探秘隱含條件

林宇杰

很多題目都含有某些隱含條件，它們有淺有深. 有的隱含條件藏得并不隱蔽，明眼人一眼便可以洞察這些小把戲. 例如：

△ABC中，有∠A=70°，∠B=30°，求∠C的度數(shù).

這種題目太簡(jiǎn)單了，很多人都能求出來(lái)，∠C=180°-70°-30°=80°. 但不禁要問(wèn)180°是從哪里來(lái)的？這個(gè)“180°”便是從△ABC的三角之和而來(lái)的. “180°”便是這個(gè)簡(jiǎn)單題目的隱含條件，只不過(guò)藏得不隱蔽而已.

可是，當(dāng)隱含條件將自己埋得更深時(shí)，題目的難度也就上升一個(gè)檔次了.

例如本周數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，我們探究的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子問(wèn)題，我們就遇到了隱含條件藏得很深的難題.

【問(wèn)題情境】一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的容積為V.

【問(wèn)題設(shè)計(jì)1】如果盒子底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，這個(gè)盒子的表面積是多少？

【問(wèn)題設(shè)計(jì)2】如果盒子底面是長(zhǎng)為b、寬為c的長(zhǎng)方形，這個(gè)盒子的表面積是多少？

【問(wèn)題設(shè)計(jì)3】上面兩種情況下，如果盒子的底面面積相等，那么兩種盒子的表面積相差多少？（不計(jì)制造材料的厚度）

我們都知道影響體積的變量有三個(gè)：長(zhǎng)、寬、高，體積=長(zhǎng)·寬·高.

在（1）中，我們知道長(zhǎng)、寬都為a，所以表面積S1=a2+4··a，化簡(jiǎn)得S1=.

在（2）中，知道了長(zhǎng)為b、寬為c，所以表面積S2=bc+2··（b+c），化簡(jiǎn)得S2=.

但接下來(lái)要比較S1和S2的差可就有些難度了，因?yàn)榈降资怯谩癝1-S2”還是“S2-S1”，這個(gè)問(wèn)題的突破口很難尋找，所以想到加上絕對(duì)值“S1-S2”. 如果是考場(chǎng)上，丟分就少了，因?yàn)閮H僅是沒(méi)有化簡(jiǎn)而已. 若固執(zhí)地去猜想“S1-S2”還是“S2-S1”，蒙對(duì)的幾率只有一半，但在這一半的基礎(chǔ)上還是要丟失“S1-S2”或“S2-S1”的推理過(guò)程分.

要想成功突破“S1-S2”還是“S2-S1”這個(gè)難點(diǎn)，有賴于之前說(shuō)過(guò)的隱含條件.

第（3）問(wèn)說(shuō)兩個(gè)盒子的底面積相等，很多人都得到了a2=bc，但卻難以再次進(jìn)行突破. 回想小學(xué)時(shí)，我們也碰到過(guò)“面積相等”. 那時(shí)，我們通過(guò)實(shí)踐都知道在四邊形當(dāng)中，周長(zhǎng)相等時(shí)，正方形面積最大. 也就是當(dāng)面積相等時(shí)，正方形周長(zhǎng)最小.

切換到這道題目中，我們由a2=bc（面積相等），得到了4a<2（b+c）（正方形周長(zhǎng)最?。?，所以2a

將這個(gè)不等式代入S1和S2中，便可以發(fā)現(xiàn)S1

我又聯(lián)想到在上次期中考試中一道考題：

已知a、b、c是△ABC的三邊的長(zhǎng)度，請(qǐng)猜想b2+c2-a2-2bc是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零？解釋原因.

我記得當(dāng)時(shí)很多人沒(méi)有做出來(lái)，便是因?yàn)殡[含條件沒(méi)有充分開(kāi)發(fā). 比如，有些人已將原式化簡(jiǎn)得到：

b2+c2-a2-2bc=（b-c+a）（b-c-a）.

但沒(méi)有能繼續(xù)突破和有后續(xù)進(jìn)展，原因是什么？

仔細(xì)讀題，想起老師以前說(shuō)過(guò)，“題目做不了，往往是因?yàn)闂l件沒(méi)有被充分利用”. 這個(gè)題目中有一個(gè)很關(guān)鍵卻又很容易被忽視的條件“a、b、c是△ABC的三邊的長(zhǎng)度”. 這里就有一個(gè)隱含條件，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，所以b-c+a為正數(shù)，而b-c-a應(yīng)該是負(fù)數(shù).

所以（b-c+a）（b-c-a）=正數(shù)·負(fù)數(shù)=負(fù)數(shù). 即原式是負(fù)數(shù).

綜上，隱含條件之重要性不言而喻，它們往往最容易被忽視，卻又起到左右題目的重要作用，所以充分開(kāi)發(fā)、重視和利用隱含條件對(duì)于難題破解是很重要的.

劉老師點(diǎn)評(píng):小林這篇研究論文很有思維深度，又能“旁征博引”，是一篇少有的高質(zhì)量數(shù)學(xué)寫(xiě)作. 特別是文中用三個(gè)不同的題例闡釋了隱含條件的可能“表征”，它們有淺有深，而較難問(wèn)題往往隱含條件埋藏得很深，需要充分解讀. 想起美國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在名著《怎樣解題》中所說(shuō)“回答一個(gè)你尚未弄清的問(wèn)題是愚蠢的”，對(duì)于本文所涉及的較難的隱含條件來(lái)說(shuō)，思路不能獲得貫通的原因往往就是在“回答尚未弄清的問(wèn)題”.

最后，作為變式訓(xùn)練的需要，還可將問(wèn)題做如下改編，同學(xué)們思考是不是跟小林同學(xué)提供的解答是一樣的？

【問(wèn)題變式】?jī)蓚€(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子A1、A2，它們的容積分別是V1、V2.

（1） 若盒子A1的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，則這個(gè)盒子的高是______；

（2） 若盒子A2的底面是長(zhǎng)為b、寬為c的長(zhǎng)方形，這個(gè)盒子的表面積是多少？

（3） 在（1）、（2）的條件下，若V1=V2，且a2=bc，兩種盒子A1、A2的表面積哪個(gè)大？大多少？

（指導(dǎo)教師：劉東升）