中考復(fù)習(xí)函數(shù)型應(yīng)用問題題型分析

吳金有

初中階段所學(xué)的函數(shù)主要有一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，在解決函數(shù)問題的時(shí)候要注意每種函數(shù)的時(shí)候要注意各自的特點(diǎn)形式：

“靠近課本，貼近生活，聯(lián)系實(shí)際”是近年中考函數(shù)應(yīng)用題編題原則，因此在廣泛的社會(huì)生活、經(jīng)濟(jì)生活中，抽取靠近課本的數(shù)學(xué)模型是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)問題，解決次類問題經(jīng)常使用待定系法求解析問題，但這類問題蘊(yùn)含有代入消元法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，又極易與方程、不等式、幾何等初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)相融合。

類型之一、分段函數(shù)應(yīng)用題

分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種情況以上，解答時(shí)需分段討論。在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問題，因此，分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型。

例1：2013年春節(jié)前夕，南方地區(qū)遭遇罕見的低溫雨雪冰凍天氣，贛南臍橙受災(zāi)滯銷。為了減少果農(nóng)的損失，政府部門出臺(tái)了相關(guān)補(bǔ)貼政策：采取每千克補(bǔ)貼0.2元的辦法補(bǔ)償果農(nóng)。

下圖是“綠蔭”果園受災(zāi)期間政府補(bǔ)助前、后臍橙銷售總收入y（萬(wàn)元）與銷售量x（噸）的關(guān)系圖。請(qǐng)結(jié)合圖象回答以下問題：

（1）在出臺(tái)該項(xiàng)優(yōu)惠政策前，臍橙的售價(jià)為每千克多少元？

（2）出臺(tái)該項(xiàng)優(yōu)惠政策后，“綠蔭”果園將剩余臍橙按原售價(jià)打九折趕緊全部銷完，加上政府補(bǔ)貼共收入11.7萬(wàn)元，求果園共銷售了多少噸臍橙？

（3）①求出臺(tái)該項(xiàng)優(yōu)惠政策后y與x的函數(shù)關(guān)系式；②去年“綠蔭”果園銷售30噸，總收入為10.25萬(wàn)元；若按今年的銷售方式，則至少要銷售多少噸臍橙？總收入能達(dá)到去年水平。

【分析】從函數(shù)圖象容易看出前面一段是出臺(tái)該項(xiàng)優(yōu)惠政策前的情況，后面一段是出臺(tái)該項(xiàng)優(yōu)惠政策后的情況，前面一段所有的量已經(jīng)知道，容易求出該果園共銷售臍橙的重量，為后面一段的求值奠定了基礎(chǔ)。

（1）政策出臺(tái)前的臍橙售價(jià)為

；

（2）設(shè)剩余臍橙為x噸,則 103×（3×9+0.2）x=11.7×104

∴

該果園共銷售了10 +30 = 40噸臍橙 ；

（3）①設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+n(10≤x≤40)，

代入兩點(diǎn)（10，3）、（40，11.7）

得：

解得：函數(shù)關(guān)系式為y=0.29x+0.1(10≤x≤40)，

②令y≥10.25(萬(wàn)元)，則10.25≤0.29x+0.1

解得x≥35（噸）

答：（1）原售價(jià)是3元/千克；（2）果園共銷售40噸臍橙；（3）①函數(shù)關(guān)系式為y=0.29x+0.1(10≤x≤40)；

②今年至少要銷售35噸，總收入才達(dá)到去年水平。

類型之二、與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題

二次函數(shù)是一描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，二次函數(shù)在人們的生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，求最大利潤(rùn)、最大面積的例子就是它在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用。

例2：枇杷是浙江名果之一，李大伯果園有100棵枇杷樹。每棵平均產(chǎn)量為40千克，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些枇杷樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵數(shù)接受的陽(yáng)光就會(huì)減少，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，每多種一棵樹，投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會(huì)減少產(chǎn)量0.25千克，問：增種多少棵枇杷樹，投產(chǎn)后可以使果園枇杷的總產(chǎn)量最多？最多總產(chǎn)量是多少千克？

注：拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

【分析】先建立函數(shù)關(guān)系式，把它轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的一般形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求極值.

解：設(shè)增種x棵樹，果園的總產(chǎn)量為y千克，依題意得：y=(100 + x)(40 – 0.25x ) =4000 – 25x + 40 x – 0,25x2 = - 0.25 x2 + 15x + 4000

因?yàn)閍= - 0.25<0，

所以當(dāng)，

y有最大值

y最大值

答：增種30棵枇杷樹，投產(chǎn)后可以使果園枇杷的總產(chǎn)量最多，最多總產(chǎn)量是4225千克。

類型之三、存在探索性函數(shù)問題

存在型探索題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目。解存在性探索題先假設(shè)要探索的問題存在，繼而進(jìn)行推導(dǎo)與計(jì)算，若得出矛盾或錯(cuò)誤的結(jié)論，則不存在，反之即為所求的結(jié)論。探索性問題由于它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強(qiáng)、難度較大，不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且能考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，因而倍受關(guān)注。