沖刺復(fù)習(xí)=課本+反思

鄧志玲

目前，高三數(shù)學(xué)課教學(xué)已進(jìn)入考前緊張而又關(guān)鍵的復(fù)習(xí)階段．千變?nèi)f化的題目，考查的都是書本上的基本知識(shí)．因而，近一階段，“回歸課本”成為引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)的做法，但在實(shí)際教學(xué)中，很多師生感覺這一提法比較空洞，具體到操作層面上說，那應(yīng)該怎么做呢？筆者嘗試以數(shù)列為載體，闡述回歸課本的含義及做法．

１． 回歸課本的含義

當(dāng)?shù)谝淮芜\(yùn)用課本的時(shí)候，所得必然是零散的、平面的，缺乏必要的深度和高度，把它叫做走進(jìn)課本．而回歸課本，就是要站在數(shù)學(xué)整體的高度與課本對(duì)話，讓不同領(lǐng)域的知識(shí)交匯，成為系統(tǒng)．比如數(shù)列，在教材中主要是必修５（數(shù)列），選修２－２（ 歸納推理）有所涉及，走進(jìn)課本時(shí)，這兩個(gè)領(lǐng)域是各自為政的，回歸課本時(shí)，它們就可以相互融合了．既在解決數(shù)列問題時(shí)，等差數(shù)列和等比數(shù)列是基本模型，很多問題都可以化歸為等差數(shù)列或者等比數(shù)列．當(dāng)不能化歸時(shí)，可以通過合情推理來猜想證明．而這種融合正是高考考查的重點(diǎn)：考生對(duì)教材的領(lǐng)悟和把握．以下通過對(duì)近兩年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)數(shù)列綜合題進(jìn)行分析，體會(huì)回歸課本，“一覽眾山小”的感覺．

試題１．（２０１３年高考廣東卷理數(shù)，１９）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，已知ａ１＝１，■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■，ｎ∈Ｎ?鄢．

（１）求ａ２的值；

（２）求數(shù)列｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式；

（３）證明：對(duì)一切正整數(shù)ｎ，有■＋■＋…＋■＜■．

試題２．（２０１２年高考廣東卷理數(shù)，１９）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，滿足２Ｓｎ＝ａｎ＋１－２ｎ＋１＋１，ｎ∈Ｎ?鄢，且ａ１，ａ２＋５，ａ３成等差數(shù)列．

（１）求ａ１的值；

（２）求數(shù)列｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式；

（３）證明：對(duì)一切正整數(shù)ｎ有，■＋■＋…＋■＜■．

試題的難點(diǎn)在第（２）問及第（３）問，其中關(guān)鍵是通項(xiàng)公式的求解．

解法１：等差數(shù)列和等比數(shù)列是基本模型，通過對(duì)條件的充分剖析，將遞推關(guān)系構(gòu)造成等差或等比數(shù)列來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．

試題１． 把■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■變形為２Ｓｎ＝ｎ·ａｎ＋１－■ｎ３－ｎ２－■ｎ．

根據(jù)２ａｎ＝２Ｓｎ－２Ｓｎ－１（ｎ≥２），得：

２ａｎ＝［ｎ·ａｎ＋１－■ｎ３－ｎ２－■ｎ］－［（ｎ－１）·ａｎ－■（ｎ－１）３－（ｎ－１）２－

■（ｎ－１）］．

化簡(jiǎn)得：ａｎ＋１＝■·ａｎ＋ｎ＋１，此式可化為■＝■＋１，

即｛■｝是首項(xiàng)為１、公差為１的等差數(shù)列，解得ａｎ＝ｎ２．

試題２． 由于２Ｓｎ＝ａｎ＋１－２ｎ＋１＋１，根據(jù)得２ａｎ＝２Ｓｎ－２Ｓｎ－１（ｎ≥２），得ａｎ＋１－３ａｎ＝２ｎ，變形為■－■·■＝１，從而可得■＋２＝■·（■＋２）．

即｛■＋２｝是首項(xiàng)為３，公比為■的等比數(shù)列，解得ａｎ＝３ｎ－２ｎ．

解法２：當(dāng)不能化歸等差數(shù)列或等比數(shù)列這一基本模型時(shí)，可以通過合情推理來猜想證明．

試題１． 由■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■，令ｎ＝１，得ａ２＝４＝２２．

同理，令ｎ＝２，得ａ３＝９＝３２；令ｎ＝３，得ａ４＝１６＝４２．

猜想：ａｎ＝ｎ２．再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）．

試題２． 由條件可得ａ１＝１；ａｎ＋１－３ａｎ＝２ｎ，從而得ａ２＝３ａ１＋２＝３＋２＝３２－２２．

依此類推，則ａ３＝３ａ２＋２２＝３（３２－２２）＋２２＝３３－２３；ａ４＝３ａ３＋２３＝３（３３－２３）＝３４－２４．

猜想：ａｎ＝３ｎ－２ｎ．再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）．

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的聯(lián)系，各部分知識(shí)存在著縱向和橫向的聯(lián)系，通過回歸課本，能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和方法體系的構(gòu)建，使知識(shí)和能力產(chǎn)生良性的遷移．

２． 回歸課本的做法

這一階段是一個(gè)反思的階段，主要是對(duì)課本里的概念、性質(zhì)、公式以及內(nèi)涵、外延進(jìn)行整理，理清前后知識(shí)結(jié)構(gòu)，將整個(gè)知識(shí)體系建立框架，并有意識(shí)地強(qiáng)化知識(shí)的橫縱聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)．所以，回歸課本主要是打破模塊的界限，按不同的主線對(duì)課本進(jìn)行閱讀及反思．

（１）以概念、定理、命題為核心的閱讀內(nèi)容可按如下框架（圖一）進(jìn)行反思，提煉；

（２）以證明、解題過程為核心的閱讀內(nèi)容可按如下框架（圖二）進(jìn)行反思，提煉；

回歸課本并不是簡(jiǎn)單地重溫課本，它強(qiáng)調(diào)整體把握，更強(qiáng)調(diào)反思．通過反思，把握教材所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精髓，提煉教材中的通性、通法．比如，通過對(duì)教材等差數(shù)列和等比數(shù)列的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，提煉出求數(shù)列通項(xiàng)的重要思想方法——觀察歸納思想、累加思想和累乘思想．通過對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，提煉出數(shù)列求和的重要思想方法——函數(shù)與方程思想，倒序相加法、錯(cuò)位相減法，其中對(duì)公比是否等于１的討論還體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．

事實(shí)表明，最終執(zhí)高考之牛耳者，必定是那些真正回歸了課本的人們．

（作者單位：茂名市第一中學(xué) ）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

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目前，高三數(shù)學(xué)課教學(xué)已進(jìn)入考前緊張而又關(guān)鍵的復(fù)習(xí)階段．千變?nèi)f化的題目，考查的都是書本上的基本知識(shí)．因而，近一階段，“回歸課本”成為引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)的做法，但在實(shí)際教學(xué)中，很多師生感覺這一提法比較空洞，具體到操作層面上說，那應(yīng)該怎么做呢？筆者嘗試以數(shù)列為載體，闡述回歸課本的含義及做法．

１． 回歸課本的含義

當(dāng)?shù)谝淮芜\(yùn)用課本的時(shí)候，所得必然是零散的、平面的，缺乏必要的深度和高度，把它叫做走進(jìn)課本．而回歸課本，就是要站在數(shù)學(xué)整體的高度與課本對(duì)話，讓不同領(lǐng)域的知識(shí)交匯，成為系統(tǒng)．比如數(shù)列，在教材中主要是必修５（數(shù)列），選修２－２（ 歸納推理）有所涉及，走進(jìn)課本時(shí)，這兩個(gè)領(lǐng)域是各自為政的，回歸課本時(shí)，它們就可以相互融合了．既在解決數(shù)列問題時(shí)，等差數(shù)列和等比數(shù)列是基本模型，很多問題都可以化歸為等差數(shù)列或者等比數(shù)列．當(dāng)不能化歸時(shí)，可以通過合情推理來猜想證明．而這種融合正是高考考查的重點(diǎn)：考生對(duì)教材的領(lǐng)悟和把握．以下通過對(duì)近兩年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)數(shù)列綜合題進(jìn)行分析，體會(huì)回歸課本，“一覽眾山小”的感覺．

試題１．（２０１３年高考廣東卷理數(shù)，１９）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，已知ａ１＝１，■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■，ｎ∈Ｎ?鄢．

（１）求ａ２的值；

（２）求數(shù)列｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式；

（３）證明：對(duì)一切正整數(shù)ｎ，有■＋■＋…＋■＜■．

試題２．（２０１２年高考廣東卷理數(shù)，１９）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，滿足２Ｓｎ＝ａｎ＋１－２ｎ＋１＋１，ｎ∈Ｎ?鄢，且ａ１，ａ２＋５，ａ３成等差數(shù)列．

（１）求ａ１的值；

（２）求數(shù)列｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式；

（３）證明：對(duì)一切正整數(shù)ｎ有，■＋■＋…＋■＜■．

試題的難點(diǎn)在第（２）問及第（３）問，其中關(guān)鍵是通項(xiàng)公式的求解．

解法１：等差數(shù)列和等比數(shù)列是基本模型，通過對(duì)條件的充分剖析，將遞推關(guān)系構(gòu)造成等差或等比數(shù)列來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．

試題１． 把■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■變形為２Ｓｎ＝ｎ·ａｎ＋１－■ｎ３－ｎ２－■ｎ．

根據(jù)２ａｎ＝２Ｓｎ－２Ｓｎ－１（ｎ≥２），得：

２ａｎ＝［ｎ·ａｎ＋１－■ｎ３－ｎ２－■ｎ］－［（ｎ－１）·ａｎ－■（ｎ－１）３－（ｎ－１）２－

■（ｎ－１）］．

化簡(jiǎn)得：ａｎ＋１＝■·ａｎ＋ｎ＋１，此式可化為■＝■＋１，

即｛■｝是首項(xiàng)為１、公差為１的等差數(shù)列，解得ａｎ＝ｎ２．

試題２． 由于２Ｓｎ＝ａｎ＋１－２ｎ＋１＋１，根據(jù)得２ａｎ＝２Ｓｎ－２Ｓｎ－１（ｎ≥２），得ａｎ＋１－３ａｎ＝２ｎ，變形為■－■·■＝１，從而可得■＋２＝■·（■＋２）．

即｛■＋２｝是首項(xiàng)為３，公比為■的等比數(shù)列，解得ａｎ＝３ｎ－２ｎ．

解法２：當(dāng)不能化歸等差數(shù)列或等比數(shù)列這一基本模型時(shí)，可以通過合情推理來猜想證明．

試題１． 由■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■，令ｎ＝１，得ａ２＝４＝２２．

同理，令ｎ＝２，得ａ３＝９＝３２；令ｎ＝３，得ａ４＝１６＝４２．

猜想：ａｎ＝ｎ２．再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）．

試題２． 由條件可得ａ１＝１；ａｎ＋１－３ａｎ＝２ｎ，從而得ａ２＝３ａ１＋２＝３＋２＝３２－２２．

依此類推，則ａ３＝３ａ２＋２２＝３（３２－２２）＋２２＝３３－２３；ａ４＝３ａ３＋２３＝３（３３－２３）＝３４－２４．

猜想：ａｎ＝３ｎ－２ｎ．再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）．

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的聯(lián)系，各部分知識(shí)存在著縱向和橫向的聯(lián)系，通過回歸課本，能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和方法體系的構(gòu)建，使知識(shí)和能力產(chǎn)生良性的遷移．

２． 回歸課本的做法

這一階段是一個(gè)反思的階段，主要是對(duì)課本里的概念、性質(zhì)、公式以及內(nèi)涵、外延進(jìn)行整理，理清前后知識(shí)結(jié)構(gòu)，將整個(gè)知識(shí)體系建立框架，并有意識(shí)地強(qiáng)化知識(shí)的橫縱聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)．所以，回歸課本主要是打破模塊的界限，按不同的主線對(duì)課本進(jìn)行閱讀及反思．

（１）以概念、定理、命題為核心的閱讀內(nèi)容可按如下框架（圖一）進(jìn)行反思，提煉；

（２）以證明、解題過程為核心的閱讀內(nèi)容可按如下框架（圖二）進(jìn)行反思，提煉；

回歸課本并不是簡(jiǎn)單地重溫課本，它強(qiáng)調(diào)整體把握，更強(qiáng)調(diào)反思．通過反思，把握教材所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精髓，提煉教材中的通性、通法．比如，通過對(duì)教材等差數(shù)列和等比數(shù)列的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，提煉出求數(shù)列通項(xiàng)的重要思想方法——觀察歸納思想、累加思想和累乘思想．通過對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，提煉出數(shù)列求和的重要思想方法——函數(shù)與方程思想，倒序相加法、錯(cuò)位相減法，其中對(duì)公比是否等于１的討論還體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．

事實(shí)表明，最終執(zhí)高考之牛耳者，必定是那些真正回歸了課本的人們．

（作者單位：茂名市第一中學(xué) ）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

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目前，高三數(shù)學(xué)課教學(xué)已進(jìn)入考前緊張而又關(guān)鍵的復(fù)習(xí)階段．千變?nèi)f化的題目，考查的都是書本上的基本知識(shí)．因而，近一階段，“回歸課本”成為引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)的做法，但在實(shí)際教學(xué)中，很多師生感覺這一提法比較空洞，具體到操作層面上說，那應(yīng)該怎么做呢？筆者嘗試以數(shù)列為載體，闡述回歸課本的含義及做法．

１． 回歸課本的含義

當(dāng)?shù)谝淮芜\(yùn)用課本的時(shí)候，所得必然是零散的、平面的，缺乏必要的深度和高度，把它叫做走進(jìn)課本．而回歸課本，就是要站在數(shù)學(xué)整體的高度與課本對(duì)話，讓不同領(lǐng)域的知識(shí)交匯，成為系統(tǒng)．比如數(shù)列，在教材中主要是必修５（數(shù)列），選修２－２（ 歸納推理）有所涉及，走進(jìn)課本時(shí)，這兩個(gè)領(lǐng)域是各自為政的，回歸課本時(shí)，它們就可以相互融合了．既在解決數(shù)列問題時(shí)，等差數(shù)列和等比數(shù)列是基本模型，很多問題都可以化歸為等差數(shù)列或者等比數(shù)列．當(dāng)不能化歸時(shí)，可以通過合情推理來猜想證明．而這種融合正是高考考查的重點(diǎn)：考生對(duì)教材的領(lǐng)悟和把握．以下通過對(duì)近兩年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)數(shù)列綜合題進(jìn)行分析，體會(huì)回歸課本，“一覽眾山小”的感覺．

試題１．（２０１３年高考廣東卷理數(shù)，１９）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，已知ａ１＝１，■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■，ｎ∈Ｎ?鄢．

（１）求ａ２的值；

（２）求數(shù)列｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式；

（３）證明：對(duì)一切正整數(shù)ｎ，有■＋■＋…＋■＜■．

試題２．（２０１２年高考廣東卷理數(shù)，１９）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，滿足２Ｓｎ＝ａｎ＋１－２ｎ＋１＋１，ｎ∈Ｎ?鄢，且ａ１，ａ２＋５，ａ３成等差數(shù)列．

（１）求ａ１的值；

（２）求數(shù)列｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式；

（３）證明：對(duì)一切正整數(shù)ｎ有，■＋■＋…＋■＜■．

試題的難點(diǎn)在第（２）問及第（３）問，其中關(guān)鍵是通項(xiàng)公式的求解．

解法１：等差數(shù)列和等比數(shù)列是基本模型，通過對(duì)條件的充分剖析，將遞推關(guān)系構(gòu)造成等差或等比數(shù)列來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．

試題１． 把■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■變形為２Ｓｎ＝ｎ·ａｎ＋１－■ｎ３－ｎ２－■ｎ．

根據(jù)２ａｎ＝２Ｓｎ－２Ｓｎ－１（ｎ≥２），得：

２ａｎ＝［ｎ·ａｎ＋１－■ｎ３－ｎ２－■ｎ］－［（ｎ－１）·ａｎ－■（ｎ－１）３－（ｎ－１）２－

■（ｎ－１）］．

化簡(jiǎn)得：ａｎ＋１＝■·ａｎ＋ｎ＋１，此式可化為■＝■＋１，

即｛■｝是首項(xiàng)為１、公差為１的等差數(shù)列，解得ａｎ＝ｎ２．

試題２． 由于２Ｓｎ＝ａｎ＋１－２ｎ＋１＋１，根據(jù)得２ａｎ＝２Ｓｎ－２Ｓｎ－１（ｎ≥２），得ａｎ＋１－３ａｎ＝２ｎ，變形為■－■·■＝１，從而可得■＋２＝■·（■＋２）．

即｛■＋２｝是首項(xiàng)為３，公比為■的等比數(shù)列，解得ａｎ＝３ｎ－２ｎ．

解法２：當(dāng)不能化歸等差數(shù)列或等比數(shù)列這一基本模型時(shí)，可以通過合情推理來猜想證明．

試題１． 由■＝ａｎ＋１－■ｎ２－ｎ－■，令ｎ＝１，得ａ２＝４＝２２．

同理，令ｎ＝２，得ａ３＝９＝３２；令ｎ＝３，得ａ４＝１６＝４２．

猜想：ａｎ＝ｎ２．再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）．

試題２． 由條件可得ａ１＝１；ａｎ＋１－３ａｎ＝２ｎ，從而得ａ２＝３ａ１＋２＝３＋２＝３２－２２．

依此類推，則ａ３＝３ａ２＋２２＝３（３２－２２）＋２２＝３３－２３；ａ４＝３ａ３＋２３＝３（３３－２３）＝３４－２４．

猜想：ａｎ＝３ｎ－２ｎ．再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）．

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的聯(lián)系，各部分知識(shí)存在著縱向和橫向的聯(lián)系，通過回歸課本，能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和方法體系的構(gòu)建，使知識(shí)和能力產(chǎn)生良性的遷移．

２． 回歸課本的做法

這一階段是一個(gè)反思的階段，主要是對(duì)課本里的概念、性質(zhì)、公式以及內(nèi)涵、外延進(jìn)行整理，理清前后知識(shí)結(jié)構(gòu)，將整個(gè)知識(shí)體系建立框架，并有意識(shí)地強(qiáng)化知識(shí)的橫縱聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)．所以，回歸課本主要是打破模塊的界限，按不同的主線對(duì)課本進(jìn)行閱讀及反思．

（１）以概念、定理、命題為核心的閱讀內(nèi)容可按如下框架（圖一）進(jìn)行反思，提煉；

（２）以證明、解題過程為核心的閱讀內(nèi)容可按如下框架（圖二）進(jìn)行反思，提煉；

回歸課本并不是簡(jiǎn)單地重溫課本，它強(qiáng)調(diào)整體把握，更強(qiáng)調(diào)反思．通過反思，把握教材所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精髓，提煉教材中的通性、通法．比如，通過對(duì)教材等差數(shù)列和等比數(shù)列的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，提煉出求數(shù)列通項(xiàng)的重要思想方法——觀察歸納思想、累加思想和累乘思想．通過對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，提煉出數(shù)列求和的重要思想方法——函數(shù)與方程思想，倒序相加法、錯(cuò)位相減法，其中對(duì)公比是否等于１的討論還體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．

事實(shí)表明，最終執(zhí)高考之牛耳者，必定是那些真正回歸了課本的人們．

（作者單位：茂名市第一中學(xué) ）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

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