活動(dòng)與探究:中點(diǎn)四邊形

胡華春

順次連接任意四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)所組成的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形，如圖1，它一定是平行四邊形. 這個(gè)結(jié)論是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·瓦里格農(nóng)（Pierre Varignon，1654年-1722年）發(fā)現(xiàn)的，并且他還發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半. 但遺憾的是，他所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論直到他逝世后的1731年才被作為定理發(fā)表. 人們?yōu)榱思o(jì)念這位杰出的數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，把中點(diǎn)四邊形稱為瓦里格農(nóng)平行四邊形. 下面，請同學(xué)們來一起研究中點(diǎn)四邊形與原四邊形之間的關(guān)系.

活動(dòng)1 （1） 探索矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是______形.

請你畫矩形ABCD和其中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖2，觀察猜想四邊形EFGH的形狀. 由三角形中位線的性質(zhì)得：HG=AC，HE=BD，又矩形的對角線AC=BD，故HG=HE，所以四邊形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形”的逆命題是___________. 這個(gè)逆命題是______命題（填“真”或“假”）.

（3） 請你畫一個(gè)等腰梯形ABCD和它的中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖3.

你一定能說明此時(shí)的中點(diǎn)四邊形也是菱形. 可見，（2）中的逆命題“四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，則原四邊形ABCD是矩形”是假命題.

（4） 當(dāng)四邊形ABCD滿足條件______時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中點(diǎn)四邊形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的對角線相等這一共同的性質(zhì)使得它們的中點(diǎn)四邊形中有一組鄰邊相等.因此，要四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，只要使原四邊形ABCD的對角線相等即可.

請你畫一個(gè)四邊形ABCD，并使對角線AC=BD，再畫出中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖4，你能說明四邊形EFGH一定是菱形嗎？

（5） 歸納：原四邊形的對角線相等的數(shù)量關(guān)系正好為中點(diǎn)四邊形的鄰邊提供了相等這一數(shù)量關(guān)系，從而使中點(diǎn)四邊形為菱形.

活動(dòng)2 活動(dòng)1為我們研究這類問題提供了一個(gè)模式，請你參照活動(dòng)1的研究過程探索以下問題：

（1） 菱形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是什么特殊四邊形，如圖5，猜想并說明？

（2） 當(dāng)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形時(shí)，如圖6，則原四邊形ABCD只需滿足什么條件？

（3） 歸納：原四邊形的對角線______的位置關(guān)系為中點(diǎn)四邊形的鄰邊提供了______這一位置關(guān)系，從而使中點(diǎn)四邊形為矩形.

（4） 請你結(jié)合上述活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并通過畫圖說明：要使中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形，則原四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件？

活動(dòng)3 探究中點(diǎn)四邊形與原四邊形之間的面積關(guān)系.

請你從特殊情況入手，如圖6，原四邊形ABCD的面積為AC·BD，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積為EF·EH=AC·BD，所以中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.由此猜想：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形的一半，如圖1.

探究方法：如圖7，請你說明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四個(gè)三角形全等，所以這四個(gè)三角形的面積都為△ABC的. 如圖8，由圖7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四邊形ABCD，故中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

活動(dòng)4 當(dāng)原四邊形是凹四邊形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形要成為菱形、矩形、正方形，那么原四邊形又需要滿足什么條件呢？它的中點(diǎn)四邊形的面積還是原四邊形的一半嗎？請你按照上述的研究方法進(jìn)行探索.

可見，在研究中點(diǎn)四邊形的過程中，四邊形（特別是特殊四邊形）的性質(zhì)和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四邊形提供了對角線的數(shù)量相等或位置垂直這種關(guān)系，通過三角形的中位線傳遞給了中點(diǎn)四邊形的鄰邊，從而決定中點(diǎn)四邊形的形狀.類比與變式是研究問題的基本方法，把研究凸四邊形與其中點(diǎn)四邊形的關(guān)系的方法可以遷移到研究凹四邊形中. 探究中運(yùn)用三角形中位線所構(gòu)成的基本圖形來溝通中點(diǎn)四邊形的邊與原四邊形的對角線、面積與面積之間的關(guān)系，同學(xué)們要注重在探究過程中積累這些基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學(xué)）

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順次連接任意四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)所組成的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形，如圖1，它一定是平行四邊形. 這個(gè)結(jié)論是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·瓦里格農(nóng)（Pierre Varignon，1654年-1722年）發(fā)現(xiàn)的，并且他還發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半. 但遺憾的是，他所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論直到他逝世后的1731年才被作為定理發(fā)表. 人們?yōu)榱思o(jì)念這位杰出的數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，把中點(diǎn)四邊形稱為瓦里格農(nóng)平行四邊形. 下面，請同學(xué)們來一起研究中點(diǎn)四邊形與原四邊形之間的關(guān)系.

活動(dòng)1 （1） 探索矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是______形.

請你畫矩形ABCD和其中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖2，觀察猜想四邊形EFGH的形狀. 由三角形中位線的性質(zhì)得：HG=AC，HE=BD，又矩形的對角線AC=BD，故HG=HE，所以四邊形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形”的逆命題是___________. 這個(gè)逆命題是______命題（填“真”或“假”）.

（3） 請你畫一個(gè)等腰梯形ABCD和它的中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖3.

你一定能說明此時(shí)的中點(diǎn)四邊形也是菱形. 可見，（2）中的逆命題“四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，則原四邊形ABCD是矩形”是假命題.

（4） 當(dāng)四邊形ABCD滿足條件______時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中點(diǎn)四邊形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的對角線相等這一共同的性質(zhì)使得它們的中點(diǎn)四邊形中有一組鄰邊相等.因此，要四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，只要使原四邊形ABCD的對角線相等即可.

請你畫一個(gè)四邊形ABCD，并使對角線AC=BD，再畫出中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖4，你能說明四邊形EFGH一定是菱形嗎？

（5） 歸納：原四邊形的對角線相等的數(shù)量關(guān)系正好為中點(diǎn)四邊形的鄰邊提供了相等這一數(shù)量關(guān)系，從而使中點(diǎn)四邊形為菱形.

活動(dòng)2 活動(dòng)1為我們研究這類問題提供了一個(gè)模式，請你參照活動(dòng)1的研究過程探索以下問題：

（1） 菱形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是什么特殊四邊形，如圖5，猜想并說明？

（2） 當(dāng)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形時(shí)，如圖6，則原四邊形ABCD只需滿足什么條件？

（3） 歸納：原四邊形的對角線______的位置關(guān)系為中點(diǎn)四邊形的鄰邊提供了______這一位置關(guān)系，從而使中點(diǎn)四邊形為矩形.

（4） 請你結(jié)合上述活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并通過畫圖說明：要使中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形，則原四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件？

活動(dòng)3 探究中點(diǎn)四邊形與原四邊形之間的面積關(guān)系.

請你從特殊情況入手，如圖6，原四邊形ABCD的面積為AC·BD，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積為EF·EH=AC·BD，所以中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.由此猜想：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形的一半，如圖1.

探究方法：如圖7，請你說明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四個(gè)三角形全等，所以這四個(gè)三角形的面積都為△ABC的. 如圖8，由圖7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四邊形ABCD，故中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

活動(dòng)4 當(dāng)原四邊形是凹四邊形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形要成為菱形、矩形、正方形，那么原四邊形又需要滿足什么條件呢？它的中點(diǎn)四邊形的面積還是原四邊形的一半嗎？請你按照上述的研究方法進(jìn)行探索.

可見，在研究中點(diǎn)四邊形的過程中，四邊形（特別是特殊四邊形）的性質(zhì)和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四邊形提供了對角線的數(shù)量相等或位置垂直這種關(guān)系，通過三角形的中位線傳遞給了中點(diǎn)四邊形的鄰邊，從而決定中點(diǎn)四邊形的形狀.類比與變式是研究問題的基本方法，把研究凸四邊形與其中點(diǎn)四邊形的關(guān)系的方法可以遷移到研究凹四邊形中. 探究中運(yùn)用三角形中位線所構(gòu)成的基本圖形來溝通中點(diǎn)四邊形的邊與原四邊形的對角線、面積與面積之間的關(guān)系，同學(xué)們要注重在探究過程中積累這些基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學(xué)）

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順次連接任意四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)所組成的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形，如圖1，它一定是平行四邊形. 這個(gè)結(jié)論是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·瓦里格農(nóng)（Pierre Varignon，1654年-1722年）發(fā)現(xiàn)的，并且他還發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半. 但遺憾的是，他所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論直到他逝世后的1731年才被作為定理發(fā)表. 人們?yōu)榱思o(jì)念這位杰出的數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，把中點(diǎn)四邊形稱為瓦里格農(nóng)平行四邊形. 下面，請同學(xué)們來一起研究中點(diǎn)四邊形與原四邊形之間的關(guān)系.

活動(dòng)1 （1） 探索矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是______形.

請你畫矩形ABCD和其中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖2，觀察猜想四邊形EFGH的形狀. 由三角形中位線的性質(zhì)得：HG=AC，HE=BD，又矩形的對角線AC=BD，故HG=HE，所以四邊形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形”的逆命題是___________. 這個(gè)逆命題是______命題（填“真”或“假”）.

（3） 請你畫一個(gè)等腰梯形ABCD和它的中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖3.

你一定能說明此時(shí)的中點(diǎn)四邊形也是菱形. 可見，（2）中的逆命題“四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，則原四邊形ABCD是矩形”是假命題.

（4） 當(dāng)四邊形ABCD滿足條件______時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中點(diǎn)四邊形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的對角線相等這一共同的性質(zhì)使得它們的中點(diǎn)四邊形中有一組鄰邊相等.因此，要四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，只要使原四邊形ABCD的對角線相等即可.

請你畫一個(gè)四邊形ABCD，并使對角線AC=BD，再畫出中點(diǎn)四邊形EFGH，如圖4，你能說明四邊形EFGH一定是菱形嗎？

（5） 歸納：原四邊形的對角線相等的數(shù)量關(guān)系正好為中點(diǎn)四邊形的鄰邊提供了相等這一數(shù)量關(guān)系，從而使中點(diǎn)四邊形為菱形.

活動(dòng)2 活動(dòng)1為我們研究這類問題提供了一個(gè)模式，請你參照活動(dòng)1的研究過程探索以下問題：

（1） 菱形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是什么特殊四邊形，如圖5，猜想并說明？

（2） 當(dāng)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形時(shí)，如圖6，則原四邊形ABCD只需滿足什么條件？

（3） 歸納：原四邊形的對角線______的位置關(guān)系為中點(diǎn)四邊形的鄰邊提供了______這一位置關(guān)系，從而使中點(diǎn)四邊形為矩形.

（4） 請你結(jié)合上述活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并通過畫圖說明：要使中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形，則原四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件？

活動(dòng)3 探究中點(diǎn)四邊形與原四邊形之間的面積關(guān)系.

請你從特殊情況入手，如圖6，原四邊形ABCD的面積為AC·BD，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積為EF·EH=AC·BD，所以中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.由此猜想：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形的一半，如圖1.

探究方法：如圖7，請你說明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四個(gè)三角形全等，所以這四個(gè)三角形的面積都為△ABC的. 如圖8，由圖7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四邊形ABCD，故中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

活動(dòng)4 當(dāng)原四邊形是凹四邊形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形要成為菱形、矩形、正方形，那么原四邊形又需要滿足什么條件呢？它的中點(diǎn)四邊形的面積還是原四邊形的一半嗎？請你按照上述的研究方法進(jìn)行探索.

可見，在研究中點(diǎn)四邊形的過程中，四邊形（特別是特殊四邊形）的性質(zhì)和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四邊形提供了對角線的數(shù)量相等或位置垂直這種關(guān)系，通過三角形的中位線傳遞給了中點(diǎn)四邊形的鄰邊，從而決定中點(diǎn)四邊形的形狀.類比與變式是研究問題的基本方法，把研究凸四邊形與其中點(diǎn)四邊形的關(guān)系的方法可以遷移到研究凹四邊形中. 探究中運(yùn)用三角形中位線所構(gòu)成的基本圖形來溝通中點(diǎn)四邊形的邊與原四邊形的對角線、面積與面積之間的關(guān)系，同學(xué)們要注重在探究過程中積累這些基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學(xué)）

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