一維離散p-Laplacian邊值問題多個(gè)解的存在性

景 蘭, 謝春杰

(1.蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,甘肅蘭州730070; 2.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

非線性差分方程廣泛應(yīng)用于研究計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)及控制論等學(xué)科中出現(xiàn)的離散模型.近年來,對(duì)于非線性差分邊值問題已經(jīng)有很多人研究過,見文獻(xiàn)[1-12]及其參考文獻(xiàn).特別地,1997年,R.P.Agarwal等[1]運(yùn)用上下解方法獲得了二階離散邊值問題

解的存在性.2005年,R.P.Agarwal等[7]運(yùn)用變分法討論了一維離散p-Laplacian邊值問題

2個(gè)解的存在性.對(duì)于問題(2)解的存在性已經(jīng)被許多人研究過,見文獻(xiàn)[8-12]及其參考文獻(xiàn),但據(jù)我們所知,對(duì)于問題(2)多個(gè)解的存在性研究較少.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文運(yùn)用Brouwer度理論[13]發(fā)展一維離散p-Laplacian邊值問題

的上下解方法,并討論其多個(gè)解的存在性,其中,[1,T]Z:={1,2,…,T-1,T},φp(s)=|s|p-2s,p>1,f:[1,T]Z×R?R連續(xù),R=(-∞,+∞),w(k):[1,T+1]Z?(0,+∞).

本文運(yùn)用Brouwer度理論[13]發(fā)展了問題(3)的上下解方法,并獲得了其多個(gè)解的存在性,見定理2.2,該結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[1]中定理3.1的推廣,也是對(duì)問題(2)多個(gè)解存在性的發(fā)展.此外,相應(yīng)的連續(xù)形式的一維p-Laplacian邊值問題多個(gè)解的存在性結(jié)果,參見文獻(xiàn)[14-16].

記E={u∈RT+2,u=(u(0),u(1),u(2),…,u(T),u(T+1))}.

定義1.1對(duì)?u,v,w∈E有

1)若對(duì)?k∈[0,T+1]Z,u(k)≤v(k),記u≤v;

2)若對(duì)?k∈[1,T]Z,u(k)

3)若w?u?v,記u∈(w,v).

定義1.2對(duì)?α,β∈E,稱α是問題(3)的下解,如果

稱β是問題(3)的上解,如果

當(dāng)不等式(4)和(6)是嚴(yán)格不等式時(shí),稱α和β分別是問題(3)的嚴(yán)格下解和嚴(yán)格上解.

2 主要定理及其證明

定義空間E0={u∈E,u(0)=u(T+1)=0},其基本元素記為(u(1),u(2),…,u(T)),與RT+2中元素(0,u(1),u(2),…,u(T),0)相對(duì)應(yīng),則方程(3)的差分算子在E0上有定義.定義范數(shù),則空間E0按該范數(shù)‖·‖構(gòu)成Banach空間.

定義連續(xù)算子T:E0?RT為

定理2.1設(shè)α和β分別是問題(3)的下解和上解,且α≤β,則問題(3)至少存在一個(gè)解u滿足α≤u≤β.當(dāng)α和β分別是問題(3)的嚴(yán)格下解和上解時(shí),則?R>0,使得d(T,Ωαβ,0)=1,其中

證明定義函數(shù)γ(k,u(k)):[1,T]Z×R?R如下

第1步證明若輔助問題(8)存在解

則α≤u≤β.下面證α≤u,u≤β同理可證.

反設(shè)?i∈[0,T+1]Z,使得α(i)>u(i).因α(0)≤0,α(T+1)≤0,則?m∈[1,T]Z有

從而結(jié)合φp為增函數(shù)可得

而由下解α的定義得

與(9)式矛盾.因此α≤u.

第2步用Brouwer度證明輔助問題(8)至少存在一個(gè)解.

定義連續(xù)算子:E0?RT為

則顯然輔助問題(8)的解是在E0中的零點(diǎn).定義同倫

由f的連續(xù)性及γ的定義得,?R>0使得

假設(shè)(λ,0,u(1),…,u(T),0)∈[0,1]×E0是Γ(λ,u)=0的一個(gè)可能的解,即u∈E0滿足

由Brouwer度的同倫不變性得

因此d(,BR(0),0)=1,則輔助問題(8)至少存在一個(gè)解.

綜上所述,若α和β分別是問題(3)的下解和上解,且α≤β,則問題(3)至少存在一個(gè)解u∈E0使得α≤u≤β,且?R>0,有d(T,BR(0),0)=1.

第3步證明當(dāng)α和β分別是問題(3)的嚴(yán)格下解和嚴(yán)格上解時(shí),對(duì)第2步中定義的R>0,有d(T,Ωαβ,0)=1,其中

因α和β分別是問題(3)的嚴(yán)格下解和嚴(yán)格上解,則α和β也是問題(3)上解和下解.由第1步和第2步得α≤u≤β.下證α?u?β.先證α?u成立.因?yàn)棣?0)≤0,α(T+1)≤0,只需證明對(duì)?k∈[1,T]Z,α(k)

結(jié)合嚴(yán)格下解α的定義得

與(13)式矛盾.因此α(k)

同理可證u?β.

綜上可得α?u?β,且由第2步知,‖u‖

則輔助問題(8)至少存在一個(gè)解u,且u∈Ωαβ.在Ωαβ上T=,由 Brouwer度的切除性得

定理2.2假設(shè)問題(3)存在2個(gè)嚴(yán)格下解α1和α2以及2個(gè)嚴(yán)格上解β1和β2滿足

且?k∈[0,T+1]Z,有β1(k)<α2(k),則問題(3)至少存在3個(gè)解u1、u2和u3且滿足

證明對(duì)于定理2.1中存在的R>0,定義開集Ωα1β2、Ωα1β1和Ωα2β2如下

運(yùn)用定理2.1得

(14)～(16)式結(jié)合Brouwer度的切除性可得

由(15)～(17)式可得問題(3)至少存在3個(gè)解u1、u2和u3滿足

[1]Agarwal R P,O’Regan D.Boundary value problems for discrete equations[J].Appl Math Lett,1997,10(4):83-89.

[2]Hederson J,Thompson H B.Existence of multiple solutions for second-order discrete boundary value problems[J].Comput Math Appl,2002,43:1239-1248.

[3]Rachrunkova I,Rachrunek L.Solvability of discrete dirichlet problem via lower and upper functions method[J].J Difference Equ Appl,2007,13(5):423-429.

[4]Agarwal R P,O’Regan D.Difference equations in abstract spaces[J].J Austral Math Soc,1998,A64:277-284.

[5]Bereanu C,Mawhin J,Neuve L.Exitence and Multiplicity results for nonlinear second order difference equations with Dirichlet value conditions[J].Math Bohemica,2006,2:145-160.

[6]Wang D,Guan W.Three positive solutions of boundary value problems forp-Laplacian difference equations[J].Comput Math Appl,2008,55:1943-1949.

[7]Agarwal R P,Perera K,O’Regan D.Multiple positive solutions of singular discretep-Laplacian problems via variational methods[J].Adv Diff Eqns,2005,2(2005):93-99.

[8]Cabada A,Iannizzotto A,Tersianc S.Multiple solutions for discrete boundary value problems[J].J Math Anal Appl,2009,356:418-428.

[9]Jiang D,Pang P Y H,Agrwal R P.Upper and lower solutions method and a superlinear singular discrete boundary value problem[J].Dynamic Systems and Applications,2007,16:743-754.

[10]Jiang D,Zhang L,O’Regan D,et al.Existence theory for single and multiple solutions to singular positone discrete Dirichlet boundary value problems to the one-dimensionp-Laplacian[J].Archivum Mathematicum,2004,40:367-381.

[11]Zhu B,Yu J.Multiple positive solutions for resonant difference equations[J].Math Comput Model,2009,49:1928-1936.

[12]Rachrunkov’aI,Tisdellb C C.Existence of non-spurious solutions to discrete Dirichlet problems with lower and upper solutions[J].Nonlinear Anal,2007,67:1236-1245.

[13]Sun J,Zhao Y.Existence of positive solution for second-order nonlinear discrete system with parameter[J].Math Comput Modelling,2005,41:493-499.

[14]Zhou G.Existence of multiple positive solutions of discrete boundary value problem[J].Chin Quart J Math,2002,17(4):12.

[15]Hu W,Jun W.A generalized upper and lower solution method for singular discrete boundary value problem[J].Chin Quart J Math,2007,22(2):212-219.

[16]Cheung W,Ren J,Patricia J Y W,et al.Multiple positive solutions for discrete nonlocal boundary value roblems[J].J Math Anal Appl,2007,330:900-915.

[17]Ma R Y,Lu Y Q,Chen T L.Existence of one-signed solutions of discrete second-order periodic boundary value problems[J/OL].Abstr Appl Anal,2012,2012,Article ID 437912.http://dx.doi.org/10.1155/2012/437912.

[18]全衛(wèi)貞,王志華.二階非線性差分方程xn+1=f(xn,xn-1)的正解收斂性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,35(1):68-72.

[19]李思霖.廣義Rosenau-Burgers方程的有限差分近似解[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,36(4):595-598.

[20]Atici F M,Cabada A.Existence and uniqueness results for discrete second order periodic boundary value problem[J].Comput Math Appl,2003,45:1417-1427.

[21]Merdivenci F.Two positive solutions of a boundary value problem for diference equations[J].J Difference Equ Appl,1995,1:262-270.

[22]鄭茂波,胡勁松,胡兵.正則長波方程的一個(gè)新的差分逼近[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,35(3):305-308.