轉臺軸承靜剛度建模及其影響因素分析

位文明,呂盾,張俊,趙萬華

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室, 710054, 西安)

轉臺軸承靜剛度建模及其影響因素分析

位文明,呂盾,張俊,趙萬華

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室, 710054, 西安)

為了改善轉臺的動靜特性,分析了三排圓柱滾子轉臺軸承靜剛度與軸承結構型式、裝配工藝和外載荷的關系。結合軸承游隙、螺釘擰緊力矩、徑向與軸向滾子間的相互作用和外載荷等因素,將軸向滾子與軸圈間的接觸看作理想平面接觸,考慮徑向滾子壓力沿軸向的分布,并利用Boussinesq力與變形關系式求解實際的壓力值,通過求解軸承的整體靜力平衡方程,得到了三排圓柱滾子轉臺軸承5個方向的靜剛度值。分析結果表明:轉臺固有頻率測試與理論值誤差不超過3.0%,驗證了剛度理論模型的準確性;軸向滾子與徑向滾子載荷間的相互作用很小;螺釘擰緊力矩、徑向游隙和外載荷對轉臺軸承剛度有重要影響,隨著螺釘擰緊力矩和徑向預壓量的增大,外載荷對剛度的影響減弱。

三排圓柱滾子軸承;靜剛度;預緊力;轉臺

轉臺在使用過程中要受到切削力、工件和夾具重力的作用。轉臺支承系統(tǒng)的剛度不僅影響臺面的靜力變形,同時還決定了工件-夾具-轉臺系統(tǒng)的動剛度,進而影響切削穩(wěn)定性和零件的加工精度。轉臺的轉動部分(轉軸、蝸輪和剎緊裝置等)通過轉臺軸承與基座相連,轉臺軸承的靜剛度直接影響臺面的幾何精度和動態(tài)特性。轉臺軸承能夠同時承受軸向、徑向載荷和傾覆力矩的作用,它的使用大大簡化了數控轉臺的機械結構。

常用的轉臺軸承有單排四點接觸球軸承、雙排球軸承、交叉圓柱滾子軸承和三排圓柱滾子組合軸承等4種形式。關于單排徑向圓柱滾子軸承剛度的研究表明:圓柱滾子軸承的剛度不僅受到結構形式和安裝工藝的影響,還與轉速、潤滑狀態(tài)和外載荷等實際工況密切相關[1-4]。目前,三排圓柱滾子軸承的研究主要集中在計算滾子載荷和應力分析,以研究軸承的壽命問題[5-8],分析時最重要的是得到滾子的實際受力狀態(tài)。文獻[5-6]利用Hertz理論描述圓柱滾子與軸圈的接觸,通過求解靜力平衡方程得到各個滾子的實際載荷。文獻[7]為了考慮軸圈和螺釘的柔性,建立了三排圓柱滾子軸承的有限元模型,圓柱滾子及其與軸圈的接觸特性等效為梁單元以簡化計算,通過有限元分析得到滾子的實際受力狀態(tài)。上述分析只能得到作用于滾子的整體載荷大小,而圓柱滾子受載時其壓力分布沿軸向變化明顯。為此,文獻[8]利用切片模型來描述圓柱滾子的接觸狀態(tài)以得到壓力沿其軸向的分布狀態(tài)。但是,關于三排圓柱滾子轉臺軸承靜剛度的研究還很少。為了準確地分析轉臺臺面的靜力變形和動態(tài)特性,有必要分析轉臺軸承的靜剛度及其隨載荷的變化規(guī)律。

本文考慮徑向圓柱滾子沿長度方向的載荷分布及其與軸向滾子載荷的相互作用,建立了三排圓柱滾子轉臺軸承的靜剛度矩陣的計算方法,并通過轉臺的固有頻率測試對剛度的理論值進行驗證,進一步分析了靜剛度隨徑向游隙、螺釘擰緊力矩和外載荷的變化規(guī)律。

1 剛度矩陣的計算方法

三排圓柱滾子轉臺軸承由L型軸圈、推力墊圈、座圈、兩排軸向圓柱滾子和一排徑向圓柱滾子組成,如圖1所示。分析時作如下假設:軸承受到傾覆力矩和軸向力作用;內外圈均為剛性,不發(fā)生變形;所有的變形均發(fā)生在圓柱滾子上及其與軸圈和座圈的接觸區(qū)域;徑向載荷和傾覆作用在同一個平面上;座圈靜止,軸圈在外載荷作用下發(fā)生相對位移;由于轉臺軸承轉速不高,不考慮離心力的作用。

圖1 三排圓柱滾子轉臺軸承結構示意圖

1.1 軸向部分滾子的受力分析

軸向部分滾子的受力狀態(tài)如圖2所示,軸向的兩排滾子中第i個滾子與x軸夾角

(1)

(2)

式中:φat0、φab0分別為上排、下排第一個滾子與x軸間的夾角;Zat、Zab分別為上排、下排滾子數量,一般有Zat=Zab。

圖2 軸向部分滾子受力示意圖

那么,上排第i個滾子與軸圈間的相對轉角為

θati=-θxsinφati+θycosφati

(3)

上排第i個滾子的總壓縮量為

δati=ra(-θxsinφai+θycosφai)+

0.5La|θati|+δz-0.5ua

(4)

式中:ra為軸向滾子中心所在圓的半徑;La為軸向滾子長度;δz為軸圈沿z向位移;ua為軸向游隙,正值為間隙,負值為預壓量。

同理,下排第i個滾子處滾子與軸圈間的相對轉角為

θabi=θxsinφabi-θycosφabi

(5)

下排第i個滾子的總壓縮量為

δabi=rab(θxsinφabi-θycosφabi)+

0.5La|θabi|-δz-0.5ua

(6)

由于轉臺軸承的徑向尺寸遠大于圓柱滾子的長度,可以不考慮軸向滾子上載荷分布對剛度的影響,利用理想平面接觸來描述軸向滾子的接觸變形與受力間的關系[9]。不考慮離心力時,軸向滾子與內外圈之間的接觸變形和夾角相等。同時,為了保證滾子接觸,在任何位置滿足0.5Laθai+δai>0,并且有

(7)

式中:θin_ai、θex_ai分別為軸向滾子與軸圈、座圈間的夾角;θai、δai分別為軸向滾子與軸圈間的夾角和壓縮量。

那么,軸向部分滾子上的力和力矩分別為

(8)

(9)

1.2 徑向部分滾子的受力分析

徑向部分滾子在Fx、Fy和My作用下的受力狀態(tài)如圖3所示,第i個滾子與x軸夾角

φri=φr0+2(i-1)π/Zr

(10)

式中:φr0為徑向第一個滾子與x軸間的夾角;Zr為徑向滾子個數。

圖3 徑向部分滾子受力示意圖

徑向圓柱滾子的初始游隙大小為

uri=0.5ur(1-cos(φri-φur))

(11)

式中:ur為徑向游隙,正值為間隙,負值為預壓量;φur為Fx、Fy合力與x軸的夾角。

那么,第i個滾子的總壓縮量為

δri=δxcosφri+δysinφri+0.5Lr|θri|-

0.5ur(1-cos(φri-φur))

(12)

式中:δx、δy分別為軸圈沿x、y向的徑向位移;Lr為徑向滾子長度。

當軸圈的角位移分別為θx、θy(方向依據右手定則)時,徑向第i個滾子與軸圈間的相對轉角為

θri=θxsinφri-θycosφri

(13)

在不考慮離心力時,滾子與座圈和軸圈間的接觸變形相等,滾子與座圈和軸圈間的夾角也相等。為了保證滾子接觸,在任何位置滿足0.5Lθri+δri>0,那么有

(14)

考慮壓力沿圓柱滾子長度方向分布時,可以依照Boussinesq的集中力與變形的關系求解接觸力[10]。假設第i個圓柱滾子與軸圈間的接觸區(qū)域為矩形,建立原點在接觸區(qū)中心處的局部坐標系o(xi,yi,zi),yi軸沿滾子軸向,zi軸沿滾子徑向。將滾子與軸圈的矩形接觸區(qū)域等分為Ni(NxNy)個單元,每個單元上的壓力pij(j=1,…,Ni)均勻分布時,有

(15)

式中:系數k0如式(16)所示;zik為第k個單元的幾何中心處的滾子輪廓值,如式(17)所示;Gikj為影響系數,表示作用在單元j上單位壓力引起的單元k中心處的變形,如式(18)所示;δi為滾子與軸圈間的相對位移。

(16)

式中:E1、E2分別為滾子、軸圈材料的彈性模量;ν1、ν2分別為滾子、軸圈材料的泊松比。

(17)

式中:(xik,yik)(-R≤xik≤R,-L/2≤yik≤L/2)為第k個單元的中心坐標;R為徑向滾子半徑;L為徑向滾子長度;θi為滾子與軸圈間的相對轉角。

Gikj=G(u+ai,v+bi)+G(u-ai,v-bi)-

G(u-ai,v+bi)-G(u+ai,v-bi)

(18)

式中:u=|xik-xij|,v=|yik-yij|;ai、bi分別為矩形單元的半寬和半長;G為積分求得的函數,有

G(x,y)=xln(y+(x2+y2)1/2)+

yln(x+(x2+y2)1/2)

(19)

在圓柱滾子的整個接觸區(qū)域上,有

k0Gpi=δiI-zi

(20)

式中:I為Ni×1的單位向量;zi為Ni×1的向量。

接觸面上的合力與外力相平衡,那么有

(21)

同時,發(fā)生接觸網格上的壓力應滿足

pij≥0,j=1,…,Ni

(22)

利用式(20)～式(22),通過迭代求解,可以得到滾子與軸圈的實際接觸區(qū)域和接觸壓力pij。那么,徑向滾子上的合力和合力矩分別為

(23)

(24)

式中:ari、bri分別為第i個滾子接觸區(qū)域離散網格單元的半寬和半長;Nri為滾子與軸圈的矩形接觸區(qū)域等分單元數;prij(j=1,…,Nri)為單元上均勻分布的壓力;yrij為單元幾何中心y的坐標。

1.3 軸向滾子的初始游隙

軸向滾子的初始游隙由緊固螺釘預緊力決定,給定螺釘擰緊力矩下軸向滾子的初始游隙為

(25)

式中:Zb為螺釘的個數;T為擰緊力矩;db為螺釘直徑;Kb為螺釘力矩系數,一般取值0.2。由于螺釘的預緊作用,軸向滾子的初始游隙都為負值。

1.4 轉臺軸承的靜剛度求解

綜合徑向和軸向滾子的受力狀態(tài)分析,可以得到三排圓柱滾子轉臺軸承的整體靜力平衡方程為

(26)

求解時,首先根據螺釘的預緊力矩T和式(25)求出軸向滾子的初始游隙,然后根據徑向接觸區(qū)域的網格參數和外載荷大小,利用Newton-Raphson方法求解式(26),得到給定載荷下軸承內圈的位移量q={δx,δy,δz,θx,θy}T和各個徑向圓柱滾子的載荷分布。

對式(26)求導,可以得到如下轉臺軸承整體靜剛度矩陣

(27)

2 理論模型的實驗驗證

選擇圖4所示的轉臺作為研究對象,轉動體通過YRT325型三排圓柱滾子轉臺軸承與基座相連,軸承的結構參數如表1所示。軸承軸圈、推力墊圈、座圈和滾子的材料均為軸承鋼,其密度為7.85×103kg/m3,彈性模量為2.06×1011Pa,泊松比為0.3。轉臺轉動體的質量為175.1kg,在坐標系o(x,y,z)中繞x、y、z軸的轉動慣量分別為3.9、3.9和5.5 kg·m2。采用LMS Test Lab振動測試系統(tǒng)對轉動體的動特性進行測試,實驗中采用單點激勵、多點拾振的測試方法,12個加速度傳感器測點均勻布置在轉動體的上表面,如圖4所示。

表1 YRT325轉臺軸承的結構參數

圖4 轉臺動特性測試裝置示意圖

根據圖5所示的轉動體的等效動力學模型和轉臺軸承的支承剛度,可以得到轉動體的固有頻率。從表2可以看到,轉動體3個方向固有頻率的理論值與實驗值很接近,驗證了本文轉臺軸承剛度計算模型的準確性。實驗中轉臺軸承主要受到轉動體z向重力作用,由于轉動體和轉臺軸承結構的對稱性,其x、y向固有頻率,及繞x軸、繞y軸固有頻率的值分別相同。因此,只比較了x向、z向和繞x軸對應的3階固有頻率。緊固螺釘的實際預緊力與理論值的差異使得實際軸向剛度和轉動剛度與理論值不同,進而使得固有頻率的理論值與實驗值存在差別。

圖5 轉動體的等效動力學模型

表2 轉動體固有頻率的理論值與實驗值對比

3 剛度的影響因素分析

3.1 游隙的影響

由式(25)得到不同擰緊力矩下軸向滾子的實際游隙ua,如圖6所示,可以看到軸向游隙ua隨著擰緊力矩的增加顯著增大。

圖6 軸向游隙ua隨螺釘擰緊力矩T的變化規(guī)律

圖7 kzz隨軸向和徑向游隙的變化規(guī)律

圖8 kθx隨軸向和徑向游隙的變化規(guī)律

圖9 kxx隨徑向游隙的變化規(guī)律

轉臺軸承的徑向和軸向游隙對z向平動剛度kzz和繞x軸的轉動剛度kθx的影響如圖7和圖8所示。從圖中可以看出,當螺釘預緊力增加使得軸向游隙ua增大時,kzz和kθx都隨之顯著變大,但是,kzz和kθx基本不隨徑向游隙ur變化。從圖9中可以看到,徑向游隙ur對徑向支承剛度kxx影響顯著,但是當ur進一步增加到-6.0μm后,徑向支承剛度基本不發(fā)生變化。這是由于軸向和徑向滾子數量眾多,L型軸圈的轉角變形很小,L型軸圈的轉動不會使得徑向滾子上載荷及其沿長度方向的分布產生很大的波動,同時滾子長度為12 mm,遠小于軸向滾子中心圓直徑,使得徑向滾子產生的反力矩相對較小,對軸向滾子的載荷分布和剛度的貢獻很小。綜上分析可知,軸向支承剛度kzz和轉動剛度kθx主要由軸向游隙ua決定,徑向支承剛度主要由徑向游隙ur決定,徑向滾子對轉臺軸承的軸向剛度和轉動剛度影響很小。

3.2 外載荷的影響

在不同螺釘擰緊力矩下,轉臺軸承軸向剛度kzz和轉動剛度kθx隨外載荷的變化規(guī)律如圖10和圖11所示。當預緊力矩為5.0N·m時,kzz和kθx都隨著Fz的增加而顯著減小,這是由于外載荷的作用使得軸向上排滾子與推力墊圈間的接觸力變小,甚至發(fā)生脫離,而扭矩Mx的增加對kzz和kθx的影響很小。從圖12和圖13可以看到,kzz和kθx隨著擰緊力矩的增加而增大,當擰緊力矩增加到20.0N·m時,Fz的增加基本不改變kzz和kθx的值。

圖10 kzz隨載荷Fz和Mx的變化規(guī)律(T=5.0N·m)

圖11 kθx隨載荷Fz和Mx的變化規(guī)律(T=5.0N·m)

圖12 kzz隨載荷Fz和T的變化規(guī)律

圖13 kθx隨載荷Fz和T的變化規(guī)律

(a)kxx

(b)kyy

在不同徑向游隙ur下,徑向支承剛度kxx隨外載荷的變化規(guī)律如圖14所示。當預壓量小于6.0μm時,kxx和kyy在Fx增大到某一值時急劇減小,這是由于L型軸圈隨著Fx移動,在Fx相反方向的部分徑向滾子與軸圈間脫離接觸,而當預壓量超過6.0μm后,Fx對kxx和kyy基本沒有影響。與kxx不同的是,kyy出現突變的外載荷較大,這是由于Fx作用時對x向滾子的實際接觸狀態(tài)影響更顯著。同時,隨著徑向預壓量的增加,不同載荷時的kxx和kyy整體上逐漸增加。當預壓量大于6.0μm時,kxx和kyy隨著預壓量增加的趨勢變緩。預壓量由6.0μm增加到7.5 μm時,不同載荷下kxx和kyy的最大增加幅度為6.3%,而預壓量由7.5 μm增加到9.0μm時,剛度的最大增加幅度減小到3.1%,此時預壓量對kxx和kyy影響很小。

4 結 論

(1)本文結合游隙、徑向滾子與軸向滾子間的相互作用和外載荷等因素,給出了計算三排圓柱滾子轉臺軸承5個方向靜剛度的方法,并通過轉臺固有頻率的理論值和實驗結果的對比,驗證了該方法的準確性。

(2)徑向滾子的壓力分布對軸向滾子的載荷影響很小,基本不改變轉臺軸承軸向剛度和轉動剛度。

(3)當螺釘擰緊力矩較小時,kzz和kθx隨著Fz的增加而顯著減小。kzz和kθx隨著擰緊力矩的增加而增大,當擰緊力矩增加到20.0N·m后,kzz和kθx基本不隨Fz改變,而Mx對kzz和kθx基本沒有影響。

(4)當徑向預壓量小于6.0μm時,徑向剛度在外載荷作用下發(fā)生突變,發(fā)生突變的徑向載荷隨著預壓量的增加而增大。這種現象隨著徑向預壓量的增加而逐漸消失。

本文的分析可以為轉臺軸承的選型和裝配工藝規(guī)劃提供依據。

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(編輯 杜秀杰)

StaticStiffnessofThree-RowCylindricalRollerBearingforRotaryTable

WEI Wenming,Lü Dun,ZHANG Jun,ZHAO Wanhua

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710054, China)

To improve static and dynamic performances of rotary table, the effects of configurations, assembling technology and external load on the static stiffness of a three-row cylindrical roller bearing for rotary table are investigated. A theoretical model of static stiffness of three-row cylindrical bearing for rotary table is proposed considering the clearance, bolt preloads, and reactions of axial and radial rollers with external load. The contacts between the axial rollers and the outer ring are treated as ideal plane contact. And the actual contact forces and their distribution along the axial of radial rollers are obtained by Boussinesq’s relationship between force and deformation, the static stiffness in five directions is then sought out by solving the static equivalent equations. It is shown that the maximum error between experimental and theoretical results of natural frequency of the rotary table is less than 3.0%, thus the theoretical model is verified. The reactions between loads acting on the axial rollers and radial rollers are negligible. The bolt preloads, radial clearance and external load exert obvious effects on the static stiffness of rotary table bearing, and the effect of external load decreases with the increasing preloads of bolts and radial clearance.

three-row cylindrical roller bearing; static stiffness; preload; rotary table

2014-06-19。

位文明(1985—),男,博士生;趙萬華(通信作者),男,教授,博士生導師。

國家自然科學基金重點資助項目(51235009);國家科技重大專項資助項目(2011zx04016-031)。

時間:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201412002

TH133.33

:A

:0253-987X(2014)12-0008-07

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141023.1634.006.html