結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計的證據(jù)理論和微分演化方法＊

唐和生，蘇 瑜，薛松濤，鄧立新

（1.同濟大學 結(jié)構(gòu)工程與防災研究所，上海 200092；2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092）

基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計是不確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的有效途徑.傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計常采用概率模型，但概率方法需要足夠的統(tǒng)計數(shù)據(jù)信息來擬合其概率特征，而實際工程中這些數(shù)據(jù)通常是無法準確獲知的，所以傳統(tǒng)概率方法面臨巨大的挑戰(zhàn).

近年來，國內(nèi)外很多學者致力于發(fā)展非概率的不確定建模手段，并在其基礎(chǔ)上提出非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計方法，其中由 Dempster[1]和Shafer[2]提出的證據(jù)理論具有較強的不確定處理能力，已經(jīng)成為不確定信息表達和量化的有力工具，在多目標識別、信息融合、多屬性決策等領(lǐng)域獲得了廣泛應用[3－6].而基于證據(jù)理論的工程可靠性優(yōu)化分析剛剛起步，并且主要應用于機械與航空領(lǐng)域.Mourelatos等[7]將證據(jù)理論應用于內(nèi)壓容器可靠性優(yōu)化設(shè)計中，研究了基于證據(jù)理論的失效概率或可靠度指標的計算問題.Bae等[8]運用證據(jù)理論解決機械工程中的不確定問題，實現(xiàn)了飛機機翼結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計.郭慧昕等[9－11]提出了證據(jù)理論和區(qū)間分析相結(jié)合的可靠度優(yōu)化設(shè)計方法，將此應用于內(nèi)壓容器和氣門彈簧的可靠性研究中.盡管已經(jīng)取得了一些進展，但是證據(jù)理論仍然很少應用于實際工程的可靠性優(yōu)化問題中，計算成本是導致該問題的主要原因.同時，基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計在土木工程中的應用還是一個新課題.

為此，本文采用證據(jù)理論處理不確定情況，引入微分演化算法降低證據(jù)理論在可靠性優(yōu)化中的計算成本，提出了證據(jù)理論和微分演化算法相結(jié)合的可靠性優(yōu)化設(shè)計方法，并將該方法應用于桁架結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化問題中，來驗證本文所提方法的有效性.

1 證據(jù)理論的基本原理

證據(jù)理論是由Dempster和Shafer提出的，又稱為D－S理論.它是建立在辨識框架上的一種不確定理論，設(shè)Θ為辨識框架，它表示關(guān)于命題互不相容的所有可能答案的有限集合，類似于概率論中有限的樣本空間，冪集2Θ定義為辨識框架Θ中所有子集的集合，證據(jù)理論是對冪集元素進行基本概率賦值[12].定義函數(shù)m：2Θ→[0，1]，?A?Θ.當滿足：

稱m為框架Θ上的基本信任分配函數(shù)（BBA），m（A）為A的基本信任度，表示證據(jù)對A的信任程度，若m（A）＞0，則稱A為焦元.

若m為框架Θ上的基本信任分配函數(shù)，則稱由

所定義的函數(shù)Bel：2Θ→[0，1]為Θ上的信任函數(shù)，函數(shù)Pl：2Θ→[0，1]為Θ上的似然函數(shù)，Bel（A）表示對A為真的信任程度，Pl（A）表示對A為非假的信任程度，也稱為命題A的似然度，兩者之間的關(guān)系如圖1所示，Bel（A）和Pl（A）提供了概率P（A）的上限和下限.由此可見，以概率論為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)可靠性問題只是證據(jù)理論的一個特例.

圖1 對命題A的不確定描述Fig.1 Uncertainty representation of proposition A

對于認識不夠透徹的不確定參數(shù)，可能會有多個專家提出不同的理論或不同的數(shù)據(jù)來組成多源證據(jù)，證據(jù)理論可以通過合成規(guī)則綜合考慮各種證據(jù)源的影響.經(jīng)典的D－S合成規(guī)則為：假定m1和m2是同一辨識框架Θ上的2個基本信任分配函數(shù)，焦元分別為Ai和Bj，則新的基本信任分配函數(shù)m為：

2 證據(jù)理論和微分演化算法相結(jié)合的可靠性優(yōu)化設(shè)計方法

2.1 基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計模型

一般來說，基于概率理論的可靠性優(yōu)化問題可表述為：

式中：x＝[x1，x2，…，xn]T為n維不確定性量，分別服從一定的概率分布，[xL，xU]為不確定量x的名義值xN的取值區(qū)間；d＝[d1，d2，…，dm]T為m維確定性量，[dL，dU]為d的取值區(qū)間；F和g分別為目標函數(shù)和約束函數(shù)；g（x，d）＞g0表示結(jié)構(gòu)發(fā)生失效，g（x，d）＜g0表示結(jié)構(gòu)安全，g0為許可的響應值；k為約束條件的數(shù)目；P｛｝表示真實概率；Pf和R分別為結(jié)構(gòu)設(shè)計給定的失效概率和可靠度許用值.

當問題中不確定量的認識信息較少或不完整時，上述優(yōu)化模型中的約束條件不能采用概率理論來建立，此時，可以利用證據(jù)理論的不確定建模手段解決這一問題.如圖1所示，證據(jù)理論用似然函數(shù)和信任函數(shù)來進行不確定性度量，可以證明[Bel，Pl]是真實概率的區(qū)間估計，真實的失效概率或可靠度夾逼在該區(qū)間內(nèi)：

由此，將Pl｛gj（x，d）＞g0｝＜pf或Bel｛gj（x，d）＜g0｝＞R作為傳統(tǒng)可靠性約束條件的替代模型，建立基于證據(jù)理論的廣義可靠度優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型：

模型中Pl｛gj（x，d）＞g0｝或Bel｛gj（x，d）＜g0｝是進行非概率可靠性分析的前提，由于結(jié)構(gòu)失效占整個設(shè)計空間的比例較小，故以Pl｛gj（x，d）＞g0｝＜pf作為約束條件可以提高優(yōu)化效率，下面就Pl｛gj（x，d）＞g0｝的計算進行詳細闡述.

2.2 基于微分演化方法的失效似然度計算

對于結(jié)構(gòu)分析中出現(xiàn)的不確定量，證據(jù)理論將其表述為區(qū)間數(shù).在計算結(jié)構(gòu)失效似然度時，首先根據(jù)不確定量的可能取值范圍，將其劃分為有限個互不相容的基本區(qū)間作為辨識框架.以圖2為例，不確定量x1的辨識框架X1＝｛x11，x12，x13｝，冪集2X1＝｛Ф，｛x11｝，｛x12｝，｛x13｝，｛x11，x12｝，｛x11，x13｝，｛x12，x13｝，X1｝，基于證據(jù)（專家意見或?qū)崪y數(shù)據(jù)）分析，對冪集中的焦元進行基本信任度賦值，得到x1的基本信任分配函數(shù)m.

圖2 不確定參數(shù)基本區(qū)間Fig.2 Basic intervals of uncertainty parameter

然后，對每個不確定變量的焦元進行笛卡爾運算，得到聯(lián)合焦元區(qū)間，以二維不確定參數(shù)為例：

式中：x1m，x2n和ck分別為X1，X2和C的焦元區(qū)間.考慮到x1和x2的獨立性，二維聯(lián)合焦元的基本信任度m（ck）＝m（x1m）m（x2n）.

由于x1m和x2n都是區(qū)間，焦元ck在集合上為一矩形，顯然，對于n維問題，聯(lián)合辨識框架中的焦元為n維“超立方體”.令y（x，d）表示結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，結(jié)構(gòu)失效域F為：

在聯(lián)合BBA和失效域F的基礎(chǔ)上，可根據(jù)式（2）和式（3）計算結(jié)構(gòu)失效測度Bel（F）和Pl（F）為：

可見，在計算失效測度時需要確定聯(lián)合焦元ck是否滿足ck?F或ck∩F≠?，圖3描述了ck對Bel（F）和Pl（F）的貢獻.從圖3可以看出：1）若ymax＞0，ymin＞0，則ck∩F＝?，ck對Pl（F）和Bel（F）沒有貢獻，即ck不參與Pl（F）和Bel（F）的計算.2）若ymax＜0，ymin＜0，則ck∩F＝ck，ck對Pl（F）和Bel（F）的計算都有貢獻.3）若ymax＞0，ymin＜0，ck僅對Pl（F）有貢獻.

圖3 焦元區(qū)間對失效似然度的貢獻Fig.3 Focal element contribution to plausibility of the failure region

因此，為準確判斷，需要求解y（x，d）在ck對應的“超立方體”域上的極值，即

求解式（11）中區(qū)間極值的主要方法有采樣法和優(yōu)化方法，采樣法的精度很大程度上取決于采樣點數(shù)目，計算代價巨大.優(yōu)化方法會極大降低計算量，但由于不確定量x的焦元區(qū)間數(shù)目多，而且結(jié)構(gòu)響應并不是簡單的顯式而是通過有限元分析得到的，故利用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法求解復雜多維非凸的極限狀態(tài)函數(shù)y（x，d）在ck上的極值顯得非常困難.

近年來仿生智能優(yōu)化算法被廣泛引入到結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，例如模擬退火法（SA）[14]、遺傳算法（GA）[15]、微分演化法（DE）[16]等，其中DE是一種新穎的啟發(fā)式智能算法，采用變異、交叉和選擇3項基本操作，通過若干代種群演化操作不斷舍棄劣質(zhì)解，保留優(yōu)質(zhì)解，最終獲取近似全局最優(yōu)解.研究表明，微分演化算法在求解非凸、多峰、非線性優(yōu)化問題中表現(xiàn)出較強的穩(wěn)健性，同時具有收斂較快的優(yōu)點[17].因此，本文采用DE提高y（x，d）區(qū)間極值的求解速度，如圖4所示，從而減少優(yōu)化設(shè)計的計算成本.

圖4 區(qū)間函數(shù)極值求解Fig.4 Interval optimization for computing bounds

根據(jù)以上描述，基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計是利用微分演化算法在滿足可靠性約束Pl｛g（x，d）＞g0｝＜pf的條件下，尋求結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計變量和最優(yōu)目標值.同時，基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)約束失效似然度又是通過微分演化算法來提高其計算效率的，可靠性約束條件的計算流程如圖5所示.

圖5 可靠性約束計算流程Fig.5 Flowchart of calculation of reliability constraint

3 算例分析

為了便于比較，取文獻[18]中的25桿桁架形狀優(yōu)化進行討論，結(jié)構(gòu)形式見圖6，彈性模量名義值E＝68 950MPa，作用于桁架上的荷載名義值列于表1，容許拉壓應力[σ]＝±275.6MPa，各節(jié)點三向允許的最大位移為8.89mm.其他參數(shù)見文獻[18].

圖6 25桿空間桁架結(jié)構(gòu)Fig.6 25bar space truss structure

表1 25桿桁架節(jié)點荷載名義值Tab.1 Normal value of joint load for 25－bar truss

文獻[18]對該桁架進行了確定性優(yōu)化，本文在此基礎(chǔ)上考慮不確定情況，將外荷載和彈性模量視為不確定的，假定其不確定信息（焦元區(qū)間及基本信任度）如表2所示，在2種不確定因素存在的情況下，進行既滿足可靠度約束條件又使結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最小的最優(yōu)設(shè)計，該不確定優(yōu)化問題的數(shù)學模型為：

式中：d為尺寸和形狀設(shè)計變量；x為不確定參數(shù)；Pl｛gi（x，d）＜0｝＜Pf為約束條件；g1和g2分別表示應力和位移極限狀態(tài)函數(shù)；σk為第k組桿件的應力值；ujl為特定節(jié)點j在給定方向l上的位移值.

考慮結(jié)構(gòu)允許的失效概率Pf為0.05和0.1二種情況，采用本文所提方法對25桿桁架進行可靠性形狀優(yōu)化.Pf＝0.05情況的評價函數(shù)收斂曲線和最終形狀分別見圖7和圖8.圖9給出最優(yōu)設(shè)計時位移約束函數(shù)g2（x，d）的信任度和似然度累計分布曲線.為了與文獻[18]的確定性形狀優(yōu)化結(jié)果相比較，根據(jù)圖9，表3詳細列出了應力和位移約束失效似然度.

表2 外荷載和彈性模量的不確定信息Tab.2 The uncertain information of load and elastic modulus

圖7 25桿桁架形狀優(yōu)化的收斂曲線Fig.7 Shape optimization convergence history of 25－bar truss

圖8 25桿桁架的形狀優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Optimum shape of 25－bar truss

圖9 位移約束的信任度和似然度累積分布Fig.9 Cumulative belief and plausibility distribution for displacement constraint

由圖7可知，該算法具有很高的計算效率，25桿桁架形狀的優(yōu)化計算在迭代大約100次后已經(jīng)收斂.從圖9和表3可以看出，在Pf＝0.1和Pf＝0.05兩種情況下，位移約束失效概率[P（g2＜0）]的不確定區(qū)間[Bel，Pl]分別為[0，0.066]和[0，0.036]，失效似然度即概率上界均小于相應的失效概率許用值，滿足設(shè)計可靠度的要求.由表3可知，由于考慮不確定性的存在，基于D－S可靠性優(yōu)化結(jié)果總質(zhì)量要比確定性優(yōu)化結(jié)果有所增加，但是從失效似然度來看，前者的可靠性（93.4%，96.4%）要明顯高于后者（5%）.由此可見，對不確定量的認識信息較少，無法采用概率理論時，證據(jù)理論以區(qū)間測度[Bel，Pl]代替?zhèn)鹘y(tǒng)概率單值來描述這種認知不確定顯得更為合理.由于基于D－S的可靠性優(yōu)化將使結(jié)構(gòu)具有良好的魯棒性，有效避免由于錯誤估計而造成優(yōu)化結(jié)果的偏差.

表3 25桿空間桁架形狀優(yōu)化結(jié)果比較Tab.3 Comparison of optimal designs for the 25－bar truss

4 結(jié) 論

可靠性優(yōu)化設(shè)計中，由于不確定信息較少無法構(gòu)造精確概率分布時，證據(jù)理論代替?zhèn)鹘y(tǒng)的概率理論進行不確定信息描述是一種理想的選擇.該方法用不確定區(qū)間測度[Bel，Pl]代替不可知的真實概率來處理不完備的數(shù)據(jù)信息，以Pl（F）＜Pf作為概率可靠性約束條件的替代模型，本文同時引入微分演化算法提高求解聯(lián)合焦元內(nèi)反應區(qū)間極值的計算效率以及可靠性優(yōu)化的尋優(yōu)速度，降低證據(jù)理論在可靠性優(yōu)化中的計算成本.

本文以25桿桁架形狀優(yōu)化為例，在考慮荷載和彈性模量均為不確定的情況下，基于D－S進行可靠性優(yōu)化設(shè)計得到了很好的結(jié)果.分析結(jié)果表明，本文所提方法在實際工程中具有一定的應用前景.

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