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    巧用“數(shù)學(xué)思想方法”解決數(shù)學(xué)問題

    2014-08-20 01:40:38陳深厚
    新課程·小學(xué) 2014年6期
    關(guān)鍵詞:反證法數(shù)學(xué)思想方法小棒

    陳深厚

    “數(shù)學(xué)思想方法”是指從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉、概括出來的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí),它提示了數(shù)學(xué)發(fā)展的普遍規(guī)律,對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起著指引方向的重要作用。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的“靈魂”和“精髓”,在數(shù)學(xué)中居于核心地位,具有深遠(yuǎn)的教育意義。因此,數(shù)學(xué)教學(xué)要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”,讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué),即學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容,而且要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神和思想方法。

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》進(jìn)一步要求,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)相關(guān)內(nèi)容,向?qū)W生滲透分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、歸納、集合、方程等基本數(shù)學(xué)思想方法,促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展,為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。筆者結(jié)合自己在解決問題教學(xué)中的實(shí)踐與探索,對(duì)以下四種數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用進(jìn)行簡要闡述。

    一、巧用“反證法”,培養(yǎng)逆向思維

    反證法是間接證明的一種基本方法。當(dāng)需要證明一個(gè)判斷為假時(shí),先假設(shè)這個(gè)判斷為真,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原判斷應(yīng)為假,這樣的證明方法叫做反證法。反證法是演繹推理的一種,依據(jù)的是排中律,是指兩個(gè)互相矛盾的判斷不可能同真,其中必有一假。

    如,一個(gè)三位數(shù)減去一個(gè)兩位數(shù),差一定是兩位數(shù)(見人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)指導(dǎo)叢書上冊(cè)第63頁)。剛從二年級(jí)升入三年級(jí)的學(xué)生缺乏理性認(rèn)識(shí),邏輯思維與逆向思維存在一定的局限性,所以往往誤以為這一數(shù)學(xué)命題言之有理。學(xué)生對(duì)這一命題判斷得真與假,關(guān)鍵在于對(duì)“一定”含義的理解。一個(gè)三位數(shù)減去一個(gè)兩位數(shù),差可以是兩位數(shù),但“一定”就肯定了差是兩位數(shù)的結(jié)論是唯一的。課堂上可以巧用“反證法”來解決問題。

    師:差可以是一位數(shù)或是三位數(shù)嗎?請(qǐng)同學(xué)們舉例驗(yàn)證、交流。

    生1:差可以是一位數(shù),如:100-99=1。

    生2:還可以是三位數(shù),如:999-99=900。

    眾所皆知,否定一個(gè)猜想往往比肯定一個(gè)猜想簡單。學(xué)生經(jīng)歷逆向思辨,能舉出一個(gè)否定命題結(jié)論的例證就能判斷命題為假。不但理清了學(xué)生解決問題的邏輯,而且培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維能力。

    二、巧用“變與不變思想方法”,發(fā)展多向思維

    抓住“不變的量”,是解決問題的一種有效方法,也是一種數(shù)學(xué)思想。教師應(yīng)以教材為本,認(rèn)真研究,一邊抓“不變”現(xiàn)象中“變”的規(guī)律,另一邊抓“變”現(xiàn)象中“不變”的本質(zhì),讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),掌握數(shù)學(xué)本領(lǐng),提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

    如,小馬虎在計(jì)算一道加法題時(shí),把十位上的“5”看成“3”,把個(gè)位上的“6”看成“9”,結(jié)果是784。正確答案應(yīng)該是多少。(見人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)指導(dǎo)叢書上冊(cè)第66頁)。

    小學(xué)生憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成直觀的解題思維是:已知一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù),求和是多少用加法。題目中在沒有直接給出一個(gè)因數(shù)和另一個(gè)因數(shù)的情況下,為學(xué)生設(shè)置了“把十位上的5看成3,把個(gè)位上的6看成9,和是784”這樣一個(gè)思維的“攔路虎”。如何求出一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。巧用“變與不變”的思想方法,對(duì)發(fā)展學(xué)生多向思維,有效解決問題能起到意想不到的成效。

    師:小馬虎把十位上的“5”看成“3”,把個(gè)位上的“6”看成“9”,他看成的這個(gè)數(shù)是多少?

    生1:39。

    師:39和另一個(gè)因數(shù)相加的結(jié)果是784,同學(xué)們能得出另一個(gè) 因數(shù)嗎?算一算。

    生2:另一個(gè)因數(shù)是784-39=745。

    師:根據(jù)題意可以得出一個(gè)加法算式:39+745=784。

    請(qǐng)仔細(xì)思考:在這個(gè)算式中,一個(gè)因數(shù)、另一個(gè)因數(shù)、和,這三個(gè)數(shù)誰在變,誰不變。

    生3:39在變,745不變。

    生4:39在變,和也在變。

    師:如果小馬虎不馬虎的話,一個(gè)因數(shù)39原來是多少?

    生:56。

    師:那么另一個(gè)因數(shù)745不變,可以得出和的正確結(jié)果嗎?請(qǐng)列式并計(jì)算出結(jié)果。

    生5:56+745=801。

    在解決問題中引導(dǎo)學(xué)生巧用“變與不變”的思想方法,訓(xùn)練學(xué)生多向、多邊思維,甚至是全方位思維,使數(shù)學(xué)問題解決水到渠成。

    三、巧用“數(shù)形結(jié)合思想方法”,促進(jìn)形象思維

    數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化,使繁難的數(shù)學(xué)問題簡捷化,使原本需要通過抽象思維解決的問題,借助形象思維就能夠解決,有利于促進(jìn)學(xué)生抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題方案。

    如,教學(xué)分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)。以■×■為例,可以做如下教學(xué)設(shè)計(jì)。

    師:■表示什么?請(qǐng)同學(xué)們到黑板上以長方形為實(shí)物標(biāo)畫出■。

    生1:(上臺(tái)板演圖示)■表示把長方形平均分成5份,其中的1等份表示■。

    師:■的■在圖上怎么表示,在紙上畫一畫,說一說■×■的含義。

    生2:把長方形的■平均分成2等份,其中1等份就是■的■,用乘法算式表示:■×■。

    生3:把長方形看作單位“1”,■×■還可以表示把它平均分成10等份,其中的1份就是■。

    師:■×■就等于■,是根據(jù)怎樣的算理來計(jì)算的呢?

    生:■×■分母相乘作分母,分子相乘作分子,即■=■。

    通過畫出長方形實(shí)物的■的■是怎么表示的,讓學(xué)生進(jìn)一步深入感知■與■相乘是分母相乘作分母,分子相乘作分子的算

    理。學(xué)生也就在數(shù)形結(jié)合中直觀、深刻地明白了■×■所表示的意義是自己身邊一種看得見、摸得著、感受得到的實(shí)物,既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感,又促進(jìn)了學(xué)生形象化思維的發(fā)展。

    四、巧用“分類思想方法”,提高分析思辨能力

    人們面對(duì)比較復(fù)雜的問題,在無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決時(shí),需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論,再把每一類的結(jié)論綜合,使問題得到解決,這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實(shí)質(zhì)是把問題“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”。

    小學(xué)四年級(jí)學(xué)生空間想象能力正處于發(fā)展階段,對(duì)“同一平面”空間觀念的理解還處于似懂非懂、模棱兩可的狀態(tài)。如,教學(xué)“在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線相互平行”(見人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)教材《垂直與平行》),可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景,巧用分類思想方法進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“同一平面”這一空間觀念的理解。

    師:一張桌子上方有兩根小棒同時(shí)落下,可能發(fā)生幾種情況(如下圖)。

    生1:兩根小棒都落在桌子上面。

    生2:一根落在桌子上面,一根落在地上。

    生3:兩根都掉在地上。

    如下示意圖:

    師:請(qǐng)同學(xué)們對(duì)上述三種情況進(jìn)行分類,說說分類的標(biāo)準(zhǔn)。

    生4:可分兩類:把圖(1)、圖(3)兩種情況歸為第一類,因?yàn)閮筛“舳嫉粼谧烂妗⒌孛嫔?。圖(2)歸為第二類,因?yàn)樾“粢桓粼谧烂嫔希桓粼诘孛嫔稀?/p>

    師:這兩類,小棒落下后在位置上有什么區(qū)別?

    生5:圖(1)、圖(3)掉下的兩根小棒同在桌面或同在地面上,而第二類的兩根小棒一根在桌面上,另一根在地面上。

    師,正確定義“同一平面”:像圖(1)、圖(3)掉下的兩根小棒同在桌面或地面上,就叫兩根小棒在落在同一平面內(nèi)。像圖(2),小棒一根掉在桌面上,一根掉在地面上,叫做兩根小棒落在不同的平面內(nèi)。

    師拓展提升,舉一舉生活中“在同一平面內(nèi)”和“不同平面內(nèi)”的事物。

    學(xué)生相互討論,師生交流。

    通過創(chuàng)設(shè)情景,對(duì)在“同一平面”和“不在同一平面”的空間位置關(guān)系逐一分類討論,深入淺出地解決了學(xué)生對(duì)“在同一平面內(nèi)”空間觀念的理解。掌握分類的思想方法,可以將復(fù)雜的問題簡單化、清晰化,培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考,提高學(xué)生分析思辨的思維能力。

    總之,在小學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)解決問題的能力,為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積攢強(qiáng)大的后勁。然而,數(shù)學(xué)思想方法不同于一般知識(shí)技能,無法通過短期的訓(xùn)練便能掌握,數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是一個(gè)經(jīng)過長期的滲透和影響才能夠形成思想和方法的過程。

    (作者單位 福建省廈門市翔安區(qū)馬巷中心小學(xué))

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