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    第五公設(shè)”的故事

    2014-08-07 00:02:35朱陽帆
    初中生世界·八年級 2014年6期
    關(guān)鍵詞:歐幾里得公理數(shù)學(xué)家

    朱陽帆

    在第六章《平面圖形的認(rèn)識(一)》的學(xué)習(xí)中,我們學(xué)到了很多簡單的幾何知識,這些知識源自人類歷史上的光輝巨著《幾何原本》,作者為歐幾里得,是一位古希臘偉大的數(shù)學(xué)家. 我們所學(xué)的幾何通常稱為“歐幾里得幾何”或“歐氏幾何”,就是以他的名字來命名的. 《幾何原本》這本書上一共有五條公設(shè),大家都知道公設(shè)又叫“公理”,是不需要證明直接用的. 其中最后一條公設(shè)是這樣表述的:“若一直線與兩直線相交,且同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角之和,則兩直線延長后必相交于該側(cè)一點(diǎn). ”關(guān)于這條公設(shè)背后有著很多有趣的故事.

    在寫《幾何原本》的時候,歐幾里得總是對這最后一條公設(shè)感到不大滿意,為什么呢?由于它的敘述不像其他四條公設(shè)那樣簡潔明了,所以當(dāng)時就有人懷疑它不像一個公設(shè)而更像一個定理,并由此產(chǎn)生了從其他公設(shè)和定理推出這條公設(shè)的想法.

    從此,也就是從古希臘時代開始,數(shù)學(xué)家們就沒有放棄對第五公設(shè)消除疑問的努力:他們或?qū)で笠砸粋€比較容易接受且更加自然的等價(jià)公設(shè)來代替它;或試圖把它當(dāng)做一條定理由其他公設(shè)、公理推導(dǎo)出來. 在眾多的替代公設(shè)中,今天最常用的就是我們第六章學(xué)的《平面圖形的認(rèn)識(一)》中一條公理:“過一點(diǎn)外有且只有一條直線與這條直線平行. ”一般將這一結(jié)論替代公設(shè)的創(chuàng)意歸功于蘇格蘭數(shù)學(xué)家普萊菲爾,然而問題是:所有這些替代公設(shè)并不比原來的第五公設(shè)更好接受,更加自然.

    文藝復(fù)興時期對希臘學(xué)術(shù)興趣的恢復(fù)使歐洲數(shù)學(xué)家重新關(guān)注起第五公設(shè). 然而,每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設(shè)等價(jià)的假定,要么存在著其他形式的推理錯誤. 而且,這類工作中大多數(shù)對數(shù)學(xué)的進(jìn)展沒多大現(xiàn)實(shí)意義. 因此,在18世界中葉,達(dá)朗貝爾把第五公設(shè)的證明問題稱為“幾何原理”中的家丑.

    “數(shù)學(xué)王子”高斯在15歲的時候,也曾經(jīng)試圖證明過第五公設(shè),并且他在證明其過程中有了新的發(fā)現(xiàn). 與此同時,高斯大學(xué)時代的同學(xué)——W.波爾約,雖然也曾經(jīng)從事第五公設(shè)的證明,但是沒有突出的成就. 在大學(xué)時代,老師認(rèn)為高斯和W.波爾約將是會在數(shù)學(xué)上有杰出成就的人,然而,最后揚(yáng)名的只有高斯一人,原因可能是W.波爾約錯誤地把第五公設(shè)當(dāng)做了自己的研究對象,對此沒有突出的成就. 然而,W.波爾約的兒子約翰·波爾約在研究第五公設(shè)的問題時有了新的發(fā)現(xiàn). 21歲的約翰·波爾約在寫給父親的信中說:“我已從烏有中創(chuàng)造了整個世界.” 1823年,父親把兒子的成果《一個關(guān)于與歐幾里得平行公設(shè)無關(guān)的空間的絕對真實(shí)性學(xué)說》附在自己幾何著作之末,并把該書寄給高斯. 然而高斯回信說:“稱贊他就等于稱贊我自己,整篇文章的內(nèi)容,您兒子所采取的思路和獲得的結(jié)果,與我在30至35年前的思考不謀而合. ”回信使年輕的約翰·波爾約倍感失望,他認(rèn)為高斯剽竊了自己的成果,于是拋棄了心愛的數(shù)學(xué),而去研究神學(xué)了. 但是為什么高斯在30年前發(fā)現(xiàn)的成果卻一直沒有發(fā)表呢?主要是因?yàn)樗械阶约旱陌l(fā)現(xiàn)與當(dāng)時流行的康德空間哲學(xué)相抵觸,擔(dān)心世俗的攻擊. 高斯雖有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),但對于此,卻怯于與傳統(tǒng)公開挑戰(zhàn). 其實(shí)在高斯的遺稿中可以了解到:第五公設(shè)不能從其他歐幾里得公理中推理出來,并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何,他先稱之為《反歐幾里得幾何》,最后改成為《非歐幾何》. 而《非歐幾何》的誕生則是數(shù)學(xué)史上的一件大事,它開辟了幾何新領(lǐng)域.

    那么,在高斯對自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣,約翰·波爾約又去研究神學(xué)之后,誰最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果呢?答案是羅巴切夫斯基,一個最堅(jiān)定地宣傳和捍衛(wèi)了自己的新思想的偉大數(shù)學(xué)家. 他用與第五公設(shè)相反的斷言:通過直線外一點(diǎn),可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線,作為替代公設(shè),并由此出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理,形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論,這就是高斯遺稿中所命名的《非歐幾何》.

    從第五公設(shè)的故事中可以看出數(shù)學(xué)家們對待數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性. 在我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,也應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)他們的這種懷疑一切的精神. 但是我們不能像約翰·波爾約一樣,因?yàn)閯e人比自己先出了成果,就認(rèn)為別人剽竊了自己的成果,最后自暴自棄,去研究神學(xué);也不能像高斯一樣,為了自己“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),怯于與傳統(tǒng)挑戰(zhàn). 因此,我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候,更多的是要有對數(shù)學(xué)的好奇心和勇敢嘗試的心,要勇于嘗試一些新東西,也許可能只是一條題目的另一種證明,也許可能只是一條定理的另一種表述,但我相信這種探索和質(zhì)疑的態(tài)度,會讓我們更加熱愛數(shù)學(xué),更加有熱情投入到數(shù)學(xué)的研究中去.

    (作者單位:揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)

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