妙用構(gòu)造 巧解賽題

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(諸暨中學(xué) 浙江諸暨 311800)

所謂構(gòu)造的思想方法，是指在對問題進行透徹分析、對其實質(zhì)進行深刻了解的基礎(chǔ)上，借助于邏輯分析或長期積累的經(jīng)驗，發(fā)揮高度的想象力和創(chuàng)造性，將問題從原來的模式轉(zhuǎn)化為更能反映其本質(zhì)特征的新模式的思想方法．構(gòu)造思想是一種很活躍的創(chuàng)造性思想方法，它能溝通數(shù)學(xué)各個不同的分支，實現(xiàn)跨度極大的問題轉(zhuǎn)化．應(yīng)用構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵有2個：一是要有明確的方向，即構(gòu)造的目的；二是要弄清條件的本質(zhì)特點，以便重新進行邏輯組合．構(gòu)造的方法有很多，其中以構(gòu)造函數(shù)、方程、圖形、模型、算法等最為常見．本文試通過案例敘述構(gòu)造法在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用．

1 構(gòu)造方程，多元問題主元化

方程是解數(shù)學(xué)題的一個重要工具，根據(jù)數(shù)學(xué)題設(shè)中量的關(guān)系，構(gòu)造出方程，使原來復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得直觀合理、簡潔易解．數(shù)學(xué)題中的有些問題表面上看似乎與方程無關(guān)，但通過分析題中各個量之間的關(guān)系就可以構(gòu)造出方程，然后通過方程來巧解數(shù)學(xué)問題．

例1求方程x3+y3-x2y2-(x+y)z=0的所有解(x∈N*,y∈N*,z∈N)．

(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林省預(yù)賽試題)

分析原方程無論是看作關(guān)于x的方程還是關(guān)于y的方程，都是三次方程，不易分解，難以下手，但注意到

x3+y3= (x+y)(x2-xy+y2)=

(x+y)3-3xy(x+y)，

若記a=x+y,b=xy,則原方程可看作關(guān)于b為主元的二次方程，即

b2+3ab-a2(a-z)=0．

考慮到x,y,z都是整數(shù)，從而

Δ=9a2+4a2(a-z)=a2(4a+9-4z)

為完全平方數(shù)．又4a+9-4z是奇數(shù)，故可設(shè)

4a+9-4z=(2t+1)2，

則

a=t2+t+z-2，b=a(t-1) (t≥2).

因為(x-y)2=(x+y)2-4xy=a2-4a(t-1),且

[a-2(t-1)-2]2≤a2-4a(t-1)<

[a-2(t-1)]2,

顯然[a-2(t-1)-1]2≠a2-4a(t-1),所以

[a-2(t-1)-2]2=a2-4a(t-1)，

從而t=2,z=0，即x=y=2,z=0.

本題通過換元，不斷地轉(zhuǎn)換原方程的形式，構(gòu)造出結(jié)構(gòu)更為簡單的方程，使問題得到解決.

2 構(gòu)造函數(shù)，隱性問題顯性化

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個中心，函數(shù)圖像可以看作是研究函數(shù)性質(zhì)的一個工具，進而解決一類相關(guān)問題．構(gòu)造函數(shù)法是運用函數(shù)概念和性質(zhì)構(gòu)造輔助函數(shù)進行解題．構(gòu)造函數(shù)的前提是熟悉函數(shù)的概念，牢固掌握各類初等函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造過程要求我們選擇恰當?shù)暮瘮?shù)，并準確地運用函數(shù)性質(zhì)，以便快捷無誤地解決原問題．

例2設(shè)實數(shù)a,b滿足3a+13b=17a,5a+7b=11b，證明：a

(2001年羅馬尼亞奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題)

分析3個底數(shù)兩兩互素且指數(shù)不全相等的指數(shù)方程很難求解，考慮將其放縮為指數(shù)相同的不等式．先假設(shè)a≥b，則13a≥13b,5a≥5b，由3a+13b=17a，得

3a+13a≥17a，

即

同理由5a+7b=11b，得

5b+7b≤11b，

即

從而b>1.因此a<1

3 構(gòu)造向量，表象問題本質(zhì)化

向量是非常有用的一個工具，它具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份，對一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，若能把它轉(zhuǎn)化為向量，用向量的性質(zhì)來解決問題，則會事半功倍．

例3設(shè)a,b,c為正實數(shù)，且滿足abc=1，試證明：

(第36屆IMO試題)

分析原不等式等價于

根據(jù)不等式左邊的特征，聯(lián)想到向量數(shù)量積，可以構(gòu)造三維向量

根據(jù)向量性質(zhì)|m·n|≤|m||n|，可得

4 構(gòu)造圖形，代數(shù)問題幾何化

用幾何圖形來解決問題是構(gòu)造思想的一個重要方面．對于本身不具備圖形的一些數(shù)學(xué)問題，由于它的條件中數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或通過某種方式可以將問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形，則可以借助幾何圖形的性質(zhì)來研究，從而獲得解決．它的實質(zhì)就是“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”，借助圖形來實現(xiàn)解題的目標．

例4已知a,b,c,d是正實數(shù)，求證：

(第52屆白俄羅斯奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題)

又直線PQ的方程為

(b+d)x-(a+c)y+(bc-ad)=0，

從而原點到直線PQ的距離為

由|OP|≤|OR|+|RP|,|OQ|≤|OR|+|RQ|得

|OP|+|OQ|≤ |RP|+|RQ|+2|OR|=

|PQ|+2|OR|,

得證．

5 構(gòu)造“算法”，無窮存在型問題步驟化

構(gòu)造算法主要指直接設(shè)計、構(gòu)造出一種可行的計算、作圖的程序步驟,在有限次內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)所構(gòu)造的對象．這樣，不僅證明了存在性，而且可以按照程序在有限步驟內(nèi)確定存在的對象．我們借用“算法”這一術(shù)語，不妨稱之為構(gòu)造“算法”．

例5設(shè)正實數(shù)a，b,對于任意的n∈N*，設(shè)xn為[an+b]在十進制中各位數(shù)字之和，證明：序列{xn}包含一個由常數(shù)構(gòu)成的子列．

(2002年羅馬尼亞奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題)

10k+a,

即

10k=[ank+b]≤10k+[a].

當k足夠大時，有10k-1>a．因此xnk是集合{0,1,2,…,[b]}中的某個數(shù)t的各位數(shù)字之和加1．因為k可以取無窮多個值，而t是有限的，所以有無窮多個k，使得[ank+b]的各位數(shù)字之和相同．

6 構(gòu)造實際操作模型，非常規(guī)問題模型化

在數(shù)學(xué)競賽中有很多特殊模型，在解一些非常規(guī)題時，我們需要拓展思維，合理聯(lián)想，為題目臨時建立恰當?shù)慕忸}模型．這種構(gòu)造方式是將問題中的條件、數(shù)量關(guān)系，在已構(gòu)造的模型上實現(xiàn)并得到解釋．這樣就實現(xiàn)了問題的證明,或轉(zhuǎn)化為在所構(gòu)造的“模型”上相應(yīng)問題的證明．

例6一條鏈子上有2k顆白珠子和2m顆黑珠子．若將這條鏈子剪斷把珠子均分給2個人，每人得k顆白珠子和m顆黑珠子，問至少要剪幾刀才能保證上述分法能實現(xiàn)．

(2000年以色列奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題)

分析選定一顆白珠子將其編號為1，然后按順時針方向依次給每顆珠子編號：2,3,4，…，直到最后一顆，編號為2(k+m)，然后給每一顆珠子編組：1號珠子，連同它后面的k+m-1顆珠子，共k+m顆珠子編為一組，稱為1號組；2號珠子，連同它后面的k+m-1顆珠子編為2號組;…共2(k+m)組，每組均有k+m顆珠子．且滿足：(1)每組中的白珠子不可能都多于k顆；(2)相鄰2組中白珠子數(shù)目最多相差1．現(xiàn)在假設(shè)沒有一組的白珠子數(shù)目為k．由條件(1)知，必存在2個相鄰組A,B，A中白珠子數(shù)小于等于k-1，B中白珠子數(shù)大于等于k+1，即A和B的白珠子數(shù)至少相差2，矛盾！因此，必有某組恰好含有k顆白珠子和m顆黑珠子，把這一組2頭剪下來即可．故至少剪2刀.

7 構(gòu)造特例，不真問題證明簡單化

為了證明某種對象的存在性，找到這種對象的一個特例，即能實現(xiàn)證明．另外為了證明一個命題不真，也只需構(gòu)造一個特例——“反例”說明即可．選擇題設(shè)條件中特殊、極端的情形，常常是構(gòu)造特例與反例的關(guān)鍵．

例7集合A={n!+n|n∈N*}，集合B是集合A對N*的補集．問：是否存在各項都在集合B中的無限項等比數(shù)列？說明理由．

分析首先考慮最特殊的等比數(shù)列，例如{an}等，不符合；接著考慮{a·bn}這樣的等比數(shù)列，如：3,6,12，…,3×2n-1,…符合題意．下面只要用反證法證明：此數(shù)列中的任一項均不在集合A中即可．設(shè)

3×2n-1=k!+k=k[(k-1)!+1],

則

k|3×2n-1,

從而k=1,2,3,6,2i-1，3×2i-1(3≤i

易驗證k=1,2,3,6，均不符合.

若k=2i-1(3≤i

3×2n-1=2i-1+(2i-1)！

即

3×2n-i=1+(2i-1-1)!,

式子2邊同時模3，得0≡1+0(mod 3)，矛盾！

若k=3×2i-1(3≤i

3×2n-1=3×2i-1+(3×2i-1)!

即

2n-i=1+(3×2i-1-1)!,

式子2邊同時模2，得0≡1+0(mod 2)，矛盾！

故數(shù)列{3×2n-1}中的任一項不能寫成k!+k的形式，即這樣的等比數(shù)列存在．

圖1

例8證明：對每個自然數(shù)n(n≥3),都能夠在平面上找到滿足下列2個條件的n個點：

(1)任意2個點之間的距離都是無理數(shù)；

(2)任意3個點都是面積為有理數(shù)的非退化三角形的頂點．

(第28屆IMO試題)

分析要在平面上找滿足題意的n個點，不妨在我們比較熟悉的曲線或曲線組合上去找，例如在拋物線y=x2上選n個點Pi(i,i2)(i=1,2,…,n)，這n個點滿足題設(shè)的2個條件，驗證如下：

(1)任意2個點Pi,Pj之間的距離是

(2)由于拋物線是凹的，故任意3個點Pi,Pj,Pk都不共線,△PiPjPk為非退化的,從而

顯然S△PiPjPk是有理數(shù)．

筆者例舉了一些常見的構(gòu)造法，當然還可構(gòu)造數(shù)列、復(fù)數(shù)、對偶式、不等式、恒等式等等，而且構(gòu)造法也不是上述問題的唯一解法，即使對同一問題還可從不同角度去構(gòu)造．構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新思維，巧在“構(gòu)造”，難也在“構(gòu)造”，它要求學(xué)生針對題目的特征、對掌握的知識進行整體分析，構(gòu)造出基于問題又在思維上有突破的方法，這是對學(xué)生思維方式的極好挑戰(zhàn)．因此，在解題教學(xué)時，教師若能啟發(fā)學(xué)生從多角度、多渠道進行聯(lián)想,則能得到許多構(gòu)思巧妙、新穎獨特、簡捷有效的解題方法而且還能加強學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題的創(chuàng)新能力．