Savitzky-golay濾波在陀螺儀角加速度測(cè)量中的應(yīng)用

雷 陽，門義雙

（中國北方車輛研究所，北京 100072）

近年來，陀螺儀作為高精度伺服控制系統(tǒng)的反饋元件，用來反饋測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。但當(dāng)控制系統(tǒng)進(jìn)行高精度控制時(shí)，就需要測(cè)量反饋角加速度的數(shù)據(jù)值。目前，角加速度的測(cè)量方法有直接法和間接法兩種[1]。為了系統(tǒng)不增加傳感器，提高系統(tǒng)的可靠性，本文采用間接法，也就是利用系統(tǒng)原有的速率陀螺儀進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)采樣，采樣得到的數(shù)字角速度信號(hào)數(shù)據(jù)再進(jìn)行分析與微分處理來求得角加速度值。因此，對(duì)陀螺儀采集的速度數(shù)據(jù)處理是在實(shí)際工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)應(yīng)用中的一個(gè)重要的環(huán)節(jié)[2-3]。

然而，在震動(dòng)環(huán)境下工作的陀螺儀所采集到的數(shù)據(jù)中干擾信號(hào)量比較大，微分運(yùn)算對(duì)干擾量的放大嚴(yán)重影響了求解角加速度的準(zhǔn)確性。所以陀螺儀采集到的數(shù)據(jù)必須要經(jīng)過濾波處理才能微分求解。當(dāng)精度要求不高時(shí)，系統(tǒng)可應(yīng)用輸出量為模擬信號(hào)的陀螺儀，輸出的信號(hào)可以直接經(jīng)過電容等硬件濾波的方法進(jìn)行平滑處理。然而，隨著控制精度的提高，系統(tǒng)應(yīng)用于高精度的數(shù)字陀螺儀，尤其是光纖陀螺儀時(shí)，所輸出的數(shù)字信號(hào)就無法硬件濾波，必須進(jìn)行軟件數(shù)字濾波的處理。目前，通常采用一般軟件數(shù)字濾波方法，如算數(shù)平均濾波、限幅濾波、中值濾波和一階滯后濾波對(duì)其測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，但濾波效果不是很理想。通過對(duì)多種濾波的實(shí)際計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比研究，提出了一種應(yīng)用Savitzky-golay數(shù)值濾波來消除這些干擾信號(hào)的軟件數(shù)子濾波方法，很好地解決了這個(gè)問題。

1 一般數(shù)字濾波數(shù)據(jù)處理的局限性

1.1 陀螺儀速度信號(hào)的采集與加速度的計(jì)算

對(duì)于實(shí)時(shí)性要求很高的伺服運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)來說，需要每0.002 1 s采集一個(gè)速度信號(hào)值，來達(dá)到精確的位置控制，滿足高精度的要求。然而，根據(jù)所采集到的速度信號(hào)求其所對(duì)應(yīng)時(shí)刻的加速度值時(shí)，通常使用的是數(shù)值微分公式對(duì)實(shí)際測(cè)量到的原始速度數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。常用的數(shù)值微分公式有兩點(diǎn)數(shù)值微分公式和三點(diǎn)數(shù)值微分公式。由于三點(diǎn)數(shù)值微分公式相對(duì)誤差值小，因此使用三點(diǎn)數(shù)值微分公式對(duì)原始采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以得到相應(yīng)的加速度信號(hào)[4]。

1.2 一般數(shù)字濾波數(shù)據(jù)處理的局限性

在一般數(shù)據(jù)處理中，通過陀螺儀采樣得到速度信號(hào)的原始數(shù)據(jù)，通過三點(diǎn)數(shù)值微分公式計(jì)算得到相應(yīng)的加速度值，結(jié)果如圖1所示。

從圖1可以看出，用原始數(shù)據(jù)直接計(jì)算得到實(shí)時(shí)的加速度曲線出現(xiàn)了非常多的毛刺和跳躍。這是因?yàn)橥勇輧x是在振動(dòng)的環(huán)境下進(jìn)行速度數(shù)據(jù)采集的。這些振動(dòng)是難以避免的，這使得測(cè)量的數(shù)據(jù)偏移了實(shí)際數(shù)值。眾所周知，加速度是速度的一階導(dǎo)數(shù)，在采樣時(shí)間周期為0.002 1 s這樣非常小的數(shù)值時(shí)，對(duì)于速度的一個(gè)很小的擾動(dòng)，都會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)處理后的加速度數(shù)據(jù)產(chǎn)生很大的影響。從圖1（b）就可以看出，不經(jīng)過濾波處理計(jì)算得到的加速度曲線毛刺和跳躍很大，沒有數(shù)據(jù)分析的價(jià)值。

目前在工程中，一般數(shù)字濾波方法主要有算數(shù)平均濾波、限幅濾波、中值濾波和一階滯后濾波。分別運(yùn)用這四種方法，首先對(duì)陀螺儀采集到的速度信號(hào)進(jìn)行濾波，再應(yīng)用三點(diǎn)數(shù)值微分公式進(jìn)行加速度計(jì)算。正弦速度運(yùn)動(dòng)應(yīng)用四種不同濾波方法得到的加速度波形如圖2所示。其中，圖 2（a）為 5點(diǎn)求取平均值方法的算數(shù)平均濾波后求得的角加速度波形圖，圖2（b）為最大偏差值為0.02方法的限幅濾波后求得的角加速度波形圖，圖2（c）為連續(xù)采樣5次方法的中值濾波后求得的角加速度波形圖，圖 2（d）為濾波參數(shù) a=0.2方法的一階滯后濾波后求得的角加速度波形圖。

從圖2可以看出，算數(shù)平均濾波的方法較原始數(shù)據(jù)所求得角加速度的曲線圖有所平滑，但是角加速度曲線的跳躍仍然很大，取得的效果不理想，而且降低了精度；限幅濾波的方法與中值濾波的方法應(yīng)用效果不明顯，毛刺以及跳躍均很大，數(shù)據(jù)分析價(jià)值不大；一階滯后濾波的方法，雖然使角加速度的波形有所平滑，但由于濾波本身方法的限制，產(chǎn)生了相位的滯后，與系統(tǒng)其他數(shù)據(jù)時(shí)域相結(jié)合分析時(shí)造成了困難，不利于進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析。

圖2 濾波后微分得到的的角加速度曲線

綜上所述，由于一般數(shù)字濾波數(shù)據(jù)處理中存在局限性，不能滿足陀螺儀采集數(shù)據(jù)處理的要求。

2 基于Savitzky-golay濾波的數(shù)字濾波方法的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

2.1 Savitzky-golay濾波原理[5-6]

SG濾波算法的主要思想是：通過取采集數(shù)據(jù)點(diǎn)xi附近固定個(gè)數(shù)的點(diǎn)擬合一個(gè)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式在xi的值就給出了它的光滑數(shù)值 gi（gi∈G所求光滑數(shù)值矩陣）[7]。

以nl表示xi左邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)；以nr表示xi右邊的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；pi（x）表示相對(duì)于點(diǎn) xi的一個(gè) M次多項(xiàng)式，用它在最小二乘意義下擬合這nl+nr+1個(gè)點(diǎn)。因此：

根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù) yi擬合 M次多項(xiàng)式 pi（x），可寫成：

假設(shè)橫坐標(biāo)xi具有xi+1-xi≡△x的均勻間距，為在最小二乘意義下用 pi（x）擬合測(cè)試數(shù)據(jù)，必須準(zhǔn)確確定系數(shù) bk，使得：

分別定義矩陣A、B和Y：

利用這些定義，就可以用矩陣形式進(jìn)行表述此問題：

為求解 B，使得式（4）達(dá)到最優(yōu)，令 AB=Y，左乘 AT方程變?yōu)椋?/p>

根據(jù)式（5），則可以進(jìn)一步求得：

因此，可得到矩陣 Y=A（ATA）-1ATY，則所求得光滑數(shù)值為

2.2 基于Savitzky-golay濾波的數(shù)字濾波方法的實(shí)現(xiàn)

通過濾波原理，可得出 nl和 nr越大，曲線的平滑性越好，不過這是以犧牲曲線特性為代價(jià)的；相反，M的取值越大，曲線特性失真率越低，但使得數(shù)據(jù)低頻部分的平滑度降低，計(jì)算量也變大[8]。

本文通過對(duì)多組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行多個(gè)不同濾波參數(shù)處理后的綜合比較，在滿足確定失真率不大的情況下，盡可能地增加平滑性，最后選擇出了所采用nl=nr=15、M=3的濾波參數(shù)。應(yīng)用此參數(shù)，對(duì)陀螺儀采集的速度信號(hào)進(jìn)行濾波，經(jīng)過濾波后的波形以及濾波后求得的角加速度的波形圖如圖3所示。

圖3 Savitzky-golay濾波后求得的角加速度的波形圖

下面選擇采取 SSE（誤差平方和）和 RMSE（標(biāo)準(zhǔn)差）的技術(shù)指標(biāo)來評(píng)價(jià)在正弦速度運(yùn)動(dòng)的采集信號(hào)經(jīng)不同種濾波方法處理后的濾波效果，如表1所示。

從圖3、表1可以看出，原始數(shù)據(jù)經(jīng)過Savitzky-golay濾波后數(shù)據(jù)得到了平滑，SSE值和RMSE值也越接近于0，有效地消除了毛刺，較好地保證了經(jīng)過濾波后速度信號(hào)數(shù)據(jù)，并且依舊保留了信號(hào)的主要特征，消除了干擾信號(hào)。這樣，對(duì)濾波后的速度信號(hào)再進(jìn)行數(shù)據(jù)微分處理，得到的加速度曲線基本上消除了毛刺以及各種跳躍，而且沒有時(shí)間滯后現(xiàn)象的發(fā)生，有利于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步處理，進(jìn)而為設(shè)計(jì)高精度的控制系統(tǒng)提供了依據(jù)。

本文針對(duì)陀螺儀采集到的速度數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行微分處理中遇到的問題，進(jìn)行了采用不同濾波方法的分析與研究。提出了將Savitzky-golay濾波方法應(yīng)用到此數(shù)據(jù)處理中，發(fā)現(xiàn)Savitzky-golay濾波方法在進(jìn)行陀螺儀速度信號(hào)處理方面取得了較好的效果，而且此濾波方法是一種不受原始數(shù)據(jù)本身限制的低通平滑濾波算法，并不需計(jì)算濾波的截止頻率。最后通過實(shí)際計(jì)算得到的濾波后的速度波形和加速度波形可以看出，Savitzsky-golay濾波方法較工程上的傳統(tǒng)濾波方法在去噪效果和數(shù)據(jù)微分方面有了一定程度的改進(jìn)。

表1 濾波效果對(duì)比

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