病態(tài)不等式約束模型的正則化算法研究

楊 娟，陶葉青，施龍香

1.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院，江蘇徐州，221008；2.宿州學(xué)院地球科學(xué)與工程學(xué)院，安徽宿州，234000

病態(tài)不等式約束模型的正則化算法研究

楊 娟1,2，陶葉青2，施龍香2

1.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院，江蘇徐州，221008；2.宿州學(xué)院地球科學(xué)與工程學(xué)院，安徽宿州，234000

應(yīng)用先驗信息建立不等式約束模型是求解模型參數(shù)的有效途徑，通過罰函數(shù)與零權(quán)和無限權(quán)的思想確定不等式約束模型的最小二乘解時，病態(tài)法方程矩陣對不等式約束模型解的穩(wěn)定性存在一定影響。根據(jù)吉洪諾夫正則化方法的基本思想，對病態(tài)不等式約束模型的正則化算法進(jìn)行闡述，并對應(yīng)用嶺跡法確定嶺估計參數(shù)、通過迭代計算確定無限權(quán)數(shù)值來克服不等式約束模型病態(tài)性的算法進(jìn)行了討論。在此基礎(chǔ)上，用實例對算法進(jìn)行了驗證，結(jié)果表明：應(yīng)用嶺跡法確定嶺估計參數(shù)能夠有效消除病態(tài)不等式約束模型對模型參數(shù)求解的影響，吉洪諾夫正則化的方法適用于對病態(tài)不等式約束模型的正則化。

不等式約束平差；不適定問題；正則化；無限權(quán)

1 研究背景

應(yīng)用先驗信息建立對參數(shù)不等式形式的約束，在最小二乘準(zhǔn)則下建立平差模型，稱為不等式約束平差。隨著測量技術(shù)的進(jìn)步和已有測量數(shù)據(jù)的大量積累，參數(shù)的先驗信息也在不斷豐富。如何應(yīng)用先驗信息建立科學(xué)的不等式約束模型，提高與改進(jìn)平差精度,越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]用線性規(guī)劃中的線性補(bǔ)方法求解具有約束的最小二乘問題；文獻(xiàn)[2-5]對在大地測量領(lǐng)域中的變形檢驗、GPS數(shù)據(jù)處理、大地控制網(wǎng)的優(yōu)化等方面不等式約束的應(yīng)用進(jìn)行了相關(guān)分析，并取得一定成果；文獻(xiàn)[6-8]對不等式約束的具體解法進(jìn)行了研究，并且用Bayes和罰函數(shù)等方法來實現(xiàn)不等式約束的算法。

應(yīng)用不等式約束，在含有誤差的觀測量矩陣求得可靠解算結(jié)果的時候，并沒有考慮到觀測量系數(shù)矩陣的病態(tài)性。而應(yīng)用最小二乘準(zhǔn)則建立平差模型，病態(tài)的系數(shù)矩陣會因觀測量的微小變化導(dǎo)致解算結(jié)果的不穩(wěn)定。解決模型的病態(tài)性一直是測量中不適定問題討論的焦點，文獻(xiàn)[9-12]對病態(tài)模型的正則化方法進(jìn)行了相關(guān)分析，并就選權(quán)似合法、改進(jìn)最小二乘估計法、譜修正迭代法等方法解決病態(tài)問題的算法進(jìn)行了詳細(xì)闡述，而對于解決不等式約束模型的病態(tài)性問題沒有太多關(guān)注。

本文在前人研究基礎(chǔ)上，應(yīng)用罰函數(shù)與零權(quán)和無限權(quán)的思想獲得不等式約束平差廣義最小二乘解，對不等式約束算法中法方程矩陣的病態(tài)性和克服不等式約束模型病態(tài)性的正則化算法進(jìn)行探討。

2 不等式約束模型與正則化算法

2.1 不等式約束模型的算法

間接平差模型：

V=BX-L

(1)

最小二乘準(zhǔn)則：

VTPV=(BX-L)TP(BX-L)=min

(2)

解為：X=(BTPB)-1BTPL

(3)

不等式約束的模型可表示為：

(4)

上述各式中，L為觀測值；V為觀測值改正數(shù)；B為參數(shù)X的系數(shù)矩陣；G為行滿秩矩陣；W為常量,是對參數(shù)X解的約束。

不等式約束模型的解可通過遺傳算法、凸二次規(guī)劃等方法來實現(xiàn)[13-14]，運用罰函數(shù)與零權(quán)和無限權(quán)的思想，將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束的算法則變得更加直觀[8,15]。令：

V′=GX-W

(5)

當(dāng)V′≤0時，參數(shù)X滿足不等式約束，則不等式為無效約束；當(dāng)V′≥0時，參數(shù)X不滿足不等式約束，則不等式為有效約束。令：

P(x)= V′TP′ V′

(6)

P(x)為罰函數(shù)，當(dāng)V′≤0時，即不等式為無效約束時，罰函數(shù)值為零；當(dāng)V′≥0時，即不等式為有效約束時，罰函數(shù)值不為零。P′為罰函數(shù)P(x)的權(quán)值。

罰函數(shù)P(x)的取值通過定義零權(quán)和無限權(quán)實現(xiàn)，令：

(7)

不等式為有效約束時，權(quán)值P′取一很大數(shù)值k；不等式為無效約束時，權(quán)值P′取值為零。不等式約束模型通過優(yōu)化計算中的罰函數(shù)方法轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題：

φ(X)=VTPV+V′TP′V=min

(8)

不等式約束模型的廣義最小二乘解為[8]：

X=(BTPB+GTP′G)-1(BTPL+GTP′L′)

(9)

式中L′=W。根據(jù)罰函數(shù)定義不等式約束模型，廣義最小二乘解是通過迭代算法來實現(xiàn)的：首先應(yīng)用不等式約束的間接平差模型獲得最小二乘解；然后將最小二乘解代入約束不等式(如果滿足條件則定義罰函數(shù)的權(quán)P′為零，如果不滿足條件則定義P′為一較大數(shù)值k)；再將定義的P′值代入式(9)，求出廣義最小二乘解(如果廣義最小二乘解不滿足約束不等式，則重新定義P′并進(jìn)行迭代計算)。

2.2 病態(tài)性與正則化算法

測量數(shù)據(jù)處理的病態(tài)問題是指測量模型的解不穩(wěn)定，引起病態(tài)問題的主要因素有兩個方面：一方面，建立平差模型過度參數(shù)化，使得參數(shù)之間有一定的復(fù)共線性，導(dǎo)致模型病態(tài)；另一方面，測量數(shù)據(jù)不足，導(dǎo)致模型病態(tài)。病態(tài)模型的直接體現(xiàn)是間接平差模型(式(1))的解的法矩陣BTPB為奇異矩陣。目前，測量中不適定問題都可以通過吉洪諾夫(Tikhonov)正則化法[9]來求解，其實質(zhì)是增加約束、補(bǔ)充先驗信息，來克服不適定性。歐吉坤根據(jù)Tikhonov正則化的思想，給出平差模型解的統(tǒng)一形式[11]：

X=(BTPB+βPX)-1BTPL

(10)

式中，β為正則化參數(shù)；PX為穩(wěn)定泛函。a、PX不同形式表示不同的平差模型，當(dāng)β=K，PX=I時，表示嶺估計。K為嶺參數(shù)，I為單位陣，嶺估計可以表達(dá)為：

X=(BTPB+KI)-1BTPL

(11)

不等式約束模型的迭代算法在實現(xiàn)過程中，如果法矩陣BTPB奇異，最終也會導(dǎo)致模型的廣義最小二乘解的不穩(wěn)定，因此，在不等式約束算法中同樣存在著病態(tài)問題。不等式約束模型的病態(tài)問題可以通過Tikhonov正則化算法解決。

不等式約束模型是應(yīng)用參數(shù)的先驗信息建立的對參數(shù)具有不等式約束性質(zhì)的模型，約束條件(GX-W)具有增加約束、補(bǔ)充先驗信息的作用，這與Tikhonov正則化思想有相通之處。約束條件(GX-W)在模型的廣義最小二乘解中通過無限權(quán)矩陣GTP′G實現(xiàn)，通過定義無限權(quán)矩陣GTP′G的取值來克服不等式約束模型的病態(tài)問題。

GTP′G中，矩陣G是關(guān)于參數(shù)X的約束不等式的系數(shù)陣，其形式固定，不能確定系數(shù)陣G對法矩陣BTPB的病態(tài)性是否有修正作用。應(yīng)用罰函數(shù)P(x)求取不等式約束模型的廣義最小二乘解，P(x)通過定義零權(quán)和無限權(quán)P′(式(7))實現(xiàn)。權(quán)P′應(yīng)用迭代算法實現(xiàn)取值，數(shù)值不固定。通過定義權(quán)陣P′的值來實現(xiàn)GTP′G對法矩陣BTPB病態(tài)性的修正。定義P′的取值為嶺跡法確定的嶺參數(shù)K的解集與罰函數(shù)P(x)的無限權(quán)陣P′的k集(式7)的交集：

P′={k}∩{K}

(12)

上述算法實現(xiàn)的步驟：首先根據(jù)嶺跡法確定模型的最小二乘解與嶺參數(shù)K；然后將最小二乘解代入約束不等式(如果不滿足條件，K值為無限權(quán)值P′的初值)；再將P′值代入式(9)，求出廣義最小二乘解(如果廣義最小二乘解不滿足約束不等式，則對嶺參數(shù)K重新取值，并進(jìn)行迭代計算)。

3 實 驗

應(yīng)用文獻(xiàn)[16]中的算例，算例中有10個觀測值，3個未知參數(shù)[XYZ]T，其真值為[10 15 6]T。參數(shù)系數(shù)陣B與觀測值L如表1。當(dāng)矩陣條件數(shù)大于100時，判定矩陣呈病態(tài)性。法矩陣BTB的條件數(shù)為1740，呈病態(tài)性。

表1 系數(shù)陣B與觀測值L

根據(jù)參數(shù)的真值，構(gòu)造不等式約束模型的不等式系數(shù)陣G與約束值W，其值分別為：

應(yīng)用病態(tài)不等式約束模型的正則化算法，根據(jù)嶺跡法確定嶺參數(shù)進(jìn)行迭代計算，獲得廣義最小二乘解集、參數(shù)的方差與點位均方向方差[17](表2和圖1)。

表2 參數(shù)解集與方差

圖1 參數(shù)方差與點位均方向方差

算例表明，應(yīng)用罰函數(shù)與零權(quán)和無限權(quán)的思想獲得不等式約束平差的廣義最小二乘解，對于法方程系數(shù)矩陣存在的病態(tài)性，可以通過定義無限權(quán)P′來克服。無限權(quán)P′的數(shù)值大小由嶺跡法確定的嶺參數(shù)K通過迭代算法確定。

4 結(jié)束語

對于應(yīng)用參數(shù)先驗信息、在最小二乘準(zhǔn)則下建立的不等式約束平差，通過不等式增加對參數(shù)的約束、補(bǔ)充先驗信息，能夠克服平差模型廣義最小二乘解的不適定性。應(yīng)用嶺跡法確定嶺參數(shù)、通過迭代計算確定無限權(quán)的方法，能夠?qū)崿F(xiàn)病態(tài)模型的正則化。算例表明，應(yīng)用罰函數(shù)與零權(quán)和無限權(quán)的思想計算不等式約束平差模型的廣義最小二乘解，運用正則化算法，能夠克服法矩陣的病態(tài)性，得到收斂的參數(shù)解。

[1]Judge G G,Takayama.Inequality Restrictions in Regression Analysis[J].American Economic Review,1966,61:166-181

[2]Schaffrin B.Ausgleichung mit Bedingungs-ungleichungen[J].AVN,1981,88(6):227-238

[3]Koch K R,Riesmeier K.Bayesian Inference for the Derivation of Less Sensitive Hypothesis Tests[J].Journal of Geodesy,1985,59(2):167-179

[4]Remondi B W.Real-time Centimeter-accuracy GPS:Initializing While in Motion (Warm Start Versus Cold Start)[J].Navigation,1993,40(2):199-208

[5]Ueno M,Santerre R,Langelier D,et al.Improvement of GPS Ambiguity Resolution Using H-eight Constraint for the Support of Bathymetric Surveys[C]∥Proceedings of the IAIN/ION Conference. San Diego:[s.n.],2000:842-850

[6]Zhu J J,Santerre R,Chang Xiao-wen.A Bayesian Method for Linear Inequality Constrained A-djustment an Its Application to GPS Positioning[J].Journal of Geodesy,2005,78(9):528-534

[7]Peng J H,Zhang H P,Shong S L,et al.An Aggregate Constraint Method for Inequality-constraine-d Least Squares Problem[J].Journal of Geodesy,2006,79(12):705-713

[8]朱建軍，謝建．附不等式約束平差的一種簡單迭代算法[J]．測繪學(xué)報，2011，40(2)：209-212

[9]Tikhonov A N,Arsenin V Y.Solutions of III-Posed Problems[M].New York:Wiley,1977:89-95

[10]歐吉坤．測量平差中不適定問題解的統(tǒng)一表達(dá)與選權(quán)擬合法[J]．測繪學(xué)報，2004，33(4)：283-288

[11]王新洲．在無偏估計類中改進(jìn)最小二乘估計的方法[J]．武漢測繪科技大學(xué)學(xué)報，1995，20(1)：46-50

[12]沈云中，許厚澤．不適定方程正則化算法的譜分解式[J]．大地測量與地球動力學(xué)，2002，22(3)：10-14

[13]朱建軍，歐陽文森，文小岳．基于遺傳算法解決附有不等式約束的最小二乘平差問題的研究[J]．工程勘察，2006(3)：61-64

[13]宋迎春，左廷英，朱建軍．帶有線性不等式約束平差模型的算法研究[J]．測繪學(xué)報，2008，37(4)：433-437

[15]歐陽文森，朱建軍．經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展[J]．測繪學(xué)報，2009，38(1)：12-15

[16]楊元喜．自適應(yīng)抗差最小二乘估計[J]．測繪學(xué)報，1996，25(3)：206-211

[17]菜劍紅．一種新的點位誤差度量[J]．測繪學(xué)報，2009，38(3)：276-279

(責(zé)任編輯：汪材印)

2013-02-10

安徽省優(yōu)秀青年人才基金項目“皖西南地區(qū)滑坡動態(tài)變形數(shù)據(jù)處理模型及其穩(wěn)定性研究”(2013SQRL085ZD)；安徽省煤礦勘探工程技術(shù)研究中心平臺項目“地礦3維GIS模型的構(gòu)建及可視化、礦區(qū)CORS系統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型及其適用性研究”(2014YKF04、2014YKF08)；安徽省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項目“工礦區(qū)與高層建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)”(AH201310379047)。

楊娟(1984-)，女，江蘇徐州人，博士研究生，助教，主要研究方向：測量數(shù)值處理。

10.3969/j.issn.1673-2006.2014.07.027

P208

A

1673-2006(2014)07-0087-03