注重多題歸一 提升思維能力

王新奇

在教學(xué)中，很多教師都有這樣的困惑：講了很多題目，為什么學(xué)生碰到類似的題目還是不會做？筆者以為：如果學(xué)生只是掌握一道道“孤立”的題目，不能對一類問題形成深刻的認(rèn)識，把握一類問題的本質(zhì)，碰到類似的問題不會做是正常的。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的題目進(jìn)行整理歸類，要從千變?nèi)f化的題目中找出共性，串在一起，使多道題目在本質(zhì)上變成一類題目，做到多題歸一，這樣才能使學(xué)生看清題目的本質(zhì)，從而提升思維能力。下文是筆者的課堂實踐，愿和大家分享。

一、重溫基礎(chǔ)題，揭示“基本圖形”的特征

筆者分別出示三道基礎(chǔ)題。

問題1：如圖1，在矩形ABCD中，點E是線段BC上一點，∠FEG=90°。（1）求證：△BFE∽△CEG；（2）若FB=a，GC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

問題2：如圖2，在等邊△ABC中，點E是線段BC上一點，∠FED=60°。（1）求證：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式子，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

問題3：如圖3，在等腰直角△ABC中，點E是線段BC上一點，∠FED=45°。（1）求證：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式子，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

師：觀察以上3張圖形，結(jié)合3個問題的解答，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這3張圖是類似的，如果滿足BC邊上的3個角相等，這兩個三角形形似。

生2：總有這樣一個結(jié)論：兩側(cè)的兩條線段的乘積等于BC邊上兩條線段的乘積。

師：你們說的很對！既然這3張圖是類似的，同學(xué)們能否把3張圖濃縮成一張圖呢？

生齊答：能！

（在學(xué)生畫的“基本圖形”基礎(chǔ)上，筆者順勢揭示“基本圖形”圖4。）

結(jié)論：如圖4，若∠B=∠FED=∠C，總有△BFE∽△CED，且a·b=c·d。

（設(shè)計意圖：為了引入“基本圖形”，筆者選擇了3道基礎(chǔ)題，將這3道題放到一起進(jìn)行比較，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)3張圖形的特點。筆者順勢提出問題：能否把3張圖濃縮成一張圖呢？這個問題既立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，又引領(lǐng)學(xué)生展開進(jìn)一步的探究和總結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，恰到好處！這種問題情境的設(shè)計，讓學(xué)生既感覺到熟悉，又充滿新意，學(xué)生新的知識經(jīng)驗悄然生成，可謂“潤物無聲”。）

二、再現(xiàn)常規(guī)題，體驗“基本圖形”的魅力

筆者出示兩道題，讓學(xué)生自主練習(xí)。

師：觀察這兩張圖，你們看到了什么？

生1：“基本圖形”。不過需要添輔助線，才能看到“基本圖形”。

師：怎么添？

生1：第4題需要連接OD和OC，第5題需要連接CP。

師：很好！這兩道題的“基本圖形”都不完整，需要我們構(gòu)造第3個角。

（設(shè)計意圖：這組常規(guī)題的設(shè)置，主要是提升學(xué)生對“基本圖形”的認(rèn)識，已知兩個角，讓學(xué)生構(gòu)造第3個角，讓學(xué)生在尋找“基本圖形”的同時，學(xué)會簡單的構(gòu)造基本圖形，進(jìn)而加深學(xué)生對“基本圖形”的理解和掌握，讓學(xué)生初步形成解決問題的能力。）

三、立足能力題，提升思維能力

（1）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

（2）連接AB，以AB為斜邊在直線AB下方作等腰直角△ABG，則點G的坐標(biāo)為 。

（首先出示第1問，讓學(xué)生嘗試畫出圖8。）

師：觀察圖8，你們看到了什么？

生齊答：“基本圖形”。

生1：過點E作EG⊥OB，得到“基本圖形”。

師：很好，請大家嘗試求出F點的坐標(biāo)。

師：現(xiàn)在有兩種方法，是逐個計算還是進(jìn)行取舍？

生2：第1種方法：利用基本結(jié)論做，數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了4次方，數(shù)據(jù)很復(fù)雜，應(yīng)該舍去。（其他同學(xué)也表示同意）

師總結(jié)：第1問，圖形較為復(fù)雜，我們在復(fù)雜圖形中觀察并構(gòu)造“基本圖形”，第3組對應(yīng)邊的比值為我們尋找到了問題的突破口?；仡櫧忸}過程，我們要做到兩個“勇敢”：當(dāng)一個思路導(dǎo)致計算過分復(fù)雜時，我們要敢于取舍；對于■的運算，我們要敢于嘗試。

（出示第2問，讓學(xué)生嘗試畫出圖9，并解決問題。）

師：當(dāng)圖中有兩個角時，我們可以構(gòu)造第3個角，得到“基本圖形”?，F(xiàn)在只有1個角，怎么辦呢？

（過了一會兒，一名學(xué)生舉手）

生6：過點G作x軸的平行線，再過B點作BH⊥GH，得到“基本圖形”。

師：思路對的，可惜思路不夠自然！

生7：題目中要求點G的坐標(biāo)，可以先過點G作GH⊥y軸，這樣就得到了兩個角，由這兩個角，我們只要再構(gòu)造第3個角，便得到“基本圖形”。

師：這個思路怎么樣?。浚ń淌依镆黄坡?。）

（設(shè)計意圖：本題選自蘇州工業(yè)園區(qū)2011年初三數(shù)學(xué)一模試卷，筆者圍繞“基本圖形”的設(shè)計對試題進(jìn)行了改編，并增設(shè)了第2問。本題對學(xué)生的能力提出了很高的要求：第1問，已知兩個角，構(gòu)造“基本圖形”；第2問，已知1個角，構(gòu)造“基本圖形”，角的個數(shù)在減少，問題的難度在增加，對學(xué)生解決問題的能力是一次很好的鍛煉。對于學(xué)生6的思路，筆者給出了“不夠自然”的評價，引發(fā)了學(xué)生的熱烈討論，學(xué)生7精彩的回答足以證明學(xué)生思維能力的提升。）■

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

在教學(xué)中，很多教師都有這樣的困惑：講了很多題目，為什么學(xué)生碰到類似的題目還是不會做？筆者以為：如果學(xué)生只是掌握一道道“孤立”的題目，不能對一類問題形成深刻的認(rèn)識，把握一類問題的本質(zhì)，碰到類似的問題不會做是正常的。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的題目進(jìn)行整理歸類，要從千變?nèi)f化的題目中找出共性，串在一起，使多道題目在本質(zhì)上變成一類題目，做到多題歸一，這樣才能使學(xué)生看清題目的本質(zhì)，從而提升思維能力。下文是筆者的課堂實踐，愿和大家分享。

一、重溫基礎(chǔ)題，揭示“基本圖形”的特征

筆者分別出示三道基礎(chǔ)題。

問題1：如圖1，在矩形ABCD中，點E是線段BC上一點，∠FEG=90°。（1）求證：△BFE∽△CEG；（2）若FB=a，GC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

問題2：如圖2，在等邊△ABC中，點E是線段BC上一點，∠FED=60°。（1）求證：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式子，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

問題3：如圖3，在等腰直角△ABC中，點E是線段BC上一點，∠FED=45°。（1）求證：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式子，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

師：觀察以上3張圖形，結(jié)合3個問題的解答，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這3張圖是類似的，如果滿足BC邊上的3個角相等，這兩個三角形形似。

生2：總有這樣一個結(jié)論：兩側(cè)的兩條線段的乘積等于BC邊上兩條線段的乘積。

師：你們說的很對！既然這3張圖是類似的，同學(xué)們能否把3張圖濃縮成一張圖呢？

生齊答：能！

（在學(xué)生畫的“基本圖形”基礎(chǔ)上，筆者順勢揭示“基本圖形”圖4。）

結(jié)論：如圖4，若∠B=∠FED=∠C，總有△BFE∽△CED，且a·b=c·d。

（設(shè)計意圖：為了引入“基本圖形”，筆者選擇了3道基礎(chǔ)題，將這3道題放到一起進(jìn)行比較，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)3張圖形的特點。筆者順勢提出問題：能否把3張圖濃縮成一張圖呢？這個問題既立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，又引領(lǐng)學(xué)生展開進(jìn)一步的探究和總結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，恰到好處！這種問題情境的設(shè)計，讓學(xué)生既感覺到熟悉，又充滿新意，學(xué)生新的知識經(jīng)驗悄然生成，可謂“潤物無聲”。）

二、再現(xiàn)常規(guī)題，體驗“基本圖形”的魅力

筆者出示兩道題，讓學(xué)生自主練習(xí)。

師：觀察這兩張圖，你們看到了什么？

生1：“基本圖形”。不過需要添輔助線，才能看到“基本圖形”。

師：怎么添？

生1：第4題需要連接OD和OC，第5題需要連接CP。

師：很好！這兩道題的“基本圖形”都不完整，需要我們構(gòu)造第3個角。

（設(shè)計意圖：這組常規(guī)題的設(shè)置，主要是提升學(xué)生對“基本圖形”的認(rèn)識，已知兩個角，讓學(xué)生構(gòu)造第3個角，讓學(xué)生在尋找“基本圖形”的同時，學(xué)會簡單的構(gòu)造基本圖形，進(jìn)而加深學(xué)生對“基本圖形”的理解和掌握，讓學(xué)生初步形成解決問題的能力。）

三、立足能力題，提升思維能力

（1）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

（2）連接AB，以AB為斜邊在直線AB下方作等腰直角△ABG，則點G的坐標(biāo)為 。

（首先出示第1問，讓學(xué)生嘗試畫出圖8。）

師：觀察圖8，你們看到了什么？

生齊答：“基本圖形”。

生1：過點E作EG⊥OB，得到“基本圖形”。

師：很好，請大家嘗試求出F點的坐標(biāo)。

師：現(xiàn)在有兩種方法，是逐個計算還是進(jìn)行取舍？

生2：第1種方法：利用基本結(jié)論做，數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了4次方，數(shù)據(jù)很復(fù)雜，應(yīng)該舍去。（其他同學(xué)也表示同意）

師總結(jié)：第1問，圖形較為復(fù)雜，我們在復(fù)雜圖形中觀察并構(gòu)造“基本圖形”，第3組對應(yīng)邊的比值為我們尋找到了問題的突破口?；仡櫧忸}過程，我們要做到兩個“勇敢”：當(dāng)一個思路導(dǎo)致計算過分復(fù)雜時，我們要敢于取舍；對于■的運算，我們要敢于嘗試。

（出示第2問，讓學(xué)生嘗試畫出圖9，并解決問題。）

師：當(dāng)圖中有兩個角時，我們可以構(gòu)造第3個角，得到“基本圖形”?，F(xiàn)在只有1個角，怎么辦呢？

（過了一會兒，一名學(xué)生舉手）

生6：過點G作x軸的平行線，再過B點作BH⊥GH，得到“基本圖形”。

師：思路對的，可惜思路不夠自然！

生7：題目中要求點G的坐標(biāo)，可以先過點G作GH⊥y軸，這樣就得到了兩個角，由這兩個角，我們只要再構(gòu)造第3個角，便得到“基本圖形”。

師：這個思路怎么樣?。浚ń淌依镆黄坡?。）

（設(shè)計意圖：本題選自蘇州工業(yè)園區(qū)2011年初三數(shù)學(xué)一模試卷，筆者圍繞“基本圖形”的設(shè)計對試題進(jìn)行了改編，并增設(shè)了第2問。本題對學(xué)生的能力提出了很高的要求：第1問，已知兩個角，構(gòu)造“基本圖形”；第2問，已知1個角，構(gòu)造“基本圖形”，角的個數(shù)在減少，問題的難度在增加，對學(xué)生解決問題的能力是一次很好的鍛煉。對于學(xué)生6的思路，筆者給出了“不夠自然”的評價，引發(fā)了學(xué)生的熱烈討論，學(xué)生7精彩的回答足以證明學(xué)生思維能力的提升。）■

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

在教學(xué)中，很多教師都有這樣的困惑：講了很多題目，為什么學(xué)生碰到類似的題目還是不會做？筆者以為：如果學(xué)生只是掌握一道道“孤立”的題目，不能對一類問題形成深刻的認(rèn)識，把握一類問題的本質(zhì)，碰到類似的問題不會做是正常的。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的題目進(jìn)行整理歸類，要從千變?nèi)f化的題目中找出共性，串在一起，使多道題目在本質(zhì)上變成一類題目，做到多題歸一，這樣才能使學(xué)生看清題目的本質(zhì)，從而提升思維能力。下文是筆者的課堂實踐，愿和大家分享。

一、重溫基礎(chǔ)題，揭示“基本圖形”的特征

筆者分別出示三道基礎(chǔ)題。

問題1：如圖1，在矩形ABCD中，點E是線段BC上一點，∠FEG=90°。（1）求證：△BFE∽△CEG；（2）若FB=a，GC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

問題2：如圖2，在等邊△ABC中，點E是線段BC上一點，∠FED=60°。（1）求證：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式子，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

問題3：如圖3，在等腰直角△ABC中，點E是線段BC上一點，∠FED=45°。（1）求證：△BFE∽△CED；（2）若FB=a，DC=b，BE=c，EC=d，請寫出比例式子，并把比例式轉(zhuǎn)化為等積式。

師：觀察以上3張圖形，結(jié)合3個問題的解答，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這3張圖是類似的，如果滿足BC邊上的3個角相等，這兩個三角形形似。

生2：總有這樣一個結(jié)論：兩側(cè)的兩條線段的乘積等于BC邊上兩條線段的乘積。

師：你們說的很對！既然這3張圖是類似的，同學(xué)們能否把3張圖濃縮成一張圖呢？

生齊答：能！

（在學(xué)生畫的“基本圖形”基礎(chǔ)上，筆者順勢揭示“基本圖形”圖4。）

結(jié)論：如圖4，若∠B=∠FED=∠C，總有△BFE∽△CED，且a·b=c·d。

（設(shè)計意圖：為了引入“基本圖形”，筆者選擇了3道基礎(chǔ)題，將這3道題放到一起進(jìn)行比較，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)3張圖形的特點。筆者順勢提出問題：能否把3張圖濃縮成一張圖呢？這個問題既立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，又引領(lǐng)學(xué)生展開進(jìn)一步的探究和總結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，恰到好處！這種問題情境的設(shè)計，讓學(xué)生既感覺到熟悉，又充滿新意，學(xué)生新的知識經(jīng)驗悄然生成，可謂“潤物無聲”。）

二、再現(xiàn)常規(guī)題，體驗“基本圖形”的魅力

筆者出示兩道題，讓學(xué)生自主練習(xí)。

師：觀察這兩張圖，你們看到了什么？

生1：“基本圖形”。不過需要添輔助線，才能看到“基本圖形”。

師：怎么添？

生1：第4題需要連接OD和OC，第5題需要連接CP。

師：很好！這兩道題的“基本圖形”都不完整，需要我們構(gòu)造第3個角。

（設(shè)計意圖：這組常規(guī)題的設(shè)置，主要是提升學(xué)生對“基本圖形”的認(rèn)識，已知兩個角，讓學(xué)生構(gòu)造第3個角，讓學(xué)生在尋找“基本圖形”的同時，學(xué)會簡單的構(gòu)造基本圖形，進(jìn)而加深學(xué)生對“基本圖形”的理解和掌握，讓學(xué)生初步形成解決問題的能力。）

三、立足能力題，提升思維能力

（1）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

（2）連接AB，以AB為斜邊在直線AB下方作等腰直角△ABG，則點G的坐標(biāo)為 。

（首先出示第1問，讓學(xué)生嘗試畫出圖8。）

師：觀察圖8，你們看到了什么？

生齊答：“基本圖形”。

生1：過點E作EG⊥OB，得到“基本圖形”。

師：很好，請大家嘗試求出F點的坐標(biāo)。

師：現(xiàn)在有兩種方法，是逐個計算還是進(jìn)行取舍？

生2：第1種方法：利用基本結(jié)論做，數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了4次方，數(shù)據(jù)很復(fù)雜，應(yīng)該舍去。（其他同學(xué)也表示同意）

師總結(jié)：第1問，圖形較為復(fù)雜，我們在復(fù)雜圖形中觀察并構(gòu)造“基本圖形”，第3組對應(yīng)邊的比值為我們尋找到了問題的突破口。回顧解題過程，我們要做到兩個“勇敢”：當(dāng)一個思路導(dǎo)致計算過分復(fù)雜時，我們要敢于取舍；對于■的運算，我們要敢于嘗試。

（出示第2問，讓學(xué)生嘗試畫出圖9，并解決問題。）

師：當(dāng)圖中有兩個角時，我們可以構(gòu)造第3個角，得到“基本圖形”。現(xiàn)在只有1個角，怎么辦呢？

（過了一會兒，一名學(xué)生舉手）

生6：過點G作x軸的平行線，再過B點作BH⊥GH，得到“基本圖形”。

師：思路對的，可惜思路不夠自然！

生7：題目中要求點G的坐標(biāo)，可以先過點G作GH⊥y軸，這樣就得到了兩個角，由這兩個角，我們只要再構(gòu)造第3個角，便得到“基本圖形”。

師：這個思路怎么樣?。浚ń淌依镆黄坡?。）

（設(shè)計意圖：本題選自蘇州工業(yè)園區(qū)2011年初三數(shù)學(xué)一模試卷，筆者圍繞“基本圖形”的設(shè)計對試題進(jìn)行了改編，并增設(shè)了第2問。本題對學(xué)生的能力提出了很高的要求：第1問，已知兩個角，構(gòu)造“基本圖形”；第2問，已知1個角，構(gòu)造“基本圖形”，角的個數(shù)在減少，問題的難度在增加，對學(xué)生解決問題的能力是一次很好的鍛煉。對于學(xué)生6的思路，筆者給出了“不夠自然”的評價，引發(fā)了學(xué)生的熱烈討論，學(xué)生7精彩的回答足以證明學(xué)生思維能力的提升。）■

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）