Brown自檢校模型相關(guān)性分析與改進(jìn)

楊韞瀾，韓 玲，胡海彥

(1. 長安大學(xué),陜西 西安710054; 2. 61363部隊(duì)，陜西 西安 710054; 3. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院,河南 鄭州 450052; 4. 地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710054; 5. 西安測繪研究所,陜西 西安 710054)

一、引 言

1965年,美國攝影測量學(xué)者Duane C. Brown通過大量試驗(yàn)，對近景相機(jī)各種幾何畸變進(jìn)行了深入分析[1]，給出了改正成像畸變的補(bǔ)償模型

在此基礎(chǔ)上，后續(xù)研究者也做了大量卓有成效的工作[2-5]。Brown模型最初是為膠片式相機(jī)設(shè)計(jì)的，但實(shí)踐已經(jīng)表明其對于數(shù)字相機(jī)也適用。

Brown自檢校模型中的各種自檢校參數(shù)，也稱為附加參數(shù)。大量附加參數(shù)的使用補(bǔ)償了各種確定和不確定誤差，同時(shí)也帶來了各種相關(guān)性，并在一定程度上有可能降低平差精度，相關(guān)研究隨著模型的提出一直未曾中斷。本文在分析Brown模型相關(guān)性的基礎(chǔ)上，對模型進(jìn)行了改進(jìn)，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明改進(jìn)模型的自檢校效果更好。

二、Brown自檢校模型改進(jìn)

Brown提出的自檢校模型在近景攝影測量中作為“標(biāo)準(zhǔn)”已普遍應(yīng)用，但Brown 模型存在一個(gè)問題，即參數(shù)間的強(qiáng)相關(guān)性。這里分析該模型的強(qiáng)相關(guān)性對自檢校的影響，并給出改進(jìn)后的新模型。

1. Brown自檢校模型

Brown自檢校模型中的參數(shù)包括內(nèi)部定向參數(shù)(Δx0,Δy0,Δf)、徑向畸變參數(shù)(K1,K2,K3)及偏心畸變參數(shù)(P1,P2)等。

(1) 徑向畸變

對于大多數(shù)相機(jī)而言，徑向畸變是最主要的幾何誤差，它是由每個(gè)獨(dú)立鏡頭組件間的折射率差異引起的，徑向畸變是對稱的，且有正有負(fù)，對應(yīng)的二維像空間改正量為Δxr、Δyr

(2) 偏心畸變

鏡頭組件偏離主光軸的離心效果會(huì)導(dǎo)致偏心畸變，偏心畸變包含徑向和切向兩部分。二維像坐標(biāo)下的偏心畸變表示為Δxd、Δyd

(3) 面外畸變

焦面的非平整性會(huì)導(dǎo)致面外誤差，表示為Δru。二維坐標(biāo)下的分量Δxu和Δyu表示為

(4)

(4) 面內(nèi)畸變

面內(nèi)畸變?chǔ)f的出現(xiàn)是由于膠片相機(jī)的膠面伸縮所致。CCD相機(jī)的伸縮影響是指x和y坐標(biāo)間的不同尺度導(dǎo)致的伸縮比。為避免過度參數(shù)化，通常Δrf在二維坐標(biāo)下建模為

式中，B1和B2稱為仿射和裁切系數(shù)。該式顧及了像坐標(biāo)軸間的尺度比例差異及非正交性。

Brown模型即是基于上述徑向畸變和偏心畸變的數(shù)學(xué)形式建立的。如將式(5)加入到式(1)，即可得到近景數(shù)字相機(jī)檢校中常用的10參數(shù)擴(kuò)展模型[6]

2. 相關(guān)性分析與模型改進(jìn)

近景相機(jī)自檢校中主要關(guān)注3種強(qiáng)相關(guān)性：內(nèi)部定向(IO)參數(shù)與外部定向(EO)參數(shù)間的強(qiáng)相關(guān)性；主點(diǎn)偏移和偏心畸變參數(shù)P1、P2間的強(qiáng)相關(guān)性； Δf和面內(nèi)畸變參數(shù)B1間的強(qiáng)相關(guān)性。

第1種強(qiáng)相關(guān)性在長焦相機(jī)檢校中影響較嚴(yán)重，在其他情況下，只要攝影配置得當(dāng)，其影響很小[6]。第2、3種強(qiáng)相關(guān)性經(jīng)常發(fā)生，所以這里重點(diǎn)分析。第2、3種強(qiáng)相關(guān)性其實(shí)是固有的，這主要是由Brown模型的多項(xiàng)式特性先天決定的。為了說明如何進(jìn)行模型改進(jìn)，這里以一個(gè)普通的二元多項(xiàng)式為例，取多項(xiàng)式前五項(xiàng)(忽略掉與相關(guān)性分析無關(guān)的常數(shù)項(xiàng))為

為了最小化相關(guān)性，根據(jù)多項(xiàng)式逼近原理與Weierstrass定理[7]，如果要進(jìn)行嚴(yán)格逼近，所有ΔxP中的參數(shù)都應(yīng)與ΔyP中的參數(shù)相互獨(dú)立，b1、b2、b4、b5應(yīng)被a2、-a1、-a3、-a4相應(yīng)地代替。強(qiáng)相關(guān)公式(7)則改化為如下的低相關(guān)公式

為了進(jìn)一步描述正負(fù)號(hào)差異的影響，給出以下兩組公式

類似參照式(8)，面內(nèi)畸變應(yīng)該寫為

式(11)與式(5)處理縮放影響的效果十分類似，優(yōu)點(diǎn)是在沒有過度參數(shù)化的條件下使得B1和Δf之間的相關(guān)性大為降低。如圖1所示，相比式(5)，式(11)更有利于和Δf的幾何效果進(jìn)行區(qū)分，這也直接導(dǎo)致式(11)中Δf和B1兩參數(shù)間的相關(guān)性更小。

圖1 (a)、(b)、(c)中的仿射參數(shù)B1>0時(shí)對應(yīng)的幾何影響效果

三、試驗(yàn)與結(jié)論

1. 試驗(yàn)數(shù)據(jù)集

由于希望避免其他誤差對相關(guān)性分析的干擾，因此這里采用了模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)分析與驗(yàn)證。虛擬相機(jī)的焦距為8 mm，像面為7 mm×7 mm，像元大小為4 μm×4 μm，像點(diǎn)量測的高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差(std.dev)為0.1個(gè)像元。

試驗(yàn)中使用了兩組模擬數(shù)據(jù)，分別包含10張、4張影像，如圖2所示。在10張影像的攝影構(gòu)形中，其中兩張是俯視拍攝，其余8張是繞3D測試場每45°拍攝一張。這種高度冗余、高度可靠的攝影構(gòu)形是按照文獻(xiàn)[8]建議的攝影構(gòu)形進(jìn)行模擬攝影的。4張影像的攝影構(gòu)形類似于文獻(xiàn)[9]所采用的攝影構(gòu)形，繞3D測試場每90°攝影一次。

圖2 試驗(yàn)所用的攝影構(gòu)形

2. 近景測量試驗(yàn)

近景試驗(yàn)?zāi)康闹饕沁M(jìn)行相關(guān)性分析并驗(yàn)證所提出偏心畸變及面內(nèi)畸變改進(jìn)模型的有效性。試驗(yàn)所用數(shù)據(jù)為上述的10張、4張兩組模擬仿真影像。

(1)強(qiáng)相關(guān)性驗(yàn)證分析

對虛擬相機(jī)，設(shè)定Δx0、Δy0、Δf、K1非零，K2=K3=P1=P2=0。P1、P2為0意味著不存在標(biāo)稱偏心畸變，且可做到對式(3)、式(9)和式(10)的公平比較。自檢校過程中會(huì)一并給出精確EO參數(shù)。Δx0和P1以及Δy0和P2的相關(guān)性系數(shù)見表1。

表1 像主點(diǎn)偏移和不同公式對應(yīng)的離心畸變間的相關(guān)性

從表1可見，式(9)的相關(guān)性要比式(3)的相關(guān)性小得多,而與式(8)形式相近的式(10)在兩個(gè)試驗(yàn)里相關(guān)性都最低。這一結(jié)果充分印證了前文的理論分析，即偏心畸變參數(shù)與主點(diǎn)之間存在強(qiáng)相關(guān)性，這主要是因?yàn)槭?3)不像式(8)那樣能有效地降低相關(guān)性，換言之，這些強(qiáng)相關(guān)性本質(zhì)上是由于Brown模型中偏心畸變自身的多項(xiàng)式表述形式導(dǎo)致的。近景攝影相機(jī)定向(3個(gè)IO參數(shù)Δx0、Δy0、Δf乃至3個(gè)角元素ω、φ、κ的確定)中，若采用多項(xiàng)式自檢校模型則會(huì)引起明顯的強(qiáng)相關(guān)現(xiàn)象，且其幾乎獨(dú)立于攝影區(qū)域的攝影幾何構(gòu)形(即采用區(qū)域性特殊幾何構(gòu)型攝影無法消除其影響)。這些強(qiáng)相關(guān)性存在于自檢校模型各項(xiàng)中，包括線性項(xiàng)x、y及xy中。只有遵從式(8)中的剔除規(guī)則，這種強(qiáng)相關(guān)性才有望避免。

(2) 像主點(diǎn)確定

由于Brown模型中偏心畸變是多項(xiàng)式表達(dá)形式，所以這種強(qiáng)相關(guān)性是必然存在的，因此有必要研究這種相關(guān)性對主點(diǎn)位置確定所造成的定量化影響。

設(shè)定虛擬相機(jī)的Δx0、Δy0、Δf、K1、P1、P2為非零標(biāo)稱值。考慮到偏心畸變量在像幅的邊緣很少超過10 μm[10]，虛擬相機(jī)的偏心畸變設(shè)定為從1 μm遞增到10 μm。

高度冗余的10影像攝影網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了兩種檢校策略：第一種策略是平差中僅使用Δx0、Δy0、Δf、K1參數(shù)；第二種策略是再追加式(3)中的P1、P2參數(shù)。策略一的主要目的是為了描述偏心畸變對主點(diǎn)位置確定所造成的影響；策略二更傾向于分析自檢校中這兩者的相互作用。

(12)

式中，ei為像點(diǎn)殘差；N為多余觀測數(shù)量(約束條件數(shù)減去未知數(shù)個(gè)數(shù))。

由于在諸多數(shù)字相機(jī)物鏡中存在顯著偏心畸變[7，11]，而且自檢校中強(qiáng)相關(guān)性所產(chǎn)生的不良影響也是顯著的，因此建議在自檢校中盡量采用偏心畸變參數(shù)，這樣不僅可以降低像點(diǎn)量測殘差，而且可以提高主點(diǎn)位置的精度。

圖3 未補(bǔ)償偏心畸變下的檢校結(jié)果變化情況

圖4 不同偏心畸變下的檢校結(jié)果變化情況

3. 結(jié) 論

從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看，由于多項(xiàng)式的各項(xiàng)之間存在強(qiáng)相關(guān)性，因此自檢校模型采用代數(shù)多項(xiàng)式是不適宜的。尤其在近景攝影情況下，采用Brown模型必定會(huì)造成極強(qiáng)的相關(guān)性，從而給最終結(jié)果帶來不確定性影響。這些在采用多項(xiàng)式自檢校模型中必然固有的相關(guān)性是獨(dú)立于區(qū)域性攝影幾何構(gòu)形的。用模擬試驗(yàn)對Brown模型的相關(guān)性進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了模型自身存在強(qiáng)相關(guān)特性，且這種強(qiáng)相關(guān)性會(huì)影響到主點(diǎn)標(biāo)定的精度和可靠度，本文提出的面內(nèi)畸變改進(jìn)模型與焦距的相關(guān)性很低，從而對獲得更好的檢校結(jié)果十分有益。

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