交換環(huán)上的強(qiáng)w-投射模

周德川, 王芳貴

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

本文提到的環(huán)都是有單位元的交換環(huán).2012年,X.H.Fu等[1]引入了余純投射模的概念.R-模M稱為余純投射模,是指對(duì)一切平坦模F,有熊濤等[2]借助余純投射模來刻畫CPH環(huán)的結(jié)構(gòu)(每個(gè)余純投射模的子模是余純投射模),并討論了CPH環(huán)與遺傳環(huán)的關(guān)系.本文在此基礎(chǔ)上定義了強(qiáng)w-投射模,是指對(duì)一切無撓w-模M,有,強(qiáng)w-投射模是介于投射模與余純投射模之間的模,通過對(duì)強(qiáng)w-投射模的討論,給出了遺傳環(huán)和半單環(huán)的一個(gè)新的刻畫,也給出了一個(gè)DW-環(huán)的同調(diào)刻畫.

1 強(qiáng)w-投射模

設(shè)R是交換環(huán),S是R的所有非零因子的乘法集,M是R-模.令

則T(M)是M的子模.當(dāng)T(M)=M時(shí),M稱為撓模;當(dāng)T(M)=0時(shí),M稱為無撓模.注意,T(M)總是撓模,M/T(M)總是無撓模.為了給出強(qiáng)w-投射模的定義,首先來看投射模的一個(gè)等價(jià)刻畫.

命題1.1對(duì)環(huán)R,R-模P為投射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的無撓模A,都有

證明若對(duì)任意的無撓模A,都有=0,設(shè)0?K?F?P?0是正合列,其中F是自由模,K=ker(F?P),由于F是無撓模,從而K是無撓模,由條件,故

是正合列,則正合列0?K?F?P?0分裂,即有F?PK,故P為投射模.反之顯然成立.

1997年,F.G.Wang等[3]引入了整環(huán)上的w-模的概念,2011年,H.Y.Yin等[4]把w-模的概念推廣到一般交換環(huán)上.設(shè)J是R的有限生成理想.若自然同態(tài)R?HomR(J,R)是同構(gòu),則J稱為R的GV-理想.用GV(R)表示R的GV-理想的集合.對(duì)R-模M,定義

則GV-tor(M)是M的子模.當(dāng)GV-tor(M)=M時(shí),M稱為GV-撓模;當(dāng)GV-tor(M)=0時(shí),M稱為GV-無撓模.若M是GV-無撓模,且對(duì)所有J∈GV(R),,則M稱為w-模.1997年,文獻(xiàn)[5]還引入了w-投射模的概念.R-模M稱為w-投射模,是指對(duì)任何無撓的w-模N,是GV-撓模.

定義1.2R-模P稱為強(qiáng)w-投射模,是指對(duì)任何無撓w-模M,都有

例1.31)顯然,投射模是強(qiáng)w-投射模;強(qiáng)w-投射模是w-投射模;

2)任何GV-撓模都是強(qiáng)w-投射模.特別地,若J是R的GV-理想,則R/J是強(qiáng)w-投射模;

3)強(qiáng)w-投射模未必是投射模.例如,設(shè)R是最大公因子整環(huán),a1,a2∈R互素,則J=(a1,a2)是R的GV-理想,于是R/J是GV-撓模.從而有R/J是強(qiáng)w-投射模.由于R/J也是撓模,故R/J不是投射模.

命題1.4設(shè)0?A?B?C?0是正合列.若A、C是強(qiáng)w-投射模,則B是強(qiáng)w-投射模.

證明設(shè)M是任意的無撓w-模,則有正合列,由于A、C是強(qiáng)w-投射模,所以,由定義知B是強(qiáng)w-投射模.

命題1.5設(shè){Pi}是一簇模,則是強(qiáng)w-投射模當(dāng)且僅當(dāng)每一Pi是強(qiáng)w-投射模.

證明設(shè)M是任意的無撓w-模,由自然同構(gòu)即得證.

命題1.6若0?M?F?P?0是分裂的正合列,則M、P是強(qiáng)w-投射模是當(dāng)且僅當(dāng)F是強(qiáng)w-投射模.

命題1.7對(duì)環(huán)R,M是強(qiáng)w-投射模.

1)若P是投射模,則是強(qiáng)w-投射模;

2)若P是有限生成投射模,則HomR(P,M)是強(qiáng)w-投射模.

證明1)設(shè)X是任意的無撓w-模.若P是投射模,由文獻(xiàn)[6]的定理4.5.9有

由于M是強(qiáng)w-投射模,所以

2)設(shè)X是任意的無撓w-模,若P是有限生成投射模,由文獻(xiàn)[6]的定理4.5.11有

定理1.8對(duì)模M,以下各條等價(jià):

1)P是強(qiáng)w-投射模;

2)設(shè)0?A?B?P?0是正合列,則對(duì)任意的無撓w-模M,有正合列

3)設(shè)A是B的子模,M是無撓w-模,若B/A?P,則對(duì)任何同態(tài)f:A?M可以擴(kuò)張到B;

4)對(duì)任意正合列0?M?B?P?0是分裂的正合列,其中M是無撓w-模;

5)對(duì)正合列0?A?B?C?0,其中A是無撓w-模,有

6)對(duì)正合列0?A?E?C?0,其中A是無撓w-模,E是內(nèi)射模,有

證明1)?2) 由已知可得到正合列

2)?3) 0?A?B?B/A?0是正合列,由于B/A?P,則由2)有正合列

所以對(duì)任何同態(tài)f:A?M可以擴(kuò)張到B.

3)?4) 0?M?B?P?0是正合列,則有B/M?P,所以對(duì)同態(tài)f:M?M可以擴(kuò)張到B?M的同態(tài).所以正合列0?M?B?P?0分裂.

4)?1) 由文獻(xiàn)[7]的推論7.20即可得到.

1)?5) 由已知條件有正合列

5)?6) 平凡的.

6)?1) 設(shè)A是無撓的w-模.取正合列0?A?E?C?0,其中E是內(nèi)射模,則有正合列

由假設(shè)知,故P是強(qiáng)w-投射模.

由文獻(xiàn)[5]引理知f是同構(gòu)的,所以有,則P是強(qiáng)w-投射模.

命題1.9P是強(qiáng)w-投射模,則P是投射模當(dāng)且僅當(dāng)pdRP≤1.

證明設(shè)0?K?F?P?0是正合列,其中F是自由模,由于pdRP≤1,于是K是投射模,從而是無撓w-模,由定理1.8知此正合列分裂,故P是投射模.反之顯然成立.

推論1.10設(shè)R是環(huán),若gl.dim(R)≤1,則強(qiáng)w-投射模是投射模.

引理1.11設(shè)0?A?B?C?0是正合列.如果A是撓模,B是強(qiáng)w-投射模,則C是強(qiáng)w-投射模.

證明設(shè)B是強(qiáng)w-投射模,M是無撓w-模,由定義由于A是撓模,M是無撓模,所以HomR(A,M)=0.由

是正合列知,所以C是強(qiáng)w-投射模.

命題1.12對(duì)環(huán)R,P是強(qiáng)w-投射模,則P/T(P)是強(qiáng)w-投射模.

證明0?T(P)?P?P/T(P)?0是正合列,其中T(P)是撓模,P是強(qiáng)w-投射模,由引理1.11知P/T(P)是強(qiáng)w-投射模.

推論1.13對(duì)環(huán)R,P是撓模且是強(qiáng)w-投射模,則P的任何商模都是強(qiáng)w-投射模.

引理1.14對(duì)模M,以下等價(jià):

1)M是w-模;

2)對(duì)任何正合列0?M?F?N?0,只要F是w-模,則有N是GV-無撓模;

3)存在一個(gè)正合列0?M?F?N?0,其中F是w-模,N是GV-無撓模.

證明參見文獻(xiàn)[4]的命題2.7.

定理1.15GV-無撓的強(qiáng)w-投射模是投射模.

證明設(shè)P是GV-無撓的強(qiáng)w-投射模.取正合列0?M?F?P?0,其中F是自由模.由引理1.14,M是無撓w-模,于是有由文獻(xiàn)[7]的推論7.20,此正合列分裂,從而有P是投射模.

2 對(duì)半單環(huán)、DW-環(huán)和遺傳環(huán)的新刻畫

對(duì)半單環(huán),有很多關(guān)于它的刻畫,例如R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模是投射模;當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)理想是R的直和加項(xiàng)等.用強(qiáng)w-投射模,可以給半單環(huán)一個(gè)新的刻畫.

定理2.1對(duì)環(huán)R,以下等價(jià):

1)R是半單環(huán);

2)每一R-模是強(qiáng)w-投射模;

3)每一GV-無撓R-模是強(qiáng)w-投射模.

證明1)?2)?3) 顯然.

3)?1) 設(shè)A是R的理想,則A是GV-無撓模.由條件,A是強(qiáng)w-投射模.由定理1.15,A是投射模,從而是w-模.由引理1.14,R/A是GV-無撓模,由條件R/A是強(qiáng)w-投射模,仍用定理1.15有R/A是投射模,于是正合列0?A?R?R/A?0分裂,故A是R的直和加項(xiàng),從而有R是半單環(huán).

回顧環(huán)R稱為DW-環(huán)是指環(huán)R的每個(gè)理想都是w-理想.R為DW-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的GV-理想僅有R自身;當(dāng)且僅當(dāng)每一R-模是w-模,DW-環(huán)的討論可參見文獻(xiàn)[8],對(duì)于整環(huán),也可參見文獻(xiàn)[9].可用強(qiáng)w-投射模給出DW-環(huán)的一個(gè)同調(diào)刻畫.

命題2.2設(shè)R是交換環(huán),則強(qiáng)w-投射模是投射模當(dāng)且僅當(dāng)R是DW-環(huán).

證明設(shè)J∈GV(R),則R/J是GV-撓模,由例1.3知GV-撓模是強(qiáng)w-投射模,由條件知R/J是投射模,而投射模是GV-無撓模,所以R/J=0,即是J=R.所以R是DW-環(huán).

反之,若R是DW-環(huán),則任意R-模是w-模.由w-模是GV-無撓模及定理1.15知強(qiáng)w-投射模是投射模.

也可以用強(qiáng)w-投射模來刻畫遺傳環(huán).

定理2.3對(duì)交換環(huán)R,以下等價(jià):

1)R是遺傳環(huán);

2)強(qiáng)w-投射模的子模是強(qiáng)w-投射模;

3)投射模的子模是強(qiáng)w-投射模;

4)自由模的子模是強(qiáng)w-投射模;

5)每個(gè)無撓w-模的內(nèi)射維數(shù)不超過1;

6)R的每個(gè)理想是強(qiáng)w-投射模.

證明1)?2)R是遺傳環(huán),則gl.dim(R)≤1,由推論1.10知強(qiáng)w-投射模是投射模,又由于R是遺傳環(huán),則投射模的子模是投射模,所以強(qiáng)w-投射模的子模是投射模,故是強(qiáng)w-投射模.

2)?1) 投射模是GV-無撓模,其子模也是GV-無撓模.又由于投射模是強(qiáng)w-投射模,由條件投射模的子模是強(qiáng)w-投射模,由定理1.15知GV-無撓強(qiáng)w-投射模是投射模,所以投射模的子模是投射模,故R是遺傳環(huán).

2)?3) 平凡的.

3)?4) 平凡的.

4)?2) 設(shè)0?A?B?C?0是正合列,其中B是強(qiáng)w-投射模.取自由模F與滿同態(tài)h:F?B,則α=gh也是滿同態(tài).令K=ker(α),則有如圖1所示的正合列的交換圖.

注意圖1左邊方圖是推出圖,從而有正合列0?K?FA?B?0,由假設(shè),K是強(qiáng)w-投射模,由命題1.4知FA是強(qiáng)w-投射模,由命題1.5,A是強(qiáng)w-投射模,得證.

圖1

1)?5) 設(shè)M是的無撓w-模,對(duì)任意模X,有正合列0?A?P?X?0,其中P是投射模,A=ker(P?X),由于R是遺傳環(huán),所以A是投射模,有正合列

5)?3) 設(shè)P是任意的投射模,A是P的任意子模,有0?A?P?X?0是正合列,其中X?P/A.對(duì)任何無撓w-模M,有正合列

4)?6) 顯然.

6)?5) 設(shè)M是無撓w-模,I是R的任何理想,有0?I?R?R/I?0 是正合列,則

致謝四川師范大學(xué)研究生優(yōu)秀論文培育基金(校研字20131434)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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