隨機波浪聯(lián)合分布概率模型

郄祿文，張立丹，蔣學煉

(1.河北大學 建筑工程學院，河北 保定 071002；2.天津城建大學 土木工程系，天津 300384)

波浪力是防波堤最重要的外部荷載.文獻[1]通過規(guī)定"波列累積頻率"來反映不同類型建筑物上波浪力的作用性質.從表1可看出，因為波列中個別大波很可能造成直立結構的破壞，且修復困難，因此直立結構采用較小累積頻率，而波列中個別大波并不能決定斜坡結構的毀壞，且較易修復，故可采用較大累積頻率.

文獻[1]中也提出了波浪長期分布推演方法，即基于波浪觀測或氣象圖推算得到的波浪數(shù)據(jù)分波向統(tǒng)計其波高或周期頻率，再利用Pearson-III型、對數(shù)正態(tài)型、極值I型、Weibull型等理論累積頻率分布對經(jīng)驗累積頻率曲線擬合外延.

但上述方法獲得的波高、周期為離散值，無法清晰表征出兩者之間內含的物理關系(在一定水深處，波高、周期之間存在波陡的約束)，且無法滿足風險評估工作中對波浪要素連續(xù)型聯(lián)合概率分布的要求.因此，本文基于文獻[2]和[3]的理論對該問題進行探討，以提供便于概率積分求解的波高、周期、波向聯(lián)合概率分布函數(shù).

表1 設計波高的累積頻率標準

1 波浪氣候綜合模式

依照NMIMET模式[2]中，首先分波向對波浪實測數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，獲得給定波向下的波高與周期的聯(lián)合概率分布F(H,T)=F(T|H)F(H)，然后加入波向要素以獲得三者的聯(lián)合分布F(H,T,D)=F(H,T|D)F(D).由于實際海況的隨機三維性，實時觀測的波向與相應的波高周期數(shù)據(jù)往往不匹配，具有很大的波動性，考慮到極值統(tǒng)計針對大浪，其主波向通常與對應風向偏差很小，因此本文采用分風向代替分波向進行統(tǒng)計分析.需要說明的是，本文提到的波浪周期均為平均跨零周期Tz，以下簡稱周期(T).

1.1 指定波向的波高極值分布

文獻[1]建議利用Pearson-III型、對數(shù)正態(tài)型、極值I型、Weibull型等理論概型擬合經(jīng)驗累積頻率曲線以獲得波高長期分布.但文獻[4]認為真實海況為風浪涌浪并存的混合浪，上述方法存在較大誤差，并建議可借助風速-波高參數(shù)化模式推導出波高長期分布，如下.

1)風速-波高聯(lián)合分布密度

f(H,Wr)=f(H|Wr)f(Wr)，

(1)

其中，H為波高，Wr為特征風速，f(Wr)為特征風速的概率密度，f(H|Wr)為指定特征風速Wr下波高H的條件概率密度.

公式(1)的建立基于如下前提：

①指定特征風速Wr對應的波高Hr為合成浪(風浪+涌浪)，即

(2)

其中，HY代表Wr=0時的平均涌浪波高，a,n為風成浪的波高參數(shù)[5].

②給定風速下的波高標準差

(3)

其中，b,c,d為根據(jù)實測數(shù)據(jù)擬合出的參數(shù)[5].

③給定風速下的波高條件分布密度為伽馬分布，即

(4)

由式(4)得到f(H|Wr)后，根據(jù)概率學理論，通過積分即可求得波高的邊緣分布

F(H)=?f(H|Wr)f(Wr)dHdWr.

(5)

2)波高長期概率分布

由公式(5)獲得波高邊緣分布F(H)后，可引入理論概型進行外延擬合.由于理論概型對波高長期分布影響很大，故應嘗試多種概型，擇優(yōu)選用.工程中常用概型如下：

①對數(shù)正態(tài)分布

(6)

其中，μh和σh分別是lnH的平均值和標準差.

②Weibull分布

(7)

其中，A為位置參數(shù)；B為比例尺參數(shù)；C為形狀參數(shù).

③極值-I型分布

F(H)=exp(-exp(-(H-A)/B))，

(8)

其中，A為位置參數(shù)；B為比例尺參數(shù).

④極值-II型分布

(9)

其中，A為位置參數(shù)；B為比例尺參數(shù)；C為形狀參數(shù).

⑤伽馬分布(Pearson-III型曲線)

(10)

其中，A為位置參數(shù)；B為比例尺參數(shù)；C為形狀參數(shù).

⑥廣義伽馬分布

(11)

其中，A為位置參數(shù)；B為比例尺參數(shù)；C為形狀參數(shù)，D為指數(shù)參數(shù).

外延擬合過程中，適線法、矩法、概率權重矩法、權函數(shù)法及模糊數(shù)學法等常用參數(shù)估計方法存在計算過程復雜、需人為調整等問題.文獻[6]所提出的多變量優(yōu)化數(shù)值方法更為簡便，擬合結果與傳統(tǒng)方法基本吻合.

1.2 波高與周期的聯(lián)合分布

迄今為止，已有眾多學者對波高-周期長期聯(lián)合分布進行了研究.其中文獻[7]基于波高-周期散布資料所提出的5參數(shù)對數(shù)正態(tài)模式較為常用

(12)

其中μh，μt，σh，σt，ρht分別為h=lnH和t=lnT的均值、標準差、相關系數(shù)，可通過計算實測樣本(H,T)的對數(shù)值(lnH,lnT)樣本矩得到.

上述模式雖然獲得了較好擬合結果[7]，但其要求波高及周期均符合對數(shù)正態(tài)邊緣分布卻使其使用受到了限制.所以，此處仍以風速-波高參數(shù)化模式來描述其聯(lián)合分布

f(H,T)=f(T|H)f(H).

(13)

與公式(12)相比，公式(13)的優(yōu)勢在于不限定波高的邊緣分布概型f(H).

此外，波周期的條件分布概型[4]

(14)

式中，μt|H為在給定波高H時對數(shù)周期t=lnT的條件均值；σt|H為給定波高H時t的條件標準差

其中，σT|H和μT|H為給定波高H下的周期條件均值、標準差，其計算式為

其中，μH,μT,σH,σT,ρHT為H，T的總體平均值、總體標準差和總體相關系數(shù).綜合上述公式，基于觀測數(shù)據(jù)獲得μH,μT,σH,σT,ρHT5個統(tǒng)計參數(shù)，結合波高邊緣分布F(H)導出波高周期聯(lián)合分布F(H，T).其中，μH,σH可由波高邊緣分布F(H)直接導出，μT,σT,ρHT則可根據(jù)文獻[4]的回歸公式可得

ρHT=0.429+0.095 7σγ,

其中，μt,σt分別為對數(shù)周期t=lnT的均值、標準差.波浪受遮蔽的非沿海海域采用上述2種情況的加權值.

1.3 波高-周期-波向聯(lián)合分布

上述2節(jié)給出了指定風向的波高邊緣分布F(H)和周期條件分布F(T|H).基于“同時刻主/強波向與主/強風向近似一致”的認識，假定指定波向D與指定風向d條件下的波高-周期的聯(lián)合概率分布F(H，T)一致，即F(H,T|D,d)≈F(H,T|d)，

(15)

基于概率理論，波高-周期-波向的聯(lián)合分布概型為F(H,T,D)≈F(H,T|d)F(d).

(16)

2 工程實例分析

為驗證上述概型的準確性，采用美國國家數(shù)據(jù)浮標中心(NDBC)46001測站(位于北緯56°17'44"、西經(jīng)148°10'19"，水深為4 206 m，資料跨度為1972—2004年)的實測數(shù)據(jù)進行日極值系列分析.由于篇幅限制，此處僅列出N向分析結果，其余方向具有類似規(guī)律.

利用傳統(tǒng)的直接統(tǒng)計方法以及本文提出的多變量函數(shù)最小值的數(shù)值方法，對46001測站33年波浪(北向)的平均周期和有效波高列于表2和表3,其頻數(shù)圖見圖1和圖2.

表2 46001測站N向波高-周期聯(lián)合分布(直接統(tǒng)計)

表3 46001測站N向波高-周期聯(lián)合分布(本文數(shù)值方法)

圖1 散布頻數(shù)圖(直接統(tǒng)計) 圖2 散布頻數(shù)圖(本文方法)Fig.1 Spread frequency chart (Direct statistical method) Fig. 2 Spread frequency chart (Numerical method)

3 結論

本文引入波浪氣候綜合模式(NMIMET)[2]對波浪觀測資料進行統(tǒng)計分析，引進隨機波浪多變量聯(lián)合分布函數(shù),提出一種描述波高、周期、波向聯(lián)合分布的概型，便于防波堤風險分析與管理過程中的概率積分求解.通過美國國家數(shù)據(jù)浮標中心46001測站波浪觀測數(shù)據(jù)分析表明，采用求取多變量函數(shù)最小值的數(shù)值方法進行求解，與傳統(tǒng)方法波浪年極值數(shù)據(jù)擬合結果基本吻合，可有效重現(xiàn)波浪條件，但計算過程更為簡便.

參 考 文 獻:

[1] 中交第一航務工程勘察設計院有限公司.海港水文規(guī)范(JTS 145-2-2013)[M].北京:人民交通出版社,2013.

[2] HOGBEN N, DACUNHA N, ANDREWS K. Assessment of a new global capability for wave climate synthesis[Z]. San Francisco,Proc OCEANS’83, 1983.

[3] 方鐘圣.《西北太平洋波浪統(tǒng)計集》與其他圖冊資料的比較[J].中國海洋平臺,1997,12(1):29-32.

FANG Zhongsheng. A comparison of wave data from “wave statistics for Northwest Pacific Ocean Areas” and other Sources[J]. China offshore Platform, 1997,12(1)：29-32.

[4] 方鐘圣,金承儀,繆泉明.西北太平洋波浪統(tǒng)計集[M].北京:國防工業(yè)出版社,1996.

FANG Zhongsheng, JIN Chengyi，MIAO Quanming. Wave statistics for Northwest Pacific Ocean Areas[M].Beijing: National Defence Industrial Press, 1996

[5] 方鐘圣,金承儀,繆泉明.中國海與西北太平洋波浪長期統(tǒng)計的導算方法[J].中國造船,1994(4):21-35.

FANG Zhongsheng, JIN Chengyi，MIAO Quanming. On derivation of wave statistics for China seas and northwest Pacific ocean[J].Shipbuilding of China, 1994,4:21-35.

[6] LAGARIAS J C, REEDS J A, WRIGHT M H, et al. Convergence properties of the Nelder-Mead simplex method in low dimensions [J]. SIAM Journal of Optimization, 1998, 9(1): 112-147.

[7] OCHI M K. Wave statistics for the design of ships and ocean structures [J].Trans SNAME, 1978, 86: 47-76.

[8] 方鐘圣,戴順孫,金承儀.海洋特征波高和周期的長期聯(lián)合分布及其應用[J].海洋學報,1989,11(5):535-543.

FANG Zhongsheng, DAI Shunsun,JIN Chengyi. Long-term joint distribution and application of the ocean wave height characteristics and wave period[J].Acta Oceanologica Sincia, 1989,11(5):535-543.