仿射變換在解決初等幾何問題中的應(yīng)用

叢芳

高等幾何為我們提供了解決初等幾何證問題中的一些方法.這些方法雖然大多不能直接進(jìn)入中學(xué)課堂，但它們能夠幫助我們思考問題，啟發(fā)我們獲得初等證法，有時其證明過程還能幫助我們找到發(fā)現(xiàn)新的命題.如果適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用仿射幾何知識，在解決問題時，就會使問題簡化，收到事半功倍的效果.

仿射變換的性質(zhì)取決于透視仿射的性質(zhì)，經(jīng)過一切透視仿射變換不改變的性質(zhì)和數(shù)量，稱為仿射不變性和仿射不變量.透視仿射（即平行攝影）將點(diǎn)映成點(diǎn)，將直線映成直線，因此透視仿射具有同素性、結(jié)合性.針對仿射變換的不變性和不變量，我們可以解決初等幾何中的有關(guān)仿射性質(zhì)的問題.

仿射變換的主要性質(zhì)應(yīng)用于有關(guān)三角形及橢圓的仿射性質(zhì)方面十分有效.下面從兩個方面闡述它的作用.

1.仿射變換在證明有關(guān)三角形的仿射性質(zhì)的命題中的應(yīng)用

在初等幾何中，涉及三角形的命題十分豐富，如何解決這些命題并非易事.假如轉(zhuǎn)化為特殊的三角形，則會使問題簡化.如何達(dá)到簡化的目的？是不是任何問題都可以轉(zhuǎn)化呢？應(yīng)用仿射變換就必須針對有關(guān)仿射性質(zhì)的命題，進(jìn)而使問題得以解決.

由于任一三角形經(jīng)仿射變換后均可變成正三角形，因此，如果我們要證明一個有關(guān)任意三角形的命題，只要這個命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么，只要證明命題對正三角形成立，便可斷言命題對任一三角形也成立.而正三角形是特殊的三角形，它有很多特殊的性質(zhì)可以利用，證明時會達(dá)到事半功倍的效果.有關(guān)應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下方面.

（1）解決有關(guān)三角形中線的問題

由于中點(diǎn)具有仿射不變性，故可以應(yīng)用仿射變換而不改變本身的特點(diǎn).

例1：在△ABC的邊BC的中線上任取一點(diǎn)P，BP，CP交AB，AC于M，N，求證：MN//BC.

分析：因為三角形的中線和直線的平行都是仿射性質(zhì)，所以只要對正三角形證明該命題成立即可.

證明：在正△ABC中，P為BC邊中線上的一點(diǎn)，BP，CP交AB，AC于M，N（如圖1.1），

易證△NBC？艿△MCB

∴MB=NC

∴AM=AN

∴MN//BC

故命題對正三角形成立，因而對任意三角形也成立.

三角形的中線、中點(diǎn)及重心是有關(guān)仿射性質(zhì)的特殊線及點(diǎn)，因此，對于有關(guān)一般三角形的這些量，可以轉(zhuǎn)化為在正三角形中解決.

（2）解決有關(guān)面積問題

命題：任意三角形三條中線分別分成的六個三角形的面積相等.

證明：因為點(diǎn)線結(jié)合性是仿射不變的，所以此題只對正三角形△ABC證明即可.

而由正三角形的性質(zhì)很容易得知，

由其三條中線分成的六個小三角形的面積相等（如圖1.2），因而命題得證.

在仿射變換下，任意兩個三角形面積之比是仿射不變量，運(yùn)用此定理證明有關(guān)面積問題尤為簡捷.

（3）解決有關(guān)線段比的問題

由于仿射變換保持簡比不變，故對有關(guān)線段比的問題應(yīng)用也很方便.

命題：三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

證明：因為線段中點(diǎn)、平行性、平行線段長度的比均為仿射不變性和仿射不變量，又由仿射變換保持同素性和結(jié)合性，所以只要證在正三角形的特例情況下命題成立即可.

對于等邊三角形ABC（如圖1.3），

通過以上幾方面的應(yīng)用（此外證明共點(diǎn)共線問題）可以看出，在三角形中，如果已知條件與仿射變換中的不變性（量）相聯(lián)系，那么可以先對正三角形加以證明.因為任意三角形可以由正三角形通過仿射變換得到，這樣可以把問題化難為易，收到事半功倍的效果.但對題中含有角平分線、垂線、角度等概念問題，不能應(yīng)用此方法.因為它們不是仿射不變性（量），由此而得到的圖形也不是仿射不變圖形，通過仿射變換后，它們是要改變的.

2.仿射變換在解決有關(guān)橢圓的仿射性質(zhì)的問題中的應(yīng)用

圓和橢圓都是初等幾何中常見的圖形，圓比橢圓特殊，它有很多很好的性質(zhì)，與圓有關(guān)的定理舉不勝舉.橢圓則不然，它本身的定義就比圓復(fù)雜，而且關(guān)于橢圓的性質(zhì)定理很少，解決一個與橢圓有關(guān)的問題要比解決一個與圓有關(guān)的相應(yīng)問題困難得多.在初等幾何中，有很多有關(guān)橢圓的問題，只能用解析幾何的方法解決，這就給我們解題帶來了不少麻煩.因此我們自然期望有一種方法，使得處理有關(guān)橢圓的問題和處理有關(guān)圓的問題一樣容易.而由仿射變換性質(zhì)知：橢圓通過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q可變成圓.因此，只要考慮的有關(guān)橢圓的問題是純屬仿射性質(zhì)的問題，則就可以先轉(zhuǎn)化為有關(guān)圓的問題解決，再把所得的結(jié)果推廣到橢圓中，即可達(dá)到目的.

由于橢圓的仿射對應(yīng)圖形是圓，因此可以從圓的性質(zhì)推導(dǎo)出橢圓的一些性質(zhì)，由于仿射對應(yīng)圖形保持結(jié)合性不變，因此圓的切線的仿射對應(yīng)圖形是橢圓的切線，因此橢圓的仿射對應(yīng)圖形是圓.

有關(guān)橢圓的問題可以簡化為有關(guān)圓的問題，其主要應(yīng)用有如下兩方面.

（1）有關(guān)橢圓某部分的面積問題

對于有關(guān)求圓的扇形面積是較容易辦到的，但對于橢圓來說，要求其面積很不方便，通過仿射變換將橢圓變成圓再來解決問題就很簡捷.

以上兩例說明：有關(guān)求圓的問題是較容易解決的，但對于橢圓來說，并不是很方便，通過仿射變換將橢圓變成圓問題就簡捷許多.

綜上，研究高等幾何的思考方法及解題技巧，對于正確把握初等幾何的解題實質(zhì)和發(fā)展脈絡(luò)都大有好處.數(shù)學(xué)教師要教好中學(xué)數(shù)學(xué)，不能只懂中學(xué)數(shù)學(xué)，而要“站得更高，看得更遠(yuǎn)”，應(yīng)拓寬視野，拓廣思路，這樣才能更好地把握中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容.仿射幾何在解決初等幾何問題中的應(yīng)用，不局限于與仿射有關(guān)的理論的應(yīng)用，仿射變換的特性（如：正交變換、位似變換、相似變換）的應(yīng)用也是十分廣泛的.仿射幾何在初等幾何中的應(yīng)用有待深入探討和研究.

參考文獻(xiàn)：

[1]呂鳳等.高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1000例.東北師范大學(xué)出版社，1995，10：691-723.