Gram多項式擬合在紙機橫向定量測量數(shù)據(jù)去噪中的應用

連鈺洋 湯 偉 胡連華 劉慧忠

(1.陜西科技大學電氣與信息工程學院，陜西西安，710021；2.陜西科技大學輕工與能源學院，陜西西安，710021)

紙機生產(chǎn)過程中，定量作為評價紙張品質的最重要的指標之一非常重要。O型掃描架是橫向定量控制系統(tǒng)傳感器，用于測量紙張橫向定量。由于工業(yè)現(xiàn)場存在干擾，測量值中含有噪聲，這對施加控制十分不利。傳統(tǒng)的去噪方法頻率域低通濾波、滑動平均濾波、中值濾波具有一定的去噪效果，但已不適合更高質量的橫向定量控制系統(tǒng)。本課題通過引入Gram多項式，利用最小二乘估計算法對橫向定量測量數(shù)據(jù)進行濾波去噪。Matlab仿真結果表明，該方法具有較好的去噪效果。

1 Gram多項式

1.1 Gram多項式定義

對于函數(shù)系{Pj(x)}，在離散點集x(i)關于權函數(shù)w(x)，若有：

(1)

則稱函數(shù)系{Pj(x)}是正交函數(shù)系。對于等間距的數(shù)據(jù)點，當w(x(i))=1時，離散正交多項式稱為Gram多項式系(以下簡稱Gram多項式)[1]。

Beck和Arnold給出了計算均勻分布的N個測量點的正交多項式的遞推方法。對每個多項式乘以一個標量，多項式系的正交性不受影響。多項式系的通式可以寫作：

i=0,1,2,…,N-1

(2)

m是多項式的階次。當cmN=1時，可以寫作以下遞推形式：

(3)

其中，P0(i)=1，P-1(i)=0。前3個多項式為：

(4)

它們常被稱為離散的勒讓德多項式(Legendre)，為了更直觀地說明這一點，圖1給出了Gram多項式和勒讓德多項式通式的3次項，其他項與此類似。

圖1 勒讓德多項式與Gram多項式對比

由于要保證較好的離散正交性，當選取離散點個數(shù)較少時，Gram多項式和勒讓德多項式有較大偏離，當離散點個數(shù)為500時，兩者幾乎重合。因此，隨著離散點數(shù)增多，離散的Gram多項式不斷接近勒讓德多項式。

1.2 Gram多項式擬合

如圖2所示，在整個橫向定量控制系統(tǒng)中，去噪屬于數(shù)據(jù)預處理。沿整個紙幅執(zhí)行器(稀釋水閥)個數(shù)眾多，不同執(zhí)行器間存在耦合，控制難度大。為了使控制系統(tǒng)能有較好的控制效果，去噪部分不希望引入新的干擾因素，所有數(shù)據(jù)要有相同權重，以防執(zhí)行器紊亂。去噪前后離散點個數(shù)要保持不變，以便控制器保持輸入維數(shù)相同。整個橫幅的定量起伏變化較多，低次多項式擬合難以達到滿意效果，往往要大于10次。最小二乘估計擬合涉及到矩陣求逆，如果基函數(shù)滿足離散正交性將簡化計算和工程實現(xiàn)，這就需要連續(xù)正交多項式合理離散化。前文提到，Gram多

圖2 橫向定量控制系統(tǒng)結構圖

項式是對于等間距的數(shù)據(jù)點，權函數(shù)恒為1的離散正交多項式系，它是一種離散的勒讓德多項式。通過適當變形將Gram多項式寫為矩陣形式，可保證去噪前后信號點個數(shù)不變，同時它對不同離散點都有較好的離散正交性，對不同紙機及紙張類型均適用。因而，Gram多項式可以用于紙機橫向定量測量數(shù)據(jù)的去噪，具體方法如下。

假設O型掃描架從紙幅一側到另一側掃描點個數(shù)為N，定義一個矩陣x0包含前m個正交多項式和N個離散點

(5)

關于正交基函數(shù)系x0，掃描架測量的含噪定量y可以寫作：

(6)

(7)

(9)

所以參數(shù)可以隨需求添加又不影響已經(jīng)算好的參數(shù)。最終，去噪后的定量為：

(10)

2 仿真分析

圖3 含高斯噪聲的定量測量數(shù)據(jù)去噪

圖4 含均值噪聲的定量測量數(shù)據(jù)去噪

為檢驗該算法對紙機生產(chǎn)中紙張定量測量數(shù)據(jù)的去噪效果，利用模擬數(shù)據(jù)進行仿真實驗。紙幅定量是連續(xù)的，為此可以用若干正弦/余弦曲線以及斜坡信號的疊加作為紙幅定量的真實值(見圖3(a))。真實紙機O型掃描架從紙幅一端到另一端的掃描點個數(shù)一般為500，本實驗也對連續(xù)信號進行500個點采樣，并在此離散信號上分別加入方差0.16的高斯噪聲和幅值0.5的均勻分布噪聲。為了對比去噪效果，分別采用頻率域低通濾波、滑動平均濾波、中值濾波和本研究方法進行去噪(見圖3、圖4)。

其中，頻率域低通濾波采用的是FIR數(shù)字濾波器。FIR濾波過程就是一個信號逐級延遲的過程，將各級延遲輸出加權累加，得到濾波輸出。其中涉及2個參數(shù)選取，即窗口長度以及截止頻率，窗口長度越長，能實現(xiàn)的濾波器特性就可以越復雜，計算量也越大。

滑動平均濾波為一種均值濾波，采用一個包含奇數(shù)點的滑動窗口依次處理整個離散序列，用窗口內所有點的均值作為替換中間點的數(shù)值，是一種線性濾波。滑動平均濾波器常用于時域濾波，盡管它很簡單，但是可以有效抑制隨機噪聲并保留陡峭邊沿。中值濾波與此類似，不過是將窗口中的點排序，用中值替換窗口中間點的數(shù)值，是一種非線性濾波。它對孤立的噪聲點去噪效果顯著。此實驗中，兩者窗口長度均取為5。為了防止離散序列降維而影響比較效果，端點處用2個首點值和2個末尾點值補齊。Gram多項式次數(shù)選擇沒有固定法則，過低不能很好地反映原信號趨勢，過高則端點處容易產(chǎn)生振蕩，本實驗選為20。

由圖3、圖4的仿真結果可以看出，所有的濾波方法對含噪信號都有一定的濾波效果。頻率域低通濾波涉及到截止頻率選取，不同的截止頻率差異明顯(仿真圖此處未給出)，而現(xiàn)場干擾噪聲模型未知，因此該方法適應性較差，去噪效果一般?；瑒悠骄鶠V波能較好跟蹤噪聲陡峭邊沿，毛刺趨勢與含噪信號比較一致，對兩種隨機噪聲均有較好的去噪效果。由于含噪點眾多，中值濾波對此類隨機噪聲難以有效去除，因而中值濾波對兩種噪聲去噪效果均最差。Gram多項式擬合去噪，對于這種均值為0的噪聲均有良好的去噪效果，可以反映真實定量的主要變化趨勢，僅在邊界處受噪聲幅值的影響，同紙張定量真實值有較大偏離。此外，Gram多項式擬合是采用一系列多項式加權疊加得到，所以光滑性很好，更接近紙張定量的真實情況，更有利于后續(xù)對稀釋水閥的控制，能有效防止誤動作。

不同去噪方法Matlab仿真時間見表1。由表1可知，與其他濾波算法相比，采用Gram多項式的方法計算量略大，仿真時間略長。Gram多項式是一種正交多項式系，最小二乘估計計算量最大的矩陣求逆部分求得的是對角矩陣，大大簡化了計算，速度完全能夠滿足后續(xù)在線控制的要求。

去噪后所得離散序列(離散點個數(shù)為500)與真實值的總標準差列于表2。由表2可知，去噪后的測量值與真實值的標準差進一步驗證了Gram多項式擬合濾波方法好于其他濾波方法。當噪聲幅值減小時，不同去噪方法的總標準差都會減小，但Gram多項式擬合方法的標準差仍然最小，只有在含噪點很少的極

端情況下，中值濾波才會有很好的去噪效果，但實際生產(chǎn)中噪聲不可能僅限于幾個點，所以中值濾波不具有實際應用意義。

表1 不同去噪方法Matlab仿真時間 s

表2 不同去噪方法去噪后測量值與真實值的標準差

3 結 語

Matlab仿真結果表明，Gram多項式擬合去噪方法對高斯噪聲和均值噪聲都有良好的去噪效果，優(yōu)于傳統(tǒng)去噪方法。Gram多項式擬合去噪方法的測量數(shù)據(jù)能反映紙張定量真實的變化趨勢，而且離散數(shù)據(jù)總體平滑性較好，更接近紙張定量的真實情況，同時計算速度快，能夠在線反饋給控制器。離散多項式次數(shù)選取還沒有固定規(guī)則，是后續(xù)研究的重點。

參 考 文 獻

[1] Kristinn Kristinsson， Guy A Dumont. Cross-directional Control on Paper Machines Using Gram Polynomials[J]. Automatica, 1996 (32): 533.

[2] 蔡志東, 張固瀾, 劉振亞. 測井數(shù)據(jù)自適應多項式擬合去噪[J]. 測井技術, 2013, 37(1): 59.

[3] 梁民贊, 黃子豪, 曹占啟. 曲線擬合與卡爾曼濾波器的濾波精度評估[J]. 測控遙感與導航定位, 2013, 43(3): 36.

[4] 吳建華, 李遲生, 周衛(wèi)星. 中值濾波與均值濾波的去噪性能比較[J]. 南昌大學學報, 1998, 20(1): 32.