例談構(gòu)造三角形在高中數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

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(東陽中學(xué) 浙江東陽 322100)

三角形是平面幾何中最簡單的圖形之一.三角形的許多性質(zhì)、定理，如內(nèi)角和定理、邊角不等關(guān)系、余弦定理、正弦定理、面積公式等是解決問題的基本工具.高中數(shù)學(xué)競賽中的許多問題，可以根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為某種特殊的三角形，即構(gòu)造三角形來解決，這是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的充分體現(xiàn)，需要解題者對題目中的條件認(rèn)真分析、實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，并通過豐富的想象力和創(chuàng)造力來完成構(gòu)造.

1 構(gòu)造三角形解求值問題

例2求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值.

(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解因為10°+50°+40°+80°=180°，所以可構(gòu)造一個以60°,40°,80°為內(nèi)角的△ABC，其3條邊長分別為a,b,c，如圖2所示.在△ABC中，運(yùn)用余弦定理得

a2+b2-2abccos60°=c2，

即

a2+b2-ab=c2，

由正弦定理得

sin280°+sin240°-sin40°sin80°=sin260°,

注：將正弦定理的結(jié)論a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC代入余弦定理結(jié)論得

sin2A=sin2B+sin2C-2sinAsinBcosA，

本例中sin280°+sin240°-sin40°sin80°=sin260°,恰為一個特例.

圖1 圖2 圖3

2 構(gòu)造三角形求最值問題

解將已知式變形為

3 構(gòu)造三角形證明不等式問題

圖4

例4正數(shù)a,b,c,A,B,C滿足條件：a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA

(第21屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題)

分析抓住條件a+A=b+B=c+C=k，構(gòu)造以k為邊長的正△MNP來解決.

證明構(gòu)造以k為邊長的正△MNP，使得3條邊滿足條件MF=A,NE=B,PD=C,NF=a,PE=b,MD=c,如圖4所示，則

S△DMF+S△FNE+S△EPD

從而

aB+bC+cA

分析本題若用代數(shù)方法將不等式化簡，則比較繁瑣，觀察到當(dāng)待證不等式右端小于等于0時，不等式顯然成立，而當(dāng)右端為大于0時，以a,b,c為邊恰好構(gòu)成一個三角形，而且右端的形式與海倫公式很接近.

證明當(dāng)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤0時，原不等式顯然成立.

要證明上式可利用函數(shù)y=sinx的凹凸性，因為函數(shù)y=sinx在x∈(0,π)上是凹函數(shù)，從而

注：例4和例5中聯(lián)想三角形中邊的關(guān)系構(gòu)造三角形，充分利用三角形的面積公式解題.

圖5

4 構(gòu)造三角形解數(shù)列問題

現(xiàn)在邊A0An上取n-1個點，設(shè)為A1,A2,…,Ai,…,An-1,滿足Ai-1Ai=ai(1≤i≤n),則A0An=Sn.于是對于A0An上任一點Ai，在△AA0Ai中,由余弦定理得

從而

5 構(gòu)造三角形解方程

(2014年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

分析由方程的形式特點，聯(lián)想勾股定理、余弦定理，可構(gòu)造直角三角形.

圖6

本文主要介紹了幾例構(gòu)造三角形解決的數(shù)學(xué)競賽問題，通過構(gòu)造三角形，可以建立起各種數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生的興趣.但構(gòu)造三角形解題并不是萬能的，這需要合理地分析題目中的條件，并聯(lián)想能否與三角形的有關(guān)性質(zhì)產(chǎn)生聯(lián)系.