小均方的方向圖合成算法。算法的核心在于通過修正迭代運(yùn)算中的期望陣列響應(yīng)幅度和方向矩陣,在每次迭代中只約束主瓣方向矢量,因此可以大大降低矩陣運(yùn)算復(fù)雜度,并快速準(zhǔn)確地求解出期望方向圖的相位和相應(yīng)的權(quán)矢量,同時(shí)利用額外的時(shí)域處理維數(shù)改善了波束合成質(zhì)量。最后通過幾個(gè)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)充分驗(yàn)證了該算法的有效性。

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