潘 敏，劉志林

潘敏/泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部講師，碩士（江蘇泰州225300）。

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)嘗試，始于20世紀(jì)70年代末，其教學(xué)理念是將數(shù)學(xué)與工程技術(shù)、管理科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)緊密聯(lián)系在一起，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)建模課程的開(kāi)設(shè)改變了傳統(tǒng)的知識(shí)灌輸型數(shù)學(xué)教育方式，為數(shù)學(xué)走向應(yīng)用打開(kāi)了一條通道，讓學(xué)生在探索與實(shí)踐中學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)以及計(jì)算機(jī)技術(shù)。通過(guò)數(shù)學(xué)建模分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于增強(qiáng)學(xué)生關(guān)心國(guó)家建設(shè)和社會(huì)發(fā)展的意識(shí)和理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)，有利于提高面對(duì)復(fù)雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨(dú)立進(jìn)行科學(xué)研究的能力，有利于掌握查閱文獻(xiàn)、收集資料、調(diào)查研究的方法及提高撰寫科技論文的文字表達(dá)能力，有利于增強(qiáng)團(tuán)結(jié)合作精神和提高協(xié)調(diào)組織能力，有利于培育誠(chéng)信意識(shí)和自律精神[1]。

目前，常用于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法主要有：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)法、案例教學(xué)法、實(shí)驗(yàn)教學(xué)法和項(xiàng)目教學(xué)法。啟發(fā)式教學(xué)法變被動(dòng)的“灌輸”式為主動(dòng)的“汲取”式，以啟發(fā)學(xué)生的思維為核心，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性。案例教學(xué)法，以案例為載體，以學(xué)生積極參與為特征，強(qiáng)調(diào)師生對(duì)案例共同進(jìn)行討論。實(shí)驗(yàn)教學(xué)法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件，讓學(xué)生在探究過(guò)程中學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。項(xiàng)目教學(xué)法（Project-based Learning）則是在老師的指導(dǎo)下，將一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的項(xiàng)目交由學(xué)生自己處理，信息的收集、方案的設(shè)計(jì)、項(xiàng)目實(shí)施及最終評(píng)價(jià)，大多都由學(xué)生自己負(fù)責(zé)。學(xué)生通過(guò)該項(xiàng)目的進(jìn)行，了解并把握整個(gè)過(guò)程及每一個(gè)環(huán)節(jié)中的基本要求，是一種“以項(xiàng)目為主線、教師為引導(dǎo)、學(xué)生為主體”的教學(xué)模式。本文主要討論項(xiàng)目教學(xué)法在高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的意義、實(shí)施對(duì)象和評(píng)價(jià)體系，并給出具體實(shí)施案例。

一、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)的意義

（一）充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性

項(xiàng)目教學(xué)法主張先練后講，先學(xué)后教，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，主動(dòng)參與，從嘗試入手，從練習(xí)開(kāi)始，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、創(chuàng)造性、積極性等。學(xué)生唱“主角”，而老師轉(zhuǎn)為“配角”，實(shí)現(xiàn)了教師角色的換位，有利于加強(qiáng)對(duì)學(xué)生自學(xué)能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

（二）縮短課時(shí)，讓學(xué)生能迅速掌握知識(shí)

高職院校高等數(shù)學(xué)課時(shí)普遍較本科院校少。項(xiàng)目教學(xué)法不僅解決了課時(shí)少的難題，更提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與效率，讓學(xué)生在完成項(xiàng)目的過(guò)程中積極、主動(dòng)、輕松地掌握知識(shí)。當(dāng)然，課時(shí)的減少，并不代表教師的工作量減少。任務(wù)的選取、布置、指導(dǎo)和評(píng)價(jià)都對(duì)教師提出了更高的要求。

（三）拓展學(xué)生的知識(shí)面，掌握數(shù)學(xué)建模方法

因?yàn)轫?xiàng)目任務(wù)往往是跨學(xué)科、跨專業(yè)的。學(xué)生在項(xiàng)目的完成過(guò)程中自然拓寬了知識(shí)面，當(dāng)然更主要的是掌握了數(shù)學(xué)建模的方法，這種方法正是教師“授之以漁”中的“漁”。

（四）在實(shí)踐中培養(yǎng)綜合職業(yè)能力

由于從項(xiàng)目的計(jì)劃、實(shí)施、完成及評(píng)價(jià)均由學(xué)生自主完成，對(duì)學(xué)生的綜合能力培養(yǎng)提出了更高的要求。學(xué)生在項(xiàng)目的完成中要真正地走入社會(huì)，學(xué)會(huì)收集資料，學(xué)會(huì)調(diào)研，學(xué)會(huì)與人溝通，學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)與分工合作，在實(shí)踐中鍛煉自己。

二、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)的實(shí)施對(duì)象

由于數(shù)學(xué)建模教學(xué)面對(duì)的是全院學(xué)生。學(xué)生的水平參差不齊。本著因材施教的教學(xué)基本原則，大部分學(xué)院數(shù)學(xué)建模的教學(xué)均采取分層教學(xué)模式，一般分為基礎(chǔ)普及層、能力提高層和優(yōu)秀拔尖層。

針對(duì)基礎(chǔ)普及層的學(xué)生，一般教師會(huì)通過(guò)啟發(fā)式教學(xué)法和案例教學(xué)法，在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)建模案例，讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想。如在函數(shù)最值應(yīng)用中可引入易拉罐形狀的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題、綠地噴澆設(shè)施的節(jié)水設(shè)想和競(jìng)爭(zhēng)性產(chǎn)品生產(chǎn)中的利潤(rùn)最大化等模型；在常微分方程中引入人口問(wèn)題、刑事偵查中死亡時(shí)間的鑒定和名畫偽造案的偵破問(wèn)題等模型；在線性代數(shù)中引入矩陣密碼、投入產(chǎn)出等模型；在概率統(tǒng)計(jì)中引入考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分、保險(xiǎn)問(wèn)題、風(fēng)險(xiǎn)分析等模型，使學(xué)生從各類建模問(wèn)題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣。

針對(duì)能力提高層和優(yōu)秀拔尖層的學(xué)生一般采用實(shí)驗(yàn)教學(xué)法與項(xiàng)目教學(xué)法，可通過(guò)開(kāi)設(shè)選修課《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》和數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班的形式進(jìn)行。另外，針對(duì)這類學(xué)生，一般院校還會(huì)積極組織他們參加各類數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，申報(bào)省大學(xué)生科研項(xiàng)目等。事實(shí)證明，經(jīng)歷過(guò)數(shù)學(xué)建模錘煉后的學(xué)生，自主學(xué)習(xí)、科研能力、實(shí)踐能力、自信心等都明顯增強(qiáng)，而且大部分同學(xué)都會(huì)進(jìn)入本科院校繼續(xù)學(xué)習(xí)深造。

三、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)的實(shí)施過(guò)程

（一）項(xiàng)目選取

首先，教師根據(jù)課程特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)相應(yīng)的項(xiàng)目任務(wù)并下達(dá)給學(xué)生。項(xiàng)目可分為初等模型、微分方程模型、預(yù)測(cè)類模型、圖論模型、規(guī)劃類模型、評(píng)價(jià)類模型、概率類模型和多元統(tǒng)計(jì)分析這八類，每一類設(shè)計(jì)不同專業(yè)領(lǐng)域的項(xiàng)目。學(xué)生可根據(jù)自身專業(yè)和興趣選擇不同的任務(wù)，也可根據(jù)實(shí)際自選任務(wù)。項(xiàng)目任務(wù)的設(shè)計(jì)要具有示范性、覆蓋性、實(shí)用性、綜合性和可行性。

（二）項(xiàng)目分析

為使項(xiàng)目活動(dòng)順利開(kāi)展，教師可將與任務(wù)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念或內(nèi)容呈現(xiàn)出來(lái)，供學(xué)生參考。指導(dǎo)學(xué)生將任務(wù)細(xì)化，明確任務(wù)目標(biāo)。對(duì)于一些較復(fù)雜的項(xiàng)目，可以指導(dǎo)學(xué)生將其階段化，分為若干子項(xiàng)目加以完成。

（三）制定計(jì)劃

學(xué)生根據(jù)任務(wù)目標(biāo)，制定實(shí)施計(jì)劃，具體到時(shí)間與人員分工，在制定計(jì)劃時(shí)可兼顧學(xué)生自身特點(diǎn)，如計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生可以以程序的編寫和運(yùn)行為主。

（四）自主學(xué)習(xí)

知識(shí)的理解和運(yùn)用、軟件的學(xué)習(xí)和使用、算法的編寫與運(yùn)行等，這些具體細(xì)節(jié)都需要學(xué)生自主地去學(xué)習(xí)和探究。

（五）完成任務(wù)

根據(jù)實(shí)施計(jì)劃，分階段、分步驟、分工合作完成數(shù)據(jù)的收集與整理、模型的建立與求解以及論文的寫作。

（六）評(píng)價(jià)、修改與推廣

在這一環(huán)節(jié)，主要以學(xué)生代表展示成果的方式進(jìn)行，對(duì)已建立的模型進(jìn)行講解與分析，對(duì)已完成的任務(wù)開(kāi)展自評(píng)和互評(píng)，最后由教師總評(píng)。學(xué)生再根據(jù)教師和學(xué)生的意見(jiàn)對(duì)模型進(jìn)行修改與推廣。

四、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)的評(píng)價(jià)體系

（一）過(guò)程性評(píng)價(jià)

主要指項(xiàng)目進(jìn)行過(guò)程中學(xué)生的全方面表現(xiàn)，主要包括八個(gè)方面：1.認(rèn)真，自主學(xué)習(xí)能力強(qiáng)；2.有創(chuàng)新性，敢于挑戰(zhàn)；3.團(tuán)結(jié)友好，善與人溝通；4.考慮問(wèn)題全面；5.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)厚實(shí)；6.編程能力強(qiáng)；7.寫作能力強(qiáng)；8.有領(lǐng)導(dǎo)才能。評(píng)價(jià)結(jié)果綜合學(xué)生自評(píng)、學(xué)生互評(píng)和教師評(píng)價(jià)三方面。這樣的評(píng)價(jià)方式，不僅要求學(xué)生們對(duì)自己能力的了解以及相互之間相互了解，更需要教師對(duì)每個(gè)學(xué)生的了解，要求教師與學(xué)生的零距離接觸，充分發(fā)揮教師的指導(dǎo)性作用。

（二）終結(jié)性評(píng)價(jià)

主要指對(duì)最終成果的評(píng)價(jià)，以數(shù)模論文假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主。

五、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)案例

下面以圖論模型的項(xiàng)目教學(xué)為例說(shuō)明具體實(shí)施過(guò)程。

圖論是用點(diǎn)和邊來(lái)描述事物和事物之間的關(guān)系，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種抽象，能夠把紛雜的信息變得有序、直觀、清晰。自然界和人類社會(huì)中的大量事物以及事物之間的關(guān)系,?？捎脠D形來(lái)描述。例如，物質(zhì)結(jié)構(gòu)、電氣網(wǎng)絡(luò)、城市規(guī)劃、交通運(yùn)輸、信息傳輸、工作調(diào)配、事物關(guān)系等等都可以用點(diǎn)和線連起來(lái)所組成的圖形來(lái)模擬并轉(zhuǎn)化為圖論的問(wèn)題，再結(jié)合圖論算法，計(jì)算機(jī)編程，從而解決實(shí)際問(wèn)題。本教學(xué)單元從圖論的實(shí)際應(yīng)用中選取“物流線路與管網(wǎng)設(shè)計(jì)”這兩個(gè)典型應(yīng)用作為項(xiàng)目任務(wù)導(dǎo)入。

項(xiàng)目1：（物流線路問(wèn)題）物流運(yùn)輸作為重要的物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題，其方案的設(shè)計(jì)直接影響企業(yè)的運(yùn)輸成本和運(yùn)輸時(shí)間等。請(qǐng)以實(shí)際城區(qū)主干線為例，構(gòu)建圖論模型，利用圖論算法，給出城區(qū)主干線上的結(jié)點(diǎn)間最短路徑，并通過(guò)構(gòu)建歐拉回路，給出最優(yōu)巡回運(yùn)輸路徑。

相關(guān)知識(shí)：無(wú)向連通圖，一筆畫問(wèn)題，歐拉回路，歷遍性最短路，最大流，Dijkstra、Floyd、Edmonds、Fleury 等算法。

教師活動(dòng)：布置任務(wù)，提供必要的知識(shí)和軟件指導(dǎo)，協(xié)助組員分工，引導(dǎo)學(xué)生順利完成任務(wù)。

學(xué)生活動(dòng)：明確任務(wù)目標(biāo)，根據(jù)自身特點(diǎn)組隊(duì)，制定實(shí)施計(jì)劃并分工合作，完成任務(wù)。

（1）基本知識(shí)與軟件的學(xué)習(xí)階段；

（2）數(shù)據(jù)的收集與整理階段；

（3）城區(qū)主干線圖論模型的構(gòu)建；

（4）利用Dijkstra和Floyd算法計(jì)算出結(jié)點(diǎn)間最短路徑；

（5）利用Edmonds和Fleury求最小權(quán)理想匹配和歐拉巡回。

項(xiàng)目推廣：車載導(dǎo)航儀、中心選址問(wèn)題、最佳災(zāi)情巡視路線等。

項(xiàng)目2：（管網(wǎng)設(shè)計(jì)問(wèn)題）由于城市化進(jìn)程的進(jìn)一步加快，人口的快速增長(zhǎng)，城市對(duì)電力電纜、通信電纜、給水排水管線、燃?xì)夤芾淼染S持城市生命力的各種市政管線的需求量日益劇增。地下管廊將各類公用管線集中容納于一體，并留有供檢修人員行走通道的隧道。地下管廊設(shè)有專門的檢修口、吊裝口和監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，實(shí)施統(tǒng)一規(guī)劃、設(shè)計(jì)、建設(shè)和管理，徹底改變以往各自建設(shè)、各自管理的零亂局面。而且避免了酸堿物質(zhì)的腐蝕，延長(zhǎng)了管線的使用壽命。但地下管廊的開(kāi)發(fā)初期需要投入的費(fèi)用較大,為緩解財(cái)政壓力,可以利用圖論理論求出城區(qū)主干線的最小生成樹(shù)，使總修建長(zhǎng)度之和最小。請(qǐng)結(jié)合實(shí)際城區(qū)，求城區(qū)主干線上的最小生成樹(shù)，優(yōu)化城市地下管網(wǎng)布局。

相關(guān)知識(shí)：最小生成樹(shù)，Prim、Kruska算法。

教師活動(dòng)：布置任務(wù)，提供必要的知識(shí)和軟件指導(dǎo)，協(xié)助組員分工，引導(dǎo)學(xué)生順利完成任務(wù)。

學(xué)生活動(dòng)：明確任務(wù)目標(biāo)，根據(jù)自身特點(diǎn)組隊(duì)，制定實(shí)施計(jì)劃并分工合作，完成任務(wù)。

（1）基本知識(shí)與軟件的學(xué)習(xí)階段；

（2）數(shù)據(jù)的收集與整理階段；

（3）城區(qū)主干線圖論模型的構(gòu)建；

（4）利用Prim和Kruska算法求最小生成樹(shù)。

項(xiàng)目推廣：居民點(diǎn)自來(lái)水管的鋪設(shè)、n個(gè)城市之間交通路線、通信聯(lián)絡(luò)網(wǎng)設(shè)計(jì)等。

六、結(jié)束語(yǔ)

實(shí)踐表明，項(xiàng)目教學(xué)法作為一種突破傳統(tǒng)教學(xué)理念的高效的教學(xué)方法，它在強(qiáng)調(diào)學(xué)生知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在合作研究的道路上迅速前進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生努力在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，掌握新內(nèi)容，提高學(xué)生數(shù)學(xué)理論水平和實(shí)操技能，突出學(xué)生本位思想，注重創(chuàng)新與實(shí)踐能力的培養(yǎng)，讓高職學(xué)生學(xué)到有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)，為學(xué)生以后的發(fā)展奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

[1] 姜啟源,謝金星.一項(xiàng)成功的高等教育改革實(shí)踐——數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競(jìng)賽活動(dòng)的探索與實(shí)踐[J].中國(guó)高教研究,2011,(12).

[2] 許世建,張翌嗚,宋中山.讓理論回歸于現(xiàn)實(shí)生活——高職數(shù)學(xué)課程運(yùn)用項(xiàng)目教學(xué)法的嘗試[J].職教論壇，2008,（7）.