廣義結(jié)式矩陣核維數(shù)的證明*

楊 翠 芝

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601 )

結(jié)式矩陣的研究開始于19世紀(jì)中期，因其在線性系統(tǒng)、穩(wěn)定性理論、控制性理論等問題中都起著重要作用，因此備受關(guān)注.文獻(xiàn)[1]討論了經(jīng)典的Sylvester結(jié)式矩陣與Bezout矩陣的關(guān)系，并給出了經(jīng)典的Sylvester結(jié)式矩陣的算子表示；文獻(xiàn)[2]討論了兩個多項式的最大公因式與Sylvester結(jié)式矩陣的聯(lián)系，給出了兩個多項式的最大公因式的次數(shù)與Sylvester結(jié)式矩陣秩之間的等式關(guān)系.此處在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上討論廣義結(jié)式矩陣與多項式之間的關(guān)系，給出并證明了兩個多項式的廣義結(jié)式矩陣核維數(shù).

很顯然，兩個多項式的經(jīng)典Sylvester結(jié)式矩陣是(m+n)×(m+n)的方陣.

定義1 設(shè)F為代數(shù)閉域，令U∈Fn+1,V∈Fm+1,p≤min{m,n}，假設(shè)m,n≥0，則廣義結(jié)式矩陣定義為

特別地,當(dāng)p=0時，Resp(U,V)稱為經(jīng)典的Sylvester結(jié)式矩陣.

則(Dm,m+n(W)TX)(t)=W(t)X(t).

引理2 令q∈Fm+n,w∈Fn+1,p∈Fm,那么Dm,n+m(w)qJ=pJ,當(dāng)且僅當(dāng)存在p1,p2∈Fn使得w(t)q(t)=p1(t)+p(t)tn+tm+np2(t)成立.

證明由矩陣的運算有等式(1)成立：

(1)

則

(2)

將式(2)最后一個等式兩邊同乘以Jm，即

證明取qJ∈kerDn+m-p-υ,n+m-p(w),則q∈Fn+m-p,由引理2,存在p1,p2∈Fυ使得

w(t)q(t)=p1(t)+tm+n-pp2(t)

(3)

式(3)兩邊分別乘以U0(t),V0(t)得

u(t)q(t)=u0(t)p1(t)+tn+m-pu0(t)p2(t)，v(t)q(t)=v0(t)p1(t)+tn+m-pv0(t)p2(t)

由于degU0(t)≤n-υ,degV0(t)≤m-υ， 由引理2得

qJ∈kerDm-p, n+m-p(u),qJ∈kerDn-p,n+m-p(v)

1Dn+m-p-υ,n+m-p(w)?ker Resp(U,V)

定理2 設(shè)Resp(U,V)是給定多項式U(t),V(t)的廣義結(jié)式矩陣，則

(i)dimker(Resp(U,V))T=max{0,υ-p}；

(ii)dimker Resp(U,V)=max{υ,p}.

證明

(i)

(4)

由引理1，式(4)轉(zhuǎn)化成

U(t)X(t)+V(t)Y(t)=0，X(t)∈Fm-p[t],Y(t)∈Fn-p[t]

(5)

則

W(t)(U0(t)X(t)+V0(t)Y(t))=0?(U0(t)X(t)+V0(t)Y(t)=0?U0(t)X(t)=-V0(t)Y(t)

(6)

因為U0(t)|U0(t)X(t)，所以U0(t)|-V0(t)Y(t)，因為u0(t)與V0(t)互素，所以U0(t)|Y(t).設(shè)Y(t)=U0(t)P(t)，由于U0(t)∈Fn-υ+1[t],Y(t)∈Fn-p[t],所以

2) 當(dāng)υ

其中U0(t)是生成的多項式)

(7)

(3)

1) 當(dāng)υ≥p時，由(i)可知dimker(Resp(U,V))T=υ-p，所以

rank Resp(U,V)T=m+n-2p-(υ-p)=m+n-p-υ

dimker Resp(U,V)=m+n-p-rank Resp(U,V)=m+n-p-rank(Resp(U,V))T=υ

2) 當(dāng)υ

rank(Resp(U,V))T=m+n-2p

dimker Resp(U,V)=m+n-p-rank Resp(U,V)=m+n-p-rank(Resp(U,V))T=p

綜合(ii)的1)，2)，知dimkerResp(U,V)=max{υ,p}.

參考文獻(xiàn)：

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