義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的正式頒行代表著我國大陸地區(qū)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程改革又向前推進(jìn)了一步。而在臺(tái)灣地區(qū)，1967年頒布了《九年國民教育實(shí)施綱要》，開啟國民教育歷程，又于2014年指出要實(shí)施“十二年的國民基本教育”。不管是義務(wù)教育還是國民基本教育，盡管在名稱上存在差別，但實(shí)質(zhì)都是國家按照法律的規(guī)定，讓適齡兒童接受一定的教育所提供的一種強(qiáng)制性的制度保障。那么，在這一階段，大陸地區(qū)與臺(tái)灣地區(qū)的數(shù)學(xué)課程發(fā)生了怎樣的變化，數(shù)學(xué)課程改革又會(huì)有怎么樣的趨勢(shì)，這是所有數(shù)學(xué)教育工作者與一線教師迫切想要了解的內(nèi)容。北京師范大學(xué)劉堅(jiān)教授、臺(tái)北教育大學(xué)鐘靜教授、北京師范大學(xué)綦春霞教授、中央民族大學(xué)孫曉天教授、華中師范大學(xué)胡典順副教授等與來自各個(gè)學(xué)校的其他教師一起共同探究了這一問題，進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)的交流與分享。

一、大陸地區(qū)義務(wù)教育的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)狀況

20世紀(jì)80年代之后，尤其是進(jìn)入21世紀(jì)之后，各國基礎(chǔ)教育的重心轉(zhuǎn)移到提高教育質(zhì)量上面，更加注重學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的發(fā)展。第三屆APEC部長會(huì)議中提到21世紀(jì)學(xué)生必備的基本能力有數(shù)學(xué)/科學(xué)、語言、職業(yè)/專業(yè)技能，數(shù)學(xué)就首當(dāng)其沖。在OECD《2013年各國成人技能調(diào)查報(bào)告》中也提到了較差的數(shù)學(xué)技能會(huì)嚴(yán)重地限制人們獲得報(bào)酬較高和價(jià)值更高的工作，數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為教育質(zhì)量評(píng)價(jià)的核心內(nèi)容。因此，北京師范大學(xué)的劉堅(jiān)教授、綦春霞教授與曹一鳴教授及來自北京教育學(xué)院的張丹教授一道就中國大陸地區(qū)義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)狀況進(jìn)行了具體闡述。

他們認(rèn)為對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績產(chǎn)生影響的因素有：學(xué)校層面有學(xué)校類型、學(xué)校辦學(xué)客觀條件、學(xué)校環(huán)境、教師隊(duì)伍狀況、教師專業(yè)素養(yǎng)與教學(xué)觀念、校長課程領(lǐng)導(dǎo)力等；學(xué)生層面有學(xué)生背景、學(xué)生學(xué)習(xí)情況、師生情況、師生關(guān)系、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)校歸屬感、學(xué)生方法和學(xué)生自信心。為此，他們采用分層三階段不等概率抽樣的方式對(duì)包括新疆與西藏等省在內(nèi)的140個(gè)區(qū)縣、952所小學(xué)的38 312名三年級(jí)學(xué)生和2 008名教師及1 184名校長、446所初中學(xué)校的21 105名八年級(jí)學(xué)生與1 648名教師及597名校長進(jìn)行了測(cè)試。他們指出，按照題冊(cè)、時(shí)間設(shè)計(jì)與等值問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，在內(nèi)容與能力方面進(jìn)行分析，從而考查大陸地區(qū)中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)在多大程度上達(dá)到了課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求；不同地域與城鄉(xiāng)之間存在怎樣的差異性，程度如何；影響各學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平差異的主要因素是什么，會(huì)在多大程度上影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績。

通過研究，他們發(fā)現(xiàn)14%的小學(xué)生沒有達(dá)到課標(biāo)的基本要求，中部的不合格率會(huì)更低一點(diǎn)，但東部某省份的不合格比例是60%左右，可以看出東部各省市之間的差異也比較大。同時(shí)，他們還指出在小學(xué)階段，男女生在基本的空間下沒有差異，在內(nèi)容維度上的表現(xiàn)也總體不錯(cuò)，中學(xué)的基本趨勢(shì)大體與小學(xué)相當(dāng)。

那么，劉教授又提出了這樣的一個(gè)問題，那就是學(xué)生個(gè)體成績之間的差異究竟在多大程度上是由于就讀地的差異導(dǎo)致的？為此，他們參照PISA的統(tǒng)計(jì)方式——分層信息模型，只考慮分?jǐn)?shù)與學(xué)校，可以看到對(duì)三年級(jí)學(xué)生的解釋率是54%，對(duì)八年級(jí)學(xué)生的解釋率是29%。按照PISA的解釋，25%及其以下代表學(xué)校之間是比較均衡的，25%～40%就表明學(xué)校間的差異比較大，40%代表差異很大，這表明學(xué)生在不同學(xué)校的發(fā)展存在較大的差異。而且，他們還對(duì)下列的變量，如學(xué)生層面的性別、生源、學(xué)習(xí)自信心、師生關(guān)系、學(xué)習(xí)方法與學(xué)校層面的學(xué)校地理位置、學(xué)校歸屬感、教學(xué)方式、校長課程領(lǐng)導(dǎo)力等進(jìn)行分析，運(yùn)用分層線性模型，發(fā)現(xiàn)控制所謂相對(duì)比較固定的因素，如流動(dòng)、性別、城鄉(xiāng)地域等，加入學(xué)生自信心后，對(duì)學(xué)生的影響似乎更大，將其他三個(gè)學(xué)生層面的變量同時(shí)投入的話，師生關(guān)系與自信心比學(xué)習(xí)方式造成的影響要大?；趯W(xué)校層面，學(xué)校歸屬感的影響明顯要比其他的影響因素強(qiáng)，將其他三個(gè)變量同時(shí)投入的話，學(xué)校歸屬感的影響要大于其他兩個(gè)變量。劉教授指出，這適合于小學(xué)與中學(xué)的情況，即師生關(guān)系對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)成績的影響比較大，學(xué)校歸屬感有比較好的解釋率，教學(xué)方式也會(huì)產(chǎn)生較大的影響，這是學(xué)校層面的影響差異。此外，他還將本研究涉及的學(xué)校層面與學(xué)生層面的所有變量納入模型進(jìn)行研究，指出對(duì)小學(xué)而言，對(duì)學(xué)校層面的解釋率是43.5%，對(duì)學(xué)生層面的解釋率是16.1%；對(duì)中學(xué)而言，對(duì)學(xué)校層面的解釋率是59.1%，對(duì)學(xué)生層面的解釋率是17.7%。

經(jīng)過30多年的努力，特別是新世紀(jì)10多年的數(shù)學(xué)課程改革，中國大陸地區(qū)義務(wù)教育階段絕大多數(shù)的同齡人都能夠達(dá)到國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的基本質(zhì)量要求，但西部地區(qū)、農(nóng)村地區(qū)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)率仍然偏低，即使在城市地區(qū)，如何全面地提高進(jìn)城務(wù)工子弟受教育的質(zhì)量，盡可能地不讓一個(gè)人掉隊(duì)依然是當(dāng)前和今后一段時(shí)期數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)。他們認(rèn)為義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平，首要的是教師應(yīng)努力改善師生關(guān)系，尊重每一位少年兒童，增進(jìn)學(xué)習(xí)者的自信心，學(xué)校也需要?jiǎng)?chuàng)造友好的人文環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)校的歸屬感，而中學(xué)階段提高教師教學(xué)能力、改進(jìn)教師教學(xué)方式則顯得非常重要。

二、臺(tái)灣地區(qū)國民教育階段的數(shù)學(xué)課程改革

1967年，臺(tái)灣頒布了《九年國民教育實(shí)施綱要》，廢除初中聯(lián)考；2000年，《國民中小學(xué)九年一貫課程暫行綱要》（2000年）公布；2014年，臺(tái)灣“教育部”宣布延長國民教育為12年，實(shí)施“十二年國民基本教育”。那么，如何看待臺(tái)灣地區(qū)國民教育階段的數(shù)學(xué)課程理念與實(shí)施層面的改革得失，來自臺(tái)北教育大學(xué)的鐘靜教授從臺(tái)灣地區(qū)國民教育的數(shù)學(xué)課程改革說起，談了她對(duì)臺(tái)灣國民教育數(shù)學(xué)課程改革的看法與思考。

鐘教授指出，從數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)來看，可以將現(xiàn)在實(shí)施的課程標(biāo)準(zhǔn)叫做九七正綱或九貫正綱（2008年），和早年實(shí)施的六四版（1975年）課程標(biāo)準(zhǔn)等在知識(shí)量上是相當(dāng)?shù)?，但課程要以兒童為本位、重視兒童的自主學(xué)習(xí)本位，所以課程會(huì)簡化，才能真正地實(shí)現(xiàn)公民教育。接著，鐘教授具體講述了臺(tái)灣地區(qū)數(shù)學(xué)課程改革的一些重點(diǎn)，認(rèn)為早期實(shí)施的六四版課程標(biāo)準(zhǔn)在小學(xué)階段比較重視兒童學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)具體物操作、去單位算式，強(qiáng)調(diào)怎樣解題，全面配發(fā)教具；在七四版課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，在國中階段強(qiáng)調(diào)邏輯與推理。同時(shí)，她指出八三版（1994年）課程標(biāo)準(zhǔn)是臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)比較重要的分水嶺，強(qiáng)調(diào)建構(gòu)理念、落實(shí)兒童本位，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)自主、認(rèn)知發(fā)展，強(qiáng)調(diào)幫助兒童從具體活動(dòng)到形式運(yùn)用，同時(shí)期的中學(xué)課程強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，但都是統(tǒng)編本；而《國民中小學(xué)九年一貫課程暫行綱要》強(qiáng)調(diào)的是內(nèi)外部的連接，培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)過程的數(shù)學(xué)能力，如推理、解題、溝通、表征、轉(zhuǎn)化，強(qiáng)調(diào)思考形態(tài)與學(xué)習(xí)方法。但鐘教授也指出由于這一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)數(shù)降低，在和高中銜接的問題上需要處理時(shí)數(shù)不夠這一難題。

而且，鐘教授還指出了臺(tái)灣地區(qū)數(shù)學(xué)課程改革出現(xiàn)過兩次擺蕩：一是小學(xué)六四版課程標(biāo)準(zhǔn)的主要特性是倫理結(jié)構(gòu)、知識(shí)導(dǎo)向與教具操作，而八二版（1993年）課程標(biāo)準(zhǔn)的特性是心理結(jié)構(gòu)、知識(shí)建構(gòu)與認(rèn)知發(fā)展，面臨著從重結(jié)果轉(zhuǎn)為重過程的問題；二是《國民中小學(xué)九年一貫課程暫行綱要》的特性是強(qiáng)調(diào)心理結(jié)構(gòu)、能力培養(yǎng)與思考形態(tài)，九七正綱的特性是論理結(jié)構(gòu)、知識(shí)導(dǎo)向、演算能力，面臨著從重理解轉(zhuǎn)為重計(jì)算的問題。因此，她認(rèn)為臺(tái)灣數(shù)學(xué)課程改革要落實(shí)兒童本位的教學(xué)觀，由教師中心轉(zhuǎn)為學(xué)生中心，進(jìn)行差異化教學(xué)，而且由模仿到形塑的數(shù)學(xué)知識(shí)要由傳遞知識(shí)轉(zhuǎn)為認(rèn)知發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)要由單向講述移為群體討論，提供從內(nèi)容到過程的教材設(shè)計(jì)，發(fā)展由紙筆到多元的教學(xué)評(píng)量。

此外，鐘教授還對(duì)《國民中小學(xué)九年一貫課程暫行綱要》的特點(diǎn)與內(nèi)涵進(jìn)行了闡述，認(rèn)為它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的認(rèn)知階段，而且思考形態(tài)會(huì)從知覺性、察覺演示、辨識(shí)樣式間的關(guān)系發(fā)展成非形式化的演繹，從算術(shù)思維發(fā)展到代數(shù)思維，重視概念的不同。從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展看，六、七年級(jí)的學(xué)生大概是11、12歲，她認(rèn)為根據(jù)皮亞杰的理論，此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展正處于逐漸地從具體運(yùn)思到形式運(yùn)思的過渡期，在解決數(shù)學(xué)問題方面應(yīng)由原先單純依靠算術(shù)計(jì)算過渡到學(xué)習(xí)利用符號(hào)表征、代數(shù)運(yùn)算等代數(shù)想法來解題，并且數(shù)學(xué)領(lǐng)域存在“連結(jié)”，包括內(nèi)部連結(jié)和外部連結(jié)，可以增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，加強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)式思維。

鐘靜教授認(rèn)為數(shù)學(xué)課程所訂的分段能力指標(biāo)作為學(xué)習(xí)的內(nèi)容選取與活動(dòng)設(shè)計(jì)的參照準(zhǔn)則時(shí)，要能夠讓八成以上的學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)。對(duì)未能達(dá)到全部能力指標(biāo)的部分學(xué)生，學(xué)校可利用彈性數(shù)學(xué)時(shí)數(shù)進(jìn)行補(bǔ)救教學(xué)，對(duì)能力較好的學(xué)生，當(dāng)他們的需求無法滿足時(shí)，學(xué)?？衫脧椥越虒W(xué)時(shí)數(shù)補(bǔ)充額外的教材。同時(shí)，她也指出了《國民中小學(xué)九年一貫課程暫行綱要》實(shí)施面對(duì)的狀況與困境，即在試辦時(shí)很少看到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的教學(xué)、配套措施缺失，能力指標(biāo)各自論釋，教材銜接并不緊密，會(huì)受“建構(gòu)數(shù)學(xué)”誤解的影響，并對(duì)“十二年國民基本教育”課程綱要草案的一些內(nèi)容進(jìn)行了介紹，指出其愿景是成就每一個(gè)孩子、適性揚(yáng)才、終身學(xué)習(xí)，理念是自發(fā)（本體觀）、互動(dòng)（認(rèn)識(shí)觀）、共好（倫理觀），目標(biāo)是啟發(fā)生命潛能、陶養(yǎng)生活知能、促進(jìn)生涯發(fā)展、涵育公民責(zé)任，認(rèn)為應(yīng)以核心素養(yǎng)作為課程發(fā)展的主軸，支持各教育階段之間的連貫以及各領(lǐng)域、科目之間的統(tǒng)整，即自主行動(dòng)、社會(huì)參與溝通互動(dòng)，培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)者。在領(lǐng)域?qū)W習(xí)層面，鐘教授指出，未來除實(shí)施領(lǐng)域教學(xué)外，也可以實(shí)施分科教學(xué)，科學(xué)地設(shè)計(jì)課程的組合方式，以減少每學(xué)期修習(xí)的科目數(shù)量。在彈性學(xué)習(xí)層面，學(xué)校特色課程，如專題、議題探究、技藝課程、戶外教育等可以推動(dòng)教學(xué)活化，而學(xué)生的適性學(xué)習(xí)則要兼顧精尖與扶弱。

最后，鐘教授認(rèn)為數(shù)學(xué)課程實(shí)施要注重師生互動(dòng)、多元評(píng)量，可以采取統(tǒng)整教學(xué)、數(shù)學(xué)繪本教學(xué)、數(shù)學(xué)步道教學(xué)、信息科技融入、情境脈絡(luò)融入、數(shù)學(xué)史輔助、數(shù)學(xué)寫作融入、合作學(xué)習(xí)教學(xué)、討論式教學(xué)、探究教學(xué)、臆測(cè)與論證、數(shù)學(xué)建模教學(xué)、閱讀理解教學(xué)、概念診斷教學(xué)等多種教學(xué)方式，也可以運(yùn)用實(shí)作評(píng)量、檔案評(píng)量、動(dòng)態(tài)評(píng)量、寫作評(píng)量、復(fù)式評(píng)量、二階段評(píng)量等評(píng)量方式。此外，要實(shí)現(xiàn)內(nèi)外部的連結(jié)使教學(xué)深化和活化，對(duì)課程要素，如前后經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)之間、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與社會(huì)、目標(biāo)之間、師生之間等進(jìn)行統(tǒng)整，建立數(shù)學(xué)內(nèi)外部的連結(jié)，進(jìn)行社會(huì)互動(dòng)性教學(xué)，發(fā)展以數(shù)學(xué)為校本的特色課程。最后，鐘教授指出當(dāng)前臺(tái)灣地區(qū)數(shù)學(xué)課程改革面臨的主要問題是意圖課程（專家設(shè)計(jì)的課程）和一線教師現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施的課程存在一定的落差，如何將數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家的理念實(shí)現(xiàn)內(nèi)部整合也是比較大的問題。因此，她指出要正視教學(xué)時(shí)數(shù)、雙峰現(xiàn)象、課程落差、師資培育、課程意義、課程變動(dòng)等問題。

三、2021年，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的走向

伴隨《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的正式頒行，人們自然會(huì)追問以下一連串的問題：2021年的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是什么樣子？我們拿什么證據(jù)說明應(yīng)該要作出這樣的變化？我們?cè)撊绾螒?yīng)對(duì)這樣的變化，以及為未來可能的變化做哪些準(zhǔn)備？面對(duì)這一系列的問題，與會(huì)的數(shù)學(xué)教育工作者是如何看待數(shù)學(xué)課程在未來的走向的，他們又有什么樣的新想法與思路，我們拭目以待。

1.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的回顧與展望

中國數(shù)學(xué)教育與中國數(shù)學(xué)課程取得了很大的進(jìn)步，在多年的實(shí)施過程中也積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，雖然存在一些不足需要補(bǔ)充與完善，但《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布之后，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的最大亮點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型的提出，這是華南師范大學(xué)王林全教授對(duì)現(xiàn)行義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程發(fā)展的一些看法。他認(rèn)為義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)要提出更加細(xì)致的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容，要逐步形成與深化概念，探索定理或公式、解題過程與途徑，總結(jié)解題類型，提煉數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)現(xiàn)、審視、利用、提煉數(shù)學(xué)美，論述基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的穩(wěn)定性、靈活性與發(fā)展性。同時(shí)，他也指出由于中國人口眾多、幅員廣大，未來義務(wù)教育的數(shù)學(xué)教材應(yīng)多樣化，實(shí)現(xiàn)多種版本的并存；教材經(jīng)過國家專家委員會(huì)審定后，要得到省、自治區(qū)、市教育部門的支持，而且教師還可以對(duì)教材的選擇提出意見，建立專家和教師代表審定評(píng)價(jià)教材的機(jī)制。此外，王教授認(rèn)為義務(wù)教育各個(gè)地區(qū)或?qū)W校的發(fā)展雖然不平衡，但不要人為地劃分一些重點(diǎn)學(xué)校、重點(diǎn)班與重點(diǎn)小組，可以實(shí)現(xiàn)三個(gè)水平的并存，一是達(dá)標(biāo)水平，讓班級(jí)的絕大多數(shù)同學(xué)達(dá)標(biāo)，二是先進(jìn)水平，相對(duì)班級(jí)中的其他同學(xué)，少數(shù)同學(xué)可以是比較先進(jìn)的，三是優(yōu)秀水平，應(yīng)該實(shí)現(xiàn)學(xué)生在這三個(gè)水平之間的流動(dòng)。在實(shí)施的過程中，教師要給予鼓勵(lì)。最后，王教授認(rèn)為要通盤考慮初高中兩套教材，做到內(nèi)容連貫，防止初中與高中教材相互分割的情況出現(xiàn)，產(chǎn)生銜接問題，所以應(yīng)統(tǒng)一教材編委會(huì)，讓教材更為嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一，促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)。

教育改革家富蘭曾經(jīng)說過，基于成功的教育改革，應(yīng)該假設(shè)“實(shí)施過程的主要目的是通過實(shí)施者與有關(guān)因素的相互作用來轉(zhuǎn)換你對(duì)應(yīng)該做什么的認(rèn)識(shí)”。東北師范大學(xué)馬云鵬教授對(duì)新世紀(jì)中國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的實(shí)施與未來發(fā)展發(fā)表了自己的看法，他認(rèn)為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的改革以2001年頒布并實(shí)施的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》為標(biāo)志，從2001年到2005年，新課程在實(shí)施過程中取得了實(shí)質(zhì)性的效果，產(chǎn)生了一些變化，如教材（一標(biāo)多本）、教學(xué)組織形式（教與學(xué)的方式、教學(xué)過程、教學(xué)情境）、教師與管理者角色（教師——組織者、參與者、合作者；學(xué)生——活動(dòng)主體）、知識(shí)與理解層面（關(guān)注學(xué)生的個(gè)性差異與全面發(fā)展、提升教師的研究意識(shí)）及價(jià)值的內(nèi)化等，但同時(shí)他也指出這一課程標(biāo)準(zhǔn)在實(shí)施過程中也暴露出了一些問題：第一，增加的新內(nèi)容在教學(xué)中遇到一定的問題，如教學(xué)難度、實(shí)踐與綜合應(yīng)用領(lǐng)域存在的具體實(shí)施困難；第二，對(duì)過程性目標(biāo)的理解與落實(shí)感到困惑，會(huì)將一些實(shí)際問題抽象為數(shù)與代數(shù)的問題；第三，教學(xué)方式的運(yùn)用與把握存在誤區(qū)，不能準(zhǔn)確地把握學(xué)生自主活動(dòng)和教師適時(shí)指導(dǎo)之間的關(guān)系；第四，評(píng)價(jià)理念與方式改革上遇到困難，如何把握過程性評(píng)價(jià)與情感態(tài)度評(píng)價(jià)，這也是課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施過程面對(duì)的困境。由于在課程目標(biāo)、教學(xué)過程、課程內(nèi)容、課程教學(xué)方式等方面出現(xiàn)了眾多的爭論，馬教授認(rèn)為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在基本保持實(shí)驗(yàn)稿的結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)思路的基礎(chǔ)上對(duì)一些內(nèi)容進(jìn)行了修改，整合基本理念，并修改了部分內(nèi)容的表述；在課程目標(biāo)方面，明確提出“四基”，突出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和整體發(fā)展；在課程內(nèi)容上，調(diào)整了統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的內(nèi)容。基于上述分析，他認(rèn)為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程發(fā)展走向?qū)?shí)現(xiàn)東西方數(shù)學(xué)教育理念的融合，在保持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)良傳統(tǒng)的同時(shí)，優(yōu)化課程內(nèi)容，也會(huì)為學(xué)生提供足夠的活動(dòng)與思考的時(shí)間與空間，轉(zhuǎn)變教學(xué)模式與教學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生的思考。此外，未來數(shù)學(xué)課程發(fā)展也要重視教師的專業(yè)成長，特別是關(guān)注教師PCK的研究、數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)及其職前與職后教育等。

2.數(shù)學(xué)課程的國際比較研究

經(jīng)濟(jì)全球化趨勢(shì)的不斷增強(qiáng)，必然會(huì)推動(dòng)教育領(lǐng)域的交流與溝通，為此，北京師范大學(xué)的吳立寶副教授將亞洲的中國與新加坡、歐洲的英國與法國、大洋洲的澳大利亞與美洲的美國等6個(gè)國家的初中數(shù)學(xué)教科書中有關(guān)“方程與不等式”的內(nèi)容進(jìn)行了比較研究。他指出，選取進(jìn)行研究的教科書主要是這些國家教育行政部門發(fā)布或者推薦使用的正式教科書，抑或是當(dāng)?shù)亓鱾鬏^廣或新推出的教科書，我國選取的是人民教育出版社2008年出版的初中數(shù)學(xué)教科書，采用直觀描述、類比歸納、抽象演繹等方式對(duì)它們的內(nèi)容廣度與深度進(jìn)行比較研究。

他指出，從內(nèi)容廣度上講，6個(gè)國家的數(shù)學(xué)教科書中都具有的公共知識(shí)點(diǎn)有方程、列方程、等式性質(zhì)、一元一次方程、解一元一次方程、不等式，其中方程與不等式部分主要有方程、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組、不等式、其他方程（無理方程、絕對(duì)值方程、指數(shù)方程、分式方程）等內(nèi)容。其中，美國數(shù)學(xué)教科書的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量居首，中國其次，中、美兩國數(shù)學(xué)教科書有22個(gè)知識(shí)點(diǎn)相同，而且美國在解一元一次方程部分增加了流程圖與回溯法、猜想—檢驗(yàn)—改進(jìn)、無理方程、含絕對(duì)值不等式等，并且在美國教科書習(xí)題部分涉及了指數(shù)方程；法國與新加坡并列第三，法國在一元一次方程（零因子法）、不等式部分與中國有點(diǎn)差異，新加坡講到了指數(shù)方程，如3x=27；最后是澳大利亞，流程圖、回溯法、方程、列方程、方程的解、猜想—檢驗(yàn)—改進(jìn)、等式性質(zhì)、一元一次方程、不等式、不等式解、數(shù)軸表示解集、解簡單的一元一次不等式以及使用因式分解與公式法解一元二次方程，在一元一次方程部分比較完備，缺少方程組以及分式方程等內(nèi)容；英國教科書較少，知識(shí)點(diǎn)零散，沒有成為體系。從內(nèi)容深度上進(jìn)行分析，知識(shí)點(diǎn)更多的是以直觀描述的方式呈現(xiàn)，中國的深度是最大的，排名第一；英國、美國、澳大利亞主要是采用流程圖與回溯法；法國運(yùn)用的方法比較簡單，步驟比較少，美、澳兩國也會(huì)采用猜想—檢驗(yàn)—改進(jìn)的三步法。利用等式性質(zhì)求解，這是共性，差異在于方程的復(fù)雜程度，中國明確提出了“移項(xiàng)”的概念。對(duì)二元一次方程組，英國與澳大利亞沒有涉及，中、美、法三國以直觀形式給出二元一次方程的概念，中國、美國、法國與新加坡四國均講了代入消元法和加減消元法，均有驗(yàn)根。因此，吳教授告訴我們應(yīng)注重對(duì)方程內(nèi)容本質(zhì)的理解，在概念呈現(xiàn)上要注重問題的設(shè)置，適當(dāng)拓寬方程內(nèi)容的涉及面，如習(xí)題。

吳立寶副教授從6個(gè)國家初中數(shù)學(xué)教科書中有關(guān)“方程與不等式”的內(nèi)容進(jìn)行了國際比較，來自華中師范大學(xué)的薛亞喬、胡典順與王明巧則對(duì)中國與美國小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“問題提出”內(nèi)容進(jìn)行了比較研究。他們指出，“問題提出”是教育研究的焦點(diǎn)之一，而數(shù)學(xué)教材作為數(shù)學(xué)課程最為重要的資源，直接影響教師的教與學(xué)生的學(xué)，因此通過對(duì)各國教材的比較，可以發(fā)現(xiàn)我國數(shù)學(xué)教材在“問題提出”編寫方面的優(yōu)勢(shì)與不足，對(duì)我國數(shù)學(xué)課程中“問題提出”具有較大的教學(xué)意義。為此，他們選取中國人民教育出版社版（簡稱PEP版）教材、北京師范大學(xué)出版社版（簡稱BNU版）教材與美國UCSMP版教材進(jìn)行比較研究。綜合三個(gè)版本教材的編寫特點(diǎn)，他們主要從下列4個(gè)方面，即問題數(shù)及問題提出數(shù)、問題提出類型、問題提出所處知識(shí)領(lǐng)域、含特定要求的問題提出對(duì)中國與美國的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行差異比較。

在問題數(shù)及問題提出數(shù)的比較研究中，他們提出三個(gè)版本的教材各個(gè)年級(jí)的問題數(shù)分布是有顯著差異的，但中國兩版教材的分布差異并不顯著。美國UCSMP版教材的問題數(shù)是PEP版教材的2.85倍，是BNU版教材的3.23倍。中國兩版的教材中各年級(jí)的問題數(shù)分布比較均勻，美國UCSMP版教材的問題數(shù)隨著年級(jí)的升高呈明顯增長趨勢(shì)，中國則相對(duì)比較平穩(wěn)。同時(shí)，他們也指出，三個(gè)版本教材第二學(xué)段的問題都比第一學(xué)段的問題要多。問題提出數(shù)在各年級(jí)的分布有顯著差異，而中國兩個(gè)版本教材的問題提出數(shù)在各年級(jí)的分布差異不大，美國UCSMP版教材的問題提出數(shù)要高于中國的兩版教材。PEP版教材各年級(jí)平均有23個(gè)問題提出，BNU版教材平均是22.8個(gè)，而UCSMP版教材平均是32個(gè)，還可以發(fā)現(xiàn)UCSMP版教材第二學(xué)段的問題提出數(shù)要多于第一學(xué)段，而BNU版教材和PEP版教材則相反。然而，他們認(rèn)為雖然美國教材問題提出數(shù)比較多，但其總問題數(shù)也比較多。基于此，我們能夠得到三個(gè)版本教材的問題提出數(shù)占總問題數(shù)的百分比，即PEP版教材占3.59%，BNU版教材占4.04%，UCSMP版教材占1.75%，問題提出數(shù)量最少的BNU版所占百分比最高，而問題提出數(shù)最多的UCSMP版教材的百分比卻最低。

在問題提出類型方面，他們認(rèn)為問題提出類型主要有追問型問題提出、補(bǔ)充問題型問題提出、補(bǔ)充條件和問題型問題提出、改變條件型問題提出、模型給定型問題提出，指出三個(gè)版本教材中問題提出類型分布有非常顯著的差異，各版本教材編寫問題提出類型的重心不同，PEP版教材比較重視追問型和補(bǔ)充問題型問題的編寫，BNU版教材比較注重追問型以及補(bǔ)充條件和問題型問題的編寫，UCSMP版教材則比較注重模型給定型和改變條件型問題的編寫。

如果將知識(shí)領(lǐng)域劃分成數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、概率與統(tǒng)計(jì)、綜合應(yīng)用，針對(duì)這些問題提出所處的知識(shí)領(lǐng)域與分布進(jìn)行比較的話，他們認(rèn)為這三個(gè)版本教材的問題提出所處領(lǐng)域的分布有顯著差異，三個(gè)版本中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域所占的百分比都非常高，在空間與圖形領(lǐng)域及統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域所占的比例都比較低，而綜合應(yīng)用領(lǐng)域只有BNU版教材進(jìn)行了編寫，所占比例是23.36%，其他版本的教材均未涉及。

在對(duì)含特定要求的問題提出數(shù)比較時(shí)，他們指出，三個(gè)版本教材中含特定要求的問題編寫有很大差異，UCSMP版教材中含特定要求的問題提出數(shù)最多，是中國兩版教材的10倍，而且UCSMP版教材中含特定要求的問題提出數(shù)占總問題提出數(shù)的百分比也是最高的，為68.23%，而中國兩個(gè)版本中對(duì)有特定要求的問題提出的編寫沒有差異，PEP版教材的比例為9.42%，BNU版教材的比例為9.49%。

因此，他們認(rèn)為我國要合理地增加問題及問題提出數(shù)，在課后練習(xí)中加入復(fù)習(xí)題目，適當(dāng)?shù)卦黾痈鲗W(xué)段問題提出的編寫比例，均衡各類型問題提出的分布。同時(shí)，他們也希望在教材中能增加模型給定型以及改變條件型問題提出的編寫，并適當(dāng)?shù)卣{(diào)整各知識(shí)領(lǐng)域問題提出的設(shè)置，重視對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域問題提出的編寫，設(shè)置“問題提出”專欄，從問題的解法、內(nèi)容范圍、解決步驟、能否解決等方面對(duì)學(xué)生的“問題提出”加以限定。此外，他們認(rèn)為教材中對(duì)問題提出策略的編寫對(duì)學(xué)生提出擴(kuò)張性問題也很重要。

3.數(shù)學(xué)教育的追求

綠色會(huì)讓我們想到什么，實(shí)驗(yàn)室會(huì)讓我們想到什么，e數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室又會(huì)讓我們想到什么？北京教育學(xué)院的王長沛教授以“從綠色數(shù)學(xué)教育到e數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”為題講起了他心目所設(shè)想的數(shù)學(xué)課程走向與數(shù)學(xué)教育追求。王教授是從一個(gè)初二年級(jí)學(xué)生的e數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)講起的，指出這個(gè)學(xué)生借助圖形計(jì)算器移動(dòng)技術(shù)、手持技術(shù)以及已經(jīng)學(xué)過的三角形中位線定理來思考“三角形兩邊的n等分點(diǎn)所連的n等分線與第三邊有什么位置與數(shù)量關(guān)系”這個(gè)問題，并借助圖形計(jì)算器中三角形求解器的功能來探究與學(xué)習(xí)。王教授認(rèn)為學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下，借助實(shí)驗(yàn)室環(huán)境、網(wǎng)絡(luò)、圖形計(jì)算器、三角形求解器與數(shù)學(xué)APP等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行自主探究，要敢提問、敢假設(shè)、敢試驗(yàn)、敢做長探索，指出通過該學(xué)生的自述可以看出這些自主探究性活動(dòng)其實(shí)是一個(gè)自生過程，通過不厭其煩的反復(fù)檢驗(yàn)、學(xué)生悟得、數(shù)學(xué)數(shù)字技術(shù)工具的使用、移動(dòng)學(xué)習(xí)、e數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、教師引導(dǎo)、環(huán)境與家長的支持，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中獲得更多的自信。通過這個(gè)故事，王教授指出，數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要目的是從復(fù)雜的現(xiàn)象中分離出不變，數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，要從大量的例子中去捕捉、去抽象、去發(fā)現(xiàn)不變量，把握不變量的關(guān)鍵特征。

此外，王教授認(rèn)為綠色數(shù)學(xué)教育是一個(gè)復(fù)雜的生態(tài)系統(tǒng)或綠色的有機(jī)體，是一個(gè)“1+3”的模型，要從價(jià)值論、認(rèn)識(shí)論和本體論三個(gè)不同的層次來把握數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵特征，要有自己的想法，要有批判的視角，如數(shù)學(xué)教育實(shí)踐、理論與實(shí)踐，要關(guān)注一線教師，認(rèn)為綠色代表現(xiàn)代有機(jī)的整體觀與東西方文化的融合，指出其關(guān)鍵的發(fā)展因素從價(jià)值論上說是以學(xué)生為本、關(guān)注學(xué)生發(fā)展，從認(rèn)識(shí)論上說是強(qiáng)調(diào)建構(gòu)主義方向，從本體論上說是強(qiáng)調(diào)多元與多維的數(shù)學(xué)觀。同時(shí)，他還對(duì)綠色數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐進(jìn)行了簡略介紹，認(rèn)為數(shù)學(xué)是進(jìn)行創(chuàng)造與實(shí)驗(yàn)、論證的過程，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室是為創(chuàng)造與實(shí)驗(yàn)、論證提供條件的地方，應(yīng)發(fā)展到微縮的e數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，簡單、易用、易學(xué)、易帶、易存，還可將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程進(jìn)行深度整合。從移動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室到移動(dòng)學(xué)習(xí)，可以說e數(shù)學(xué)課程是ICT與數(shù)學(xué)課程的深度整合。最后，王教授借用弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中的一句話“要實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育，必須從根本上以不同的方式組織教學(xué)，否則是不可能的”來說明學(xué)生的探究需要物理環(huán)境的支持，要有傳統(tǒng)方式與ICT相結(jié)合的e數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，要讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的使用主體，確保每個(gè)學(xué)生都能獲得e數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行e數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的開發(fā)。

教育公平一直是我們追求的目標(biāo)，但教育公平并不是讓所有的人都成為一樣的人，而是讓所有的人成為不一樣的人，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，也就是說人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，但不同的人在數(shù)學(xué)上會(huì)得到不同的發(fā)展。來自浙江新思維教育研究院的唐彩斌院長認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)過程中，不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)可能會(huì)遇到以下問題，如不同的人都想學(xué)好數(shù)學(xué)、不同的人學(xué)習(xí)同樣的教材、不同的人學(xué)習(xí)同樣難度的數(shù)學(xué)、不同的人希望數(shù)學(xué)學(xué)得一樣好，并講述了他在2010年針對(duì)某區(qū)2 300名學(xué)生的計(jì)算測(cè)試，研究發(fā)現(xiàn)，這些教師存在過度訓(xùn)練的情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生會(huì)做題，但是說不出來為什么會(huì)這樣做。基于此，唐院長認(rèn)為，作為一線教師要關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，厘清必要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，也要關(guān)注教學(xué)目標(biāo)，深入研究“雙基”，并應(yīng)用日常教學(xué)檢測(cè)大數(shù)據(jù)創(chuàng)建數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量參照標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用技術(shù)、信息技術(shù)與學(xué)科的深度融合。同時(shí)，他也指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有線索的，但這線索不一定是唯一的。

數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)課程的發(fā)展關(guān)鍵在于落實(shí)。中國人民大學(xué)附屬中學(xué)第二分校的教師肖飛飛針對(duì)本校的具體情況分享了她們?cè)跀?shù)學(xué)教育中的探索活動(dòng)。她指出，學(xué)校在數(shù)學(xué)教育中提出的“零失敗”并不是指在數(shù)學(xué)考試中對(duì)分?jǐn)?shù)有特定的要求，而是要在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)學(xué)生百分之百的進(jìn)步，營造一種氛圍與文化，讓每個(gè)孩子都能快樂地成長。她指出，中國人民大學(xué)附屬中學(xué)第二分校地處原城鄉(xiāng)結(jié)合部，生源結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和水平存在較大差異，但是新的課程標(biāo)準(zhǔn)提出要讓教育面向全體學(xué)生，使人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育。因此，她們聘請(qǐng)了張肇基老師進(jìn)行指導(dǎo)，有幸與肇基數(shù)學(xué)結(jié)緣，并對(duì)肇基數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行了具體的介紹，它包括：建立一個(gè)真正能給每位學(xué)生帶來希望的評(píng)價(jià)機(jī)制——準(zhǔn)模測(cè)試法，包括標(biāo)準(zhǔn)試題、驗(yàn)收練習(xí)、準(zhǔn)模測(cè)試、用進(jìn)步換分?jǐn)?shù)的準(zhǔn)及格制度等四大因素，熱忱地呵護(hù)學(xué)生的向上之心，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信。二是開展以肇基學(xué)具為載體的群體性助學(xué)活動(dòng)，突破一些傳統(tǒng)的教學(xué)方法。肇基教具包括兩種算卡（肇基數(shù)式算卡與肇基圖數(shù)算卡）與兩種拼卡（肇基推理拼卡與肇基巧板拼卡），分別應(yīng)用在代數(shù)與幾何方面。三是建立符合少年學(xué)生心理特點(diǎn)的互動(dòng)機(jī)制，如師友互動(dòng)—師師互動(dòng)—友友互動(dòng)。

此外，肖老師還講述了她們借助肇基數(shù)學(xué)取得的一些效果，主要表現(xiàn)在：累積了豐富的數(shù)學(xué)資料，建立了初中階段的六大題庫，如標(biāo)準(zhǔn)試題庫、驗(yàn)收題庫、準(zhǔn)模試題庫、會(huì)戰(zhàn)題庫、中考串聯(lián)復(fù)習(xí)法題庫、輔考題等題庫；形成了具有學(xué)校特色的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，如課堂上的師友互助、肇基學(xué)具活動(dòng)課、考試前的驗(yàn)收練習(xí)與準(zhǔn)模測(cè)試、新生夏令營、數(shù)學(xué)文化節(jié)等；改變了教師的教學(xué)理念與教學(xué)方式，如教育目標(biāo)的重新定位、教學(xué)方法的更新、教師職責(zé)的進(jìn)一步理解等；取得了比較多的研究成果，并進(jìn)行推廣，改變了學(xué)生的數(shù)學(xué)狀態(tài)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性，提升了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我效能感與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。同時(shí)，肖老師也指出了她們面臨的一些新任務(wù)與挑戰(zhàn)，如怎么把準(zhǔn)模機(jī)制與現(xiàn)行的考試制度更好地銜接、如何尋找科學(xué)有效的方式與方法衡量學(xué)生在實(shí)踐過程中發(fā)生的知識(shí)與能力的變化、如何更好地推動(dòng)肇基數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)展等，并指出她們的數(shù)學(xué)追求是讓數(shù)學(xué)教育能使學(xué)生在回顧過去時(shí)幸福而滿足，在面對(duì)今天時(shí)，快樂而充盈，在憧憬未來時(shí)，現(xiàn)實(shí)而樂觀，這是不會(huì)變的。

4.有關(guān)幾何課程改革的思考

類比推理是數(shù)學(xué)課程中的比較重要的內(nèi)容，幾何類比推理是指以幾何圖形為材料的類別推理，在中學(xué)中會(huì)作為合情推理的內(nèi)容受到人們的重視。西南大學(xué)博士李艷琴以“幾何類比推理認(rèn)知診斷及其對(duì)幾何課程改革的思考”發(fā)表了她對(duì)幾何課程改革的一些看法。她指出，認(rèn)知診斷屬于新興的測(cè)量學(xué)范疇與領(lǐng)域，廣義上是將學(xué)生個(gè)體的成績，并非單獨(dú)的成績分?jǐn)?shù)值，和其內(nèi)部心理特征、過程、結(jié)構(gòu)相聯(lián)系；狹義的理解是利用統(tǒng)計(jì)的方法將個(gè)體在測(cè)驗(yàn)中的各個(gè)項(xiàng)目中的反應(yīng)進(jìn)行分類，每一類都與一種認(rèn)知方式相匹配。如何認(rèn)識(shí)認(rèn)知模型，她認(rèn)為要從屬性、層級(jí)關(guān)系、屬性分類等方面進(jìn)行分析，其中認(rèn)知屬性是被試解決某一問題時(shí)需要的知識(shí)、技能與策略，是進(jìn)行某一具體領(lǐng)域工作所需要的程序性知識(shí)與陳述性知識(shí)，是認(rèn)知診斷的前提條件。它的構(gòu)建是通過這些屬性之間可能存在的依存關(guān)系給予具體說明與界定的，通過圖表的方式來表征任務(wù)。這一認(rèn)知模型對(duì)教師的教學(xué)非常有啟示。此外，她還指出通過心理學(xué)的研究可以得出屬性層級(jí)之間的關(guān)系，主要有4種，即線性型、收斂性、分支型、無結(jié)構(gòu)型，且屬性層級(jí)關(guān)系是認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)設(shè)計(jì)與試題編制的重要依據(jù)和前提，而幾何類比推理的認(rèn)知屬性，如位置移置、旋轉(zhuǎn)、反射、數(shù)量、大小、陰影、形狀沒有層級(jí)關(guān)系，其掌握模式，即被試的知識(shí)狀態(tài)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從理論上講存在128種。

同時(shí)，她指出有關(guān)幾何類比推理認(rèn)知診斷的結(jié)果主要有兩個(gè)，一是屬性難度參數(shù)估計(jì)，二是屬性錯(cuò)誤認(rèn)知率，并針對(duì)國內(nèi)外屬性難度參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)雖然兩種模型估計(jì)的參數(shù)大小不同，但其相同點(diǎn)是反射和旋轉(zhuǎn)對(duì)項(xiàng)目的難度貢獻(xiàn)率最大，而且會(huì)出現(xiàn)大小屬性的難度參數(shù)估計(jì)差異，這可能是由于被試差異、研究者對(duì)屬性的認(rèn)知等原因?qū)е碌摹ａ槍?duì)屬性錯(cuò)誤認(rèn)知率進(jìn)行分析，她指出能夠發(fā)現(xiàn)四至八年級(jí)中約70%的學(xué)生能全部掌握幾何類比推理的7種認(rèn)知屬性，出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方主要集中在反射、旋轉(zhuǎn)和大小等方面。

借用李秉彝教授的話，“幾何本身是無處不在的，關(guān)鍵之處并不在于教的內(nèi)容，而在于教的方法”，她認(rèn)為幾何類比推理認(rèn)知模型對(duì)幾何課程教學(xué)研究有很大的啟示，主要表現(xiàn)在：在教學(xué)思考方面，教師要思考怎么教，加強(qiáng)對(duì)幾何課程內(nèi)容的研究；在課程設(shè)置方面，要進(jìn)行實(shí)證研究，確定幾何類比推理的難點(diǎn)，找出原因，提出對(duì)策，并對(duì)認(rèn)知屬性錯(cuò)誤率進(jìn)行研究。因此，她認(rèn)為可以在幾何課程改革中強(qiáng)化對(duì)屬性的教學(xué)，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整屬性教學(xué)的難度，降低內(nèi)容要求，重視思維的訓(xùn)練與初高中的銜接。

最后，她認(rèn)為幾何類比推理認(rèn)知診斷未來發(fā)展的方向是進(jìn)一步驗(yàn)證幾何類比推理屬性分類與屬性層級(jí)關(guān)系，編制科學(xué)合理的幾何類比推理認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目，為學(xué)生構(gòu)造最優(yōu)的測(cè)驗(yàn)，進(jìn)行不同群體的幾何類比推理群體水平認(rèn)知診斷研究，加強(qiáng)認(rèn)知診斷補(bǔ)救教學(xué)研究。

數(shù)學(xué)教育離不開數(shù)學(xué)課程，數(shù)學(xué)課程的實(shí)施離不開教材，教材內(nèi)容的有效落實(shí)也離不開教師的教與學(xué)生的學(xué)，關(guān)鍵之處在于教師教學(xué)的方式與學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。因此，不管是大陸地區(qū)的義務(wù)教育，還是臺(tái)灣地區(qū)的“十二年國民基本教育”，對(duì)數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)課程的研究一直是所有數(shù)學(xué)教育工作者與一線教師要深入思考的重要內(nèi)容。

（責(zé)任編輯：孫建輝）