基于隨機過程的風(fēng)力機狀態(tài)維護建模

陶紅玉，周炳海

（同濟大學(xué) 機械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

0 引言

隨著社會的發(fā)展，能源危機及其引起的環(huán)境危機日益加劇。風(fēng)能是一種儲量豐富、清潔、開發(fā)成本低的可再生能源，近年來，風(fēng)力發(fā)電在全球范圍內(nèi)受到廣泛關(guān)注［1］。

風(fēng)力發(fā)電最主要的設(shè)備就是風(fēng)力機，它主要由葉片、增速齒輪箱、發(fā)電機、軸承等多個部件組成，由于受環(huán)境等因素影響，風(fēng)力機各部件除了隨服役時間正常退化外還受到隨機沖擊的影響。為保證風(fēng)力機系統(tǒng)的安全性、可靠性和穩(wěn)定運行，許多學(xué)者針對風(fēng)力機維護問題進(jìn)行了研究［2－3］。該類研究只關(guān)注風(fēng)力機系統(tǒng)中的某個部件，很少有學(xué)者針對風(fēng)力機系統(tǒng)建立多部件維護模型。Laggoune等［4］針對隨機失效的多設(shè)備系統(tǒng)建立了預(yù)防維護模型。王靈芝等［5］建立了多部件成組預(yù)防性維修的經(jīng)濟型優(yōu)化模型。蘇春和周小荃［6］以風(fēng)力機為對象，考慮風(fēng)力機各部件之間的經(jīng)濟相關(guān)性，建立了基于有效役齡的多部件維修優(yōu)化模型。該類多部件維護模型很少關(guān)注系統(tǒng)各部件的失效機理，并不適用于受環(huán)境和工況等因素影響而不確定退化的風(fēng)力機多部件系統(tǒng)。許多學(xué)者運用隨機過程理論對不確定退化系統(tǒng)的退化過程進(jìn)行建模。Hameed［7］首次用Gamma過程對隨機退化過程進(jìn)行建模后，Gamma過程被廣泛用于描述不同系統(tǒng)的退化過程［8－9］，也有一些學(xué)者將退化過程看作隨機沖擊過程［10－12］，建立了 Poisson沖擊退化模型。許多學(xué)者進(jìn)一步提出了帶有兩種退化路徑的退化模型［13－15］，但該類模型都建立在各退化過程相互獨立的假設(shè)上。

從文獻(xiàn)分析可知，對隨機退化系統(tǒng)的維護建模大都是基于單一退化過程或兩個獨立退化過程的單元件系統(tǒng)狀態(tài)維護模型。為了有效解決隨機退化的多部件系統(tǒng)維護建模，本文采用非定態(tài)Gamma過程和非齊次Poisson過程，對具有正常退化和隨機沖擊退化兩種退化路徑的多部件風(fēng)力機系統(tǒng)各部件的退化過程進(jìn)行建模，并引入退化影響因子和沖擊影響因子，對正常退化和隨機沖擊過程之間的相互影響進(jìn)行描述，進(jìn)一步考慮維護準(zhǔn)備時間和維護時間，構(gòu)建了帶有自報警失效和潛在失效［11］的多部件系統(tǒng)狀態(tài)維護模型。

1 問題描述及退化建模

1．1 問題描述及假設(shè)

本文針對具有隨服役時間正常退化和由工作環(huán)境引起的隨機沖擊退化兩種退化路徑的風(fēng)力機多部件系統(tǒng)，進(jìn)行退化建模和維護建模分析。為有效描述所建模型，作如下一般性假設(shè)：①周期性地對風(fēng)力機系統(tǒng)的各部件狀態(tài)進(jìn)行檢測，每次檢測都是瞬時的，無故障引入，各部件的退化信息完全可以通過檢測得到；②風(fēng)力機系統(tǒng)的各部件不可修，達(dá)到一定的維護閾值后進(jìn)行相應(yīng)的替換。

1．2 退化建模

根據(jù)文獻(xiàn)［11－12］的描述，本文采用非定態(tài)Gamma過程（non－stationary Gamma process）對風(fēng)力機系統(tǒng)各部件正常退化過程進(jìn)行建模，用di（t）表示t時刻部件i的正常退化量，則其概率密度函數(shù)為

部件i的退化量增量 Δdi（t）＝di（t＋Δt）－di（t）也服從Gamma分布，其概率密度函數(shù)為

受環(huán)境及工況的影響，各部件的退化量與時間呈非線性關(guān)系，非定態(tài)Gamma過程的形狀參數(shù)為冪指函數(shù)

由于部件受隨機沖擊的影響，不僅會造成部件的累計損傷增加，還會加速部件的正常退化，則部件i在t時刻受到第j次沖擊后Gamma分布的形狀參數(shù)為

式中：αji（t）′表示部件i在t時刻受到第j次沖擊前Gamma分布的形狀參數(shù)，α0i（t）＝αi；η為沖擊影響因子，且有η≥1，當(dāng)η＝1時，正常退化過程不受隨機沖擊過程的影響。假設(shè)在［0，t］內(nèi)部件i的正常退化量為Di（t），用（Ga（n）t）t≥0表示參數(shù)為（αni（t），βi）的 Gamma過程，若［t1，t2］內(nèi)發(fā)生 N（t）＝n次隨機沖擊，則有

系統(tǒng)不僅受正常退化的影響，還受隨機沖擊的影響。根據(jù)文獻(xiàn) ［13－15］的描述，本文采用非齊次泊松過程（non－h(huán)omogeneous poisson process）對風(fēng)力機多部件系統(tǒng)的隨機沖擊過程進(jìn)行建模。假設(shè)部件i受到的沖擊過程為一均值λi（t）的非齊次Poisson過程。用wji（t）表示部件i在t時刻受到第j次沖擊時產(chǎn)生的沖擊損傷量，假設(shè)wji（t）服從均值為ui（t）的指數(shù)分布，隨機沖擊發(fā)生的時間序列為Si，部件i的第j次沖擊到達(dá)的時刻為Sji，S0i＝0，Ni＝｛Ni（t），t≥0｝為部件i的一個計數(shù)過程。則［0，t］內(nèi)部件i受到j(luò)次沖擊的概率為

考慮到系統(tǒng)服役時間越長，退化程度越嚴(yán)重，越容易受到隨機沖擊的影響，非齊次Poisson過程的強度參數(shù)與時間呈非線性關(guān)系，則有

同理可得部件i在［t1，t2］內(nèi)受到n次沖擊的概率為

隨著服役時間的增加，退化和沖擊損傷量的累計不僅使部件更容易受到?jīng)_擊影響，還會增大每次沖擊產(chǎn)生的沖擊損傷。本文采用冪律函數(shù)來表示沖擊損傷量與時間之間的非線性關(guān)系：

式中：Xji（t）′表示t時刻部件i受到第j次沖擊前的總退化量；υi表示退化水平對沖擊損傷量的影響因子，當(dāng)υi＝1時，沖擊損傷不受部件退化水平的影響。用Wi（t）表示t時刻部件i由沖擊造成的總損傷，則有

假設(shè)Gjii（x）為wji（t）的j重卷積，則有

因為 wji（t）～Exp（ui（t））且 uji（t）＝θi［Xji（t）′］υi－1，可得

T時刻部件i的總退化量為Xi（t），由式（5）和式（11）可得

當(dāng)t＝0時有 Xi（0）＝0。進(jìn)一步由式（5）、式（6）、式（9）、式（11）～式（14）可得

式 中 ＊ 表 示 分 布 的 卷 積， 且 φin＝Ni（t）θi∑ ［X（Sin）′］ui－1。若部件i允許的最大退化 量 為j＝0 Hi，則部件i在t時刻的可靠度為

將式（15）代入式（16）可得

2 狀態(tài)維護建模

根據(jù)所建風(fēng)力機系統(tǒng)各部件的退化模型，可以分析不同時刻風(fēng)力機系統(tǒng)各部件的失效情況，在此基礎(chǔ)上結(jié)合機會維護策略，應(yīng)用更新定理，建立多部件系統(tǒng)狀態(tài)維護模型。假設(shè)系統(tǒng)失效閾值和維護閾值是已知的，周期性地對風(fēng)力機系統(tǒng)的各部件退化水平進(jìn)行檢測，檢測間隔時間為δ，當(dāng)系統(tǒng)中某部件的退化水平達(dá)到規(guī)定的維護閾值或失效時下達(dá)相應(yīng)的維護指令。維護指令下達(dá)后經(jīng)過時間τ維護到達(dá)，此時根據(jù)系統(tǒng)各部件的退化狀態(tài)執(zhí)行相應(yīng)的維護工作。如果實際的維護工作與下達(dá)的維護指令不一致，則產(chǎn)生一定的懲罰成本。每次維護需要時間ρ。各部件的失效分為潛在失效（latent failures）和自報警失效（self－announced failures）［11］兩種方式。潛在失效只能通過檢測來識別，自報警失效可立即識別，且系統(tǒng)內(nèi)一旦有部件發(fā)生自報警失效，系統(tǒng)就立即停機。部件發(fā)生潛在失效時可以繼續(xù)工作直至被檢測或發(fā)生自報警失效。在該維護策略下，進(jìn)一步分析t時刻系統(tǒng)各部件的維護情況。

2．1 維護策略分析

根據(jù)假設(shè)，系統(tǒng)各部件不可修，預(yù)防維護、修復(fù)性維護以及各故障維護均使各部件狀態(tài)恢復(fù)如新，

j＝1

N（t）每次維護記為一個維護周期。同時假設(shè)：Xmaxi（t）表示t時刻系統(tǒng)中總退化量最大的部件maxi的總退化量，t時刻對系統(tǒng)進(jìn)行的維護即為部件maxi的維護方式；dpm，dlf，dsf和dom分別表示預(yù)防維護閾值、潛在失效閾值、自報警故障閾值和機會維護閾值；PM表示預(yù)防維護；OM 表示機會維護；LF表示潛在故障維護；SF表示自報警故障維護；P表示維護指令；L表示實際維護方式。則可建立如下維護模型。

（1）當(dāng)t＝nδ且Xmaxi（nδ）＜dpm時，即在t時刻，風(fēng)力機系統(tǒng)各部件的退化水平均未達(dá)到預(yù)防維護閾值，此時系統(tǒng)正常運行。

（2）當(dāng)t＝nδ且dpm≤Xmaxi（nδ）＜dlf時，有即在t時刻，系統(tǒng)中部件i的退化水平達(dá)到其預(yù)防維護閾值，系統(tǒng)需要停機進(jìn)行預(yù)防維護，此時下達(dá)預(yù)防維護指令，系統(tǒng)繼續(xù)運行時間τ后維護到達(dá)，此時根據(jù)系統(tǒng)的實際退化情況進(jìn)行相應(yīng)的維護，則實際的維護情況有如圖1所示的三種情況。

1）當(dāng)t＝nδ＋τ時，若dpm≤Xmaxi（nδ＋τ）＜dlf，則L＝PM，即實際對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防維護，其概率為

對部件j（j≠maxi）進(jìn)行機會維護的概率為

2）當(dāng)t＝nδ＋τ時，若dlf≤Xmaxi（nδ＋τ）＜dsf，則L＝LF，即實際對系統(tǒng)潛在失效維護，其概率為

對部件j（j≠maxi）進(jìn)行機會維護的概率為

3）當(dāng)t∈ （nδ，nδ＋τ］τ′≤τ時，若Xmaxi（nδ＋τ′）≥dsf，則L＝SF，實際對系統(tǒng)自報警失效維護的概率為

對部件j（j≠maxi）進(jìn)行機會維護的概率為

（3）當(dāng)t＝nδ且dlf≤Xmaxi（nδ）＜dsf時，則有

系統(tǒng)中有部件潛在失效，此時下達(dá)潛在失效維護指令，系統(tǒng)停機等待維護，則有L＝LF。

對部件j（j≠maxi）進(jìn)行機會維護的概率為

（4）當(dāng)t＝nδ＋h，h≤δ且Xmaxi（nδ＋h）≥dsf時，有

在檢測間隔期內(nèi)，系統(tǒng)中有部件發(fā)生自報警失效，此時系統(tǒng)停機等待維護到達(dá)，對部件j（j≠maxi）進(jìn)行機會維護的概率為

2．2 成本分析

根據(jù)本文所建狀態(tài)維護模型及2．1節(jié)對t時刻各部件維護情況的分析，應(yīng)用更新定理進(jìn)一步分析風(fēng)力機的系統(tǒng)維護成本。每次維護結(jié)束記為一個維護周期，cIn為每次檢測的檢測成本，cpm為每次預(yù)防維護的成本，com為每個部件機會維護的成本，考慮到機會維護對成本的結(jié)余，設(shè)定com＜cpm，clf為每次的潛在失效維護成本，csf為自報警失效維護成本，cτ為單位停機成本，ck為懲罰成本。由于預(yù)防維護和潛在失效只能通過檢測識別，在檢測結(jié)束后下達(dá)的維護指令可能是預(yù)防維護和潛在失效維護。因此當(dāng)t＝nδ且P＝PM 時，根據(jù)式（18）～式（24）系統(tǒng)可能發(fā)生的成本為

（1）當(dāng)L＝PM 時，有

（2）當(dāng)L＝LF時，有

（3）當(dāng)L＝SF時，有

則在系統(tǒng)下達(dá)預(yù)防維護指令后發(fā)生的總成本為

當(dāng)t＝nδ且P＝LF 時，根據(jù)式（25）和式（26），系統(tǒng)可能發(fā)生的成本為

當(dāng)t＝nδ＋h且P＝SF 時，根據(jù)式（27）和式（28），系統(tǒng)可能發(fā)生的成本為

本文考慮了維護準(zhǔn)備時間和維護時間，在不同的維護情況下，維護的停機時間不同，因此更新周期的期望為

化簡得到

單位時間的成本為

3 實例分析

本文以風(fēng)力機多部件系統(tǒng)為實驗對象。為簡化計算，設(shè)定風(fēng)力機各部件的正常退化過程和隨機沖擊過程的初始參數(shù)均一致，即η＝1．2，α＝0．5，γ＝1．2，＝0．6，θ＝1．5，ν＝1．2，且各部件失效閾值相同，各參數(shù)描述如下：風(fēng)力機各部件的最大累計退化量df＝50，潛在失效閾值drp＝42，預(yù)防維護閾值dpm＝35，機會維護閾值dom＝30。各部件自報警失效維護成本cf＝20，潛在失效維護成本crp＝10，預(yù)防維護成本cpm＝8，機會維護成本com＝5，每次檢測的成本cIn＝0．2，懲罰成本ck＝5，單位停機成本為cτ＝0．1，維護準(zhǔn)備時間τ＝12，維護時間p＝18，部件數(shù)n＝3。經(jīng)過Monte－Carlo仿真，可以得到正常退化和隨機沖擊兩退化路徑相互影響和相互獨立時的總成本隨檢測間隔時間變化的曲線，如圖2所示。

由圖2可知，隨著系統(tǒng)不斷退化，各部件抵御外界干擾的能力不斷下降，受退化程度及隨機沖擊的影響，部件退化速率逐漸增大，導(dǎo)致系統(tǒng)維護頻率增加，故正常退化過程和隨機沖擊相互影響下的總期望成本明顯高于兩者相互獨立時的總期望成本。正常退化過程與隨機沖擊過程相互獨立的情況下，總期望成本在檢測間隔時間δ＝30時取得最優(yōu)值，而正常退化過程和隨機沖擊過程相互影響時，由于受到退化影響因子以及沖擊影響因子的影響，在不同的檢測間隔時間下，總期望成本同時達(dá)到最小值，這在實際應(yīng)用中有著重要的意義。

對部件1隨時間的退化情況進(jìn)行分析，取δ＝15和δ＝30，可以得到如圖3和圖4所示的曲線。

由圖3和圖4可知：考慮正常退化與隨機沖擊之間的相互影響時，系統(tǒng)維護次數(shù)和自報警失效次數(shù)比不考慮二者之間相互影響時多，并且部件退化速率也較大。在實際應(yīng)用中，如果忽略系統(tǒng)各部件正常退化和隨機沖擊之間的相互影響，則勢必會低估系統(tǒng)實際退化水平，進(jìn)而導(dǎo)致對系統(tǒng)維護不足，最終引發(fā)安全事故。當(dāng)δ＝30時，部件1自報警失效次數(shù)明顯多于δ＝15時的自報警失效次數(shù)。這啟示我們在實際應(yīng)用中應(yīng)合理選擇檢測間隔時間，以滿足系統(tǒng)對安全性的要求。分析不同影響因子下的總期望成本，可得圖5所示曲線。取δ＝15，可得部件1的退化路徑，如圖6所示。

4 結(jié)束語

本文引入退化影響因子和沖擊影響因子概念，對帶有兩種退化路徑的風(fēng)力機多部件系統(tǒng)的正常退化和隨機沖擊過程之間的相互影響進(jìn)行了分析，在考慮維護準(zhǔn)備時間和維護時間的同時，結(jié)合潛在失效和自報警失效兩種失效模式，建立了風(fēng)力機多部件系統(tǒng)狀態(tài)維護模型。通過實驗分析可知，針對系統(tǒng)所處的不同環(huán)境，合理選擇影響因子，對減少由于對系統(tǒng)退化程度的低估造成維護不足時而引發(fā)的安全事故、保障系統(tǒng)安全運行具有重要意義。本文所建正常退化和隨機沖擊過程相互影響的退化模型及多部件狀態(tài)維護模型，為具有正常退化和隨機沖擊退化兩種退化路徑的多部件系統(tǒng)維護決策問題提供了更有效的解決方法。接下來的工作可以進(jìn)一步考慮環(huán)境變化對退化過程的影響，針對具有多階段隨機退化特點的系統(tǒng)建立隨機退化過程模型，并在此基礎(chǔ)上制定狀態(tài)維護策略。

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