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    有限群的弱s-半置換子群

    2014-08-15 00:45:30楊立英丁立旺
    關(guān)鍵詞:反例子群小子

    楊立英, 鐘 國, 丁立旺, 周 洋

    (1.廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530023;2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 南寧 530003)

    在群論中,若群G的子群H與G的每個子群可交換,則稱H是G的置換子群.許多群論研究者探討了置換子群的性質(zhì).例如,1939年,Ore[1]證明了有限群的每個置換子群都是次正規(guī)子群.1962年,Ito[2]證明了無核置換子群必為冪零群.隨后,Kegel[3]給出了s-置換子群的定義:稱有限群G的子群H在G中s-置換,如果H與G的每個Sylow子群可交換.進(jìn)一步地,陳重穆[4]引入了s-半置換子群的概念:稱有限群G的子群H在G中s-半置換,若對任意的,只要(p,|H|)=1,就有 PH=HP,其中P∈Sylp(G).利用子群的s-半置換性,群論研究者獲得了有限群理論的一系列有意義地重要結(jié)果.2012年,李樣明,喬守紅等[5]引入了弱s-半置換子群的概念,從而統(tǒng)一推廣了正規(guī)子群、置換子群、s-置換子群、c-正規(guī)子群以及弱s-置換子群等諸多概念.本文將進(jìn)一步研究弱s-半置換子群對有限群結(jié)構(gòu)的影響,獲得了一些p-冪零性的充分條件.文中所有群皆為有限群,G總表示一個有限群,其它符號和術(shù)語請參閱文獻(xiàn)[11].

    1 定義與引理

    定義1[5]設(shè)H是G的子群.稱H為G的弱s-半置換子群,若有包含在H中的G的一個s-半置換子群HssG以及G的次正規(guī)子群T使得G=HT且 H∩T≤HssG.

    文獻(xiàn)[5]給出了具體的例子說明弱s-半置換子群分別是正規(guī)子群、置換子群、s-置換子群和c-正規(guī)子群的真推廣.

    引理1[6]設(shè) P 是 G 的 p-子群,其中 p∈π(G).則P在G中s-置換當(dāng)且僅當(dāng)NG(P)≥Op(G).

    引理2[5]設(shè)G是群為G的弱s-半置換子群,則

    1)若H≤M≤G,則H在M中弱s-半置換;

    2)若 H為 G的 p-子群且N≤H,則 H/N在G/N中弱s-半置換;

    3)若H是 G的 p-子群且(|H|,|N|)=1,則HN/N在G/N中弱s-半置換.

    引理3[7]設(shè)F是一個子群閉的局部群系且H≤G,則 H∩ZF(G)?ZF(H).

    引理4[8]設(shè)A為G的次正規(guī)子群.若A為G的Hall子群,則A在G中正規(guī).

    引理5[9]設(shè)G為群,P為G的Sylow p-子群且素?cái)?shù)p滿足若P的任一極大子群在G中弱s-置換,則G為p-冪零.

    引理6[10]設(shè) G 為群,若,則 Φ(H)≤Φ(G).特別地

    引理7[11]設(shè) p為整除的最小素因子,P∈Sylp(G)且P循環(huán),則G有正規(guī)p-補(bǔ)充.

    引理8[12]設(shè)G為非p-冪零群但它的每一個真子群都是p-冪零的,那么G本身非冪零但它的每一個真子群都為冪零群.

    引理9[12]設(shè)G為非冪零群但它的每一個真子群都是冪零群,則:

    2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

    3)如果P非交換且p≠2,則expP=p;

    4)如果P非交換且p=2,則expP=4;

    5)如果P交換,則P的方次數(shù)為p.

    引理10[13]設(shè)P為群G的初等交換p-群并且,這里n≥2.則下面陳述是等價(jià)的.

    1)P中的p階極小子群為G的正規(guī)子群;

    2)P中的極大子群為G的正規(guī)子群.

    引理11[14]設(shè)G是一個群,p為的素因子且有若存在G的一個正規(guī)子群N,使得G/N為p-冪零且,則 G 為 p-冪零.

    引理12[5]設(shè)G是群,若H為G的s-半置換子群且H≤Op(G),則H在G中s-置換.

    2 主要結(jié)果

    證明假設(shè)結(jié)論不真,設(shè)G為極小階反例.

    1)G為內(nèi)p-冪零群

    設(shè)T為 G的任意一個真子群,易得到T/T∩N?TN/N≤G/N,從而 T/T∩N為 p-冪零.設(shè)(T∩N)p∈Sylp(T∩N),則(T∩N)p≤Np.由假設(shè)知,若(T∩N)p中的任一極小子群A在G中弱s-半置換,由引理2的1)知:A在T中弱s-半置換,又NT(A)=NG(A)∩T≤NG(A)為p-冪零.所以,G的真子群T滿足定理假設(shè),G的極小性選擇意味著T為p-冪零.也就得到了,非p-冪零群G的任意一個真子群為p-冪零,現(xiàn)可知G為內(nèi)p-冪零群.由引理8知G為內(nèi)冪零群,由引理9知G=PQ,其中P為G的正規(guī)Sylow p-子群,Q為G的非正規(guī)循環(huán)Sylow q-子群,且p≠q.

    2)導(dǎo)出矛盾

    設(shè)Np為N的Sylow p-子群,由假設(shè)Np的任意一個極小子群A在G中弱s-半置換,則存在T??G和包含在A中的G的一個s-半置換子群AssG使得G=AT且A∩T≤AssG.若 T<G,則由1)以及引理8知T冪零,既 T=Tp×Tp',其中 Tp'為 T的 p'-Hall子群,也為G的p'-Hall子群,由Tp'char T??G得Tp'??G.又由引理4可得,于是G為p-冪零,矛盾.所以,T=G.又有 AssG≥T∩A=G∩A=A,可得AssG=A為G的s-半置換子群,由1)知P正規(guī)于G,從而有A≤Op(G)=P,再由引理12知A在G中s-置換.再由引理1知Op(G)≤NG(A)為p-冪零,得Op(G)為p-冪零,而Op(G)的正規(guī)p-補(bǔ)也是G的正規(guī)p-補(bǔ),即得G為p-冪零,矛盾.所以,極小階反例不存在,G為p-冪零.

    推論1設(shè)G是群,p為G的任意Sylow p-子群,p為整除的素因子.若P的每個極小子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零,則G為p-冪零.

    推論2設(shè)G是群,p為G的任意Sylow p-子群,p為整除的素因子.若P∩GF的每個極小子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零,則G為p-冪零.這里,F(xiàn)是所有p-冪零群組成的群類.

    定理2設(shè)G是群,p為整除的素因子且如果存在一個正規(guī)子群N使得G/N為p-冪零且N的每個p2階子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零,則G為p-冪零.

    證明假設(shè)結(jié)論不真,設(shè)G為極小階反例.

    1)G為內(nèi)p-冪零群

    2)導(dǎo)出矛盾

    推論3設(shè)G是群,p為整除的素因子且如果G的每個p2階子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零,則G為p-冪零.

    推論4設(shè)G是群,p為整除的素因子且如果GF的每個p2階子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零,則G為p-冪零.這里,F(xiàn)是所有p-冪零群組成的群類.

    定理3設(shè)G是群,p為整除的素因子.若有正規(guī)子群N使得G/N為p-冪零群,N的所有4階循環(huán)子群A在G中弱s-半置換并滿足NG(A)為p-冪零且N的每個p-階子群包含在ZF(G)中,則G為p-冪零.這里,F(xiàn)是所有p-冪零群組成的群類.

    證明假設(shè)結(jié)論不真,設(shè)G為極小階反例.

    1)G為內(nèi)p-冪零群

    設(shè)T為 G的任意一個真子群,易得到T/T∩N?TN/N≤G/N,從而 T/T∩N為 p-冪零.由引理2的1)知,T∩N的每個4階循環(huán)子群A在T中弱s-半置換,又NT(A)=NG(A)∩T≤NG(A)為p-冪零.利用引理3知T∩ZF(G)?ZF(T).也就是,T∩N的所有p階子群在ZF(T)中.于是,T滿足定理?xiàng)l件,根據(jù)G的極小性可推得T為p-冪零群.現(xiàn)在知道非p-冪零群G的任一真子群為p-冪零,從而可知G為內(nèi)p-冪零群,根據(jù)引理8知G為內(nèi)冪零.由引理9知G=PQ,其中P為G的正規(guī)Sylow p-子群,Q為G的非正規(guī)循環(huán)Sylow q-子群,且p≠q;P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群.

    2)導(dǎo)出矛盾

    由1)知,G的Sylow p-子群P?G.分情況進(jìn)行討論:

    ①若P交換,則由引理9知expP=p,可知P為初等交換p-群,則Φ(P)=1,進(jìn)一步P?P/Φ(P)為G?G/Φ(P)的極小正規(guī)子群.易得到P∩N?G,則P∩N=1或 P∩N=P.如果 P∩N=1,則的一個子群,意味著G為p-冪零,矛盾.如果P∩N=P即P≤N,又由假設(shè)可知N的每個p階子群包含在G的p-冪零超中心ZF(G)中,從而P也包含在G的p-冪零超中心ZF(G)中,故G為p-冪零,矛盾.

    ②若P非交換且p≠2,易得到P∩N?G和(P∩N)Φ(P)/Φ(P)?G/Φ(P),則(P∩N)Φ(P)=Φ(P)或(P∩N)Φ(P)=P.如果(P∩N)Φ(P)=Φ(P),也就是P∩N≤(P),因?yàn)?,可得G/P∩N為p-冪零.由G/Φ(P)?G/(P∩N)/Φ(P)/(P∩N)得G/Φ(P)為p-冪零.根據(jù)P?G以及引理6知Φ(P)≤Φ(G),故G/Φ(G)?G/Φ(P)/Φ(G)/Φ(P)為p-冪零,可得G 為p-冪零,矛盾.如果(P∩N)Φ(P)=P,也就是P∩N=P,得到P≤N.用類似于1)的討論可得G為p-冪零,矛盾.

    ③若P非交換且p=2,設(shè)A為N的任意4階循環(huán)子群.由假設(shè)得A在G中弱s-半置換,則存在T??G和包含在A中的G的一個s-半置換子群AssG使得G=AT且A∩T≤AssG.若 T<G,則由1)以及引理8知T冪零,即 T=Tp×Tp',其中 Tp'為 T的p'-Hall子群,也為G的p'-Hall子群,由Tp'char T??G得Tp'??G.又可根據(jù)引理4,可得即G為p-冪零,矛盾.所以T=G.另一方面AssG≥T∩A=G∩A=A,可得AssG=A為G的s-半置換子群,由1)知P正規(guī)于G,從而有A≤Op(G)=P,可由引理12知A在G中s-置換.再由引理1知Op(G)≤NG(A)為p-冪零,得Op(G)為p-冪零,而Op(G)的正規(guī)p-補(bǔ)也是G的正規(guī)p-補(bǔ),即得G為p-冪零,矛盾.所以,極小階反例不存在,G為p-冪零.

    定理4設(shè)G為群,P∈Sylp(G)且P交換.對于素?cái)?shù)p是滿足的.如果P的任一極小子群為G的弱s-半置換子群,那么G為p-冪零.

    證明假設(shè)結(jié)論不真,設(shè)G為極小階反例.

    1)G為內(nèi)p-冪零群

    2)P為初等交換p-群

    3)導(dǎo)出矛盾

    任取一個P的極小子群A,由假設(shè)可以知道A在G中弱s-半置換,則存在T??G和包含在A中的G的一個s-半置換子群AssG使得 G=AT且A∩T≤AssG.

    分兩種情況進(jìn)行討論:

    ①若A∩T=1,則T<G.由1)得 T為冪零,即T=Tp× Tp',其中 Tp∈Sylp(T),Tp'為 T 的 p'-Hall子群,也為G的p'-Hall子群.由Tp'char T??G得Tp'??G,由引理4,即 Tp'為 G的正規(guī) p-補(bǔ),從而得G為p-冪零,矛盾.

    ②若A∩T≠1.AssG≥A∩T=A,A為G 的 s-半置換子群.類似地,可得A為G的s-置換子群,再由引理1知Op(G)≤NG(A).又因P是交換的,則于是,G的Sylow p-子群P的每個極小子群A為G的正規(guī)子群,利用2)和引理10可以推得P的每個極大子群P0也是G的正規(guī)子群,特別地有P0為的G弱s-置換子群,再利用引理5可得G為p-冪零,矛盾.所以,極小階反例不存在,G為p-冪零.

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