概率統計內容的競賽元素分析

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(臺州初級中學 浙江臨海 317000)

概率與統計是近幾年新增加的競賽內容,統計的內容包括收集、整理并分析與某一事件相關的數據，進而作出推斷與預測；而概率則是在此基礎上研究這些數據的規(guī)律，進而推斷某一事件發(fā)生可能性的大小，它們密切相關.由于這類試題對學生的統計推理能力、創(chuàng)造性思維能力、發(fā)散性思維能力、數據分析能力等均提出了較高的要求，因此，概率統計問題也成為競賽試題中的常見題型.現以近幾年的競賽試題為例，談談概率統計內容在競賽試題中的呈現形式及賽點分析.

1 統計類試題的競賽元素

近幾年的統計類競賽試題以實際問題為背景，考查學生選取適當的統計量進行數據分析并解決實際問題的能力,有些試題還考查了學生利用數據進行邏輯或合情推理的能力.

1.1 考查學生的識圖能力

例1某校為提高學生的環(huán)保意識，對部分學生進行了一次環(huán)保知識測試(分值為整數，總分100分)，測試成績最低分為53分，現將相關數據收集并分別繪制成如下統計表1和統計圖1，請回答下列問題：

表1 每個分數段的人數

圖1

(1)本次測試的總人數為多少？

(2)成績在76.5～84.5范圍內的人數為多少？

(3)本次成績的中位數落在哪個小組內？

(4)成績在84.5～89.5之間的人數為多少？

(2006年 TRULY信利杯全國初中數學聯賽試題)

分析(1)45人.

(2)12人.

(3)這次測試成績的中位數落在76.5～84.5這一小組內.

(4)成績在84.5～89.5之間的人數為5人.

注近幾年有關統計的競賽題通常以選擇題與填空題的形式呈現，很少出現解答題，但隨著新課改的深入及社會發(fā)展的需要，統計觀念的培養(yǎng)已成為課程教學的重要目標之一.因此，學生收集數據、整理與描述數據的能力、作圖與識圖能力以及統計意識的培養(yǎng)都是競賽和中考的基本要求.本題考查了學生從頻數分布直方圖及統計表中獲取信息并解決實際問題的能力.

1.2 考查學生的數據分析能力

例2校七年級籃球隊因訓練需要準備買一批運動鞋.已知該隊有20名同學，各同學的鞋碼見統計表2.由于不小心弄臟了表格，有2個數據看不到.

表2 不同鞋碼的人數

請對表2中的數據進行分析，下列說法中正確的是

( )

A.中位數是40，眾數是39

B.中位數與眾數一定相等

C.平均數一定處于39與40之間

D.以上說法全錯

(2008年全國初中數學聯賽海南賽區(qū)初賽試題)

分析據中位數、眾數的定義可判定選項A錯誤；對于選項B，分析極端情況后可知，中位數與眾數的關系不能確定，故B錯誤；對于選項C，假設剩余10人全部穿39碼鞋或全部穿40碼鞋，可以判斷C正確.

注數據分析是統計的核心內容，本題考查了學生靈活運用平均數、眾數、中位數等不同統計量進行數據分析的能力，同時還考查了學生利用極端方法分析問題、解決問題的能力.

1.3 考查學生的統計推理能力

例3從魚塘打撈草魚300尾，從中任選10尾，稱得每尾的質量分別是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.5，1.8，1.3，1.4(單位：千克)，估計這300尾草魚的總質量大約是

( )

A.450千克 B.150千克

C.45千克 D.15千克

(2007年全國初中數學聯賽廣東賽區(qū)初賽試題)

分析本題取材自生活中常見的統計問題.先利用算術平均數的意義計算每尾魚的平均質量是1.5千克，再用樣本估計總體的思想推斷這300尾草魚的總質量大約為300×1.5=450千克.故選A.

注統計推理屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統計推理得到的結論無法用邏輯的方法去檢驗，只有靠實踐來證實.本題的估值屬于統計推理，考查的內容是用樣本平均數推斷總體平均數，讓學生體會用樣本估計總體的思想，理解其合理性，推斷并解決生活中的問題.

1.4 結合方程、不等式等知識考查學生的綜合應用能力

(2012年四川省初中數學競賽初賽試題)

分析設A,B這2組數原來的平均數分別為a和b，A組數原來有m個數，則B組數原來有15-m個數，從而

由式(2)得 2a=21-m,

(4)

由式(3)得 2b=36-m,

(5)

將式(4)，式(5)分別代入式(1)可得m=10，進而得a=5.5，b=13.

例5設a,b,c的平均數為M，a和b的平均數為N，N和c的平均數為P.若a>b>c，則M與P的大小關系是

( )

A.M=PB.M>P

C.M

(2000年全國初中數學聯賽試題)

又a>b>c,

所以

即M-P>0，因此M>P.故選B.

注理解平均數的意義，結合方程(組)與不等式(組)的知識是解題的關鍵所在.

2 概率類試題的競賽元素

2.1 考查概率的求解方法

初中階段概率的求法除了列舉法、列表法、樹狀圖法外，還有面積法及頻率估計概率的方法，若稍加拓展，還能借助排列組合的方法確定事件發(fā)生的個數.除此之外，乘法原理、加法原理也能應用在概率的求解中.

例6在分別標有號碼2，3，4，…，10的9個球中，隨機取出2個球，記下它們的標號，則較大標號被較小標號整除的概率是

( )

(2013年全國初中數學聯賽試題)

例7如圖2，有5張點數分別為2，3，7，8，9的撲克牌，從中任意抽取2張，則其點數之積是偶數的概率為______．

圖2

(2011年全國初中數學聯賽河南賽區(qū)復賽試題)

分析根據題意，當不考慮抽牌順序時，可以畫出如圖3所示的樹形圖：

圖3

注本題用樹狀圖求解.當決定事件發(fā)生可能性的元素超過2個時，常用樹狀圖來形象、清晰地反映事件發(fā)生的可能性.

例8一個袋子中裝有4個相同的小球，它們分別標有號碼1,2,3,4.搖勻后隨機取出一球，記下號碼后放回；再將小球搖勻，并從袋中隨機取出一球，則第2次取出的球的號碼不小于第1次取出的球的號碼的概率為

( )

(2012年全國初中數學聯賽天津賽區(qū)初賽試題)

注本題用乘法原理與加法原理求解.乘法原理是指完成一件事情要分m步，第1步有n1種方法，第2步有n2種方法，…，第m步有nm種方法，則完成這件事情的不同方法總數為

N=n1×n2×…×nm.

加法原理是指完成一件事情可以分為m類，第1類有n1種方法，第2類有n2種方法，…，第m類有nm種方法，則完成這件事情的不同方法總數為

N=n1+n2+…+nm.

分步時，要保證分步后任務恰好能完成，分類時標準前后要統一，不重不漏.

例9甲、乙2個人約定在早上7～8時之間在運動場門口會面，他們約定先到者應等候另一個人15分鐘，過時即可離去，那么2個人見面的概率是______．

圖4

注用幾何圖形的面積關系來求概率的試題較多，但本題的難點在于如何構圖來表示面積.本題借助了一次函數的圖像特征，將時間分別用x，y的坐標來表示，從而把時間長度這樣的一維問題轉化為平面圖形的二維面積問題，最后對面積求解而得到概率.

2.2 概率與方程(組)、不等式(組)結合

(第21屆希望杯全國初中數學聯賽初二組試題)

分析先將原方程2邊同乘以x2-3x+2，并化簡為整式方程:

(x-2)+a(x-1)=2(a+1)，

即

(a+1)x=3a+4，

( )

(2009年“《數學周報》杯”全國初中數學聯賽試題)

分析根據方程組解的意義，分2種情況討論如下：

(1)當2a-b=0時，方程組無解．

(2)當2a-b≠0時，方程組的解為

由已知得

解得

注概率與方程(組)、不等式(組)結合的試題，解題一般從方程(組)、不等式(組)入手，分析出解的情況后，再結合概率的意義進行求解.

2.3 概率與函數結合

例12在函數y=-x+5上取5個點，其橫坐標分別為1，2，3，4，5，試問：在這5個點中隨機取2個點P(x1,y1)，Q(x2,y2),則點P,Q在同一反比例函數圖像上的概率是______.

分析依題意，5個點中任意取2個點有10種可能的情況，通過驗證可知有2個點滿足條件，故答案為0.2.

例13將一枚質地均勻的正方體骰子6個面分別編號為1，2，3，4，5，6，先后投擲2次，若將2個正面朝上的編號分別記為m，n，則二次函數y=x2+mx+n的圖像與x軸有2個不同交點的概率是

( )

(2013年“《數學周報》杯”全國初中數學聯賽試題)

注以函數知識為載體的概率試題，多數情況下是以函數知識為主來考查概率的求法.

2.4 概率與游戲結合

①過第1關是必然事件；

③可以過第4關；

④過第5關的概率大于0.

其中，正確說法的個數是______.

(2008年全國初中數學聯賽天津賽區(qū)初賽試題)

例15一場數學游戲在2個非常聰明的學生甲、乙之間進行，裁判在黑板上先寫出整數2，3，…，2 006，然后隨意擦去一個數，接下來由甲、乙2個人輪流擦去一個數(即乙先擦去其中的一個數，然后甲再擦去一個數，如此下去)，若最后剩下的2個數互質，則判甲勝；否則，則乙勝.按照這種游戲規(guī)則，則甲獲勝的概率是______(用具體數字作答).

(2007年全國數學聯賽四川賽區(qū)初賽試題)

注用概率的思維理解游戲規(guī)則是解題的關鍵，有些與游戲結合的概率題還涉及到對學生思維要求更高的組合問題，包括染色原理、數論、抽屜原理等知識.

綜合以上分析可知，概率統計類競賽試題形式新穎，內容豐富，它在與其他數學知識整合的同時，逐步趨向于以生活實際為載體，考查學生應用概率統計知識解決實際問題的能力，體現了對學生數學思維品質的更高要求.從另一個角度來講，在信息化社會中，掌握一定的概率統計知識，會用統計的眼光看問題，會從數字中提取有用信息進行正確決策，對學生的成長意義更重大.因此，教師要注重培養(yǎng)學生的統計意識，輔助學生形成概率思維.