空間電荷透鏡電子云狀態(tài)研究

張鳳娟，張潮海

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

20世紀(jì)40年代，空間電荷透鏡的概念被提出[1]，直到60年代Морозов[2]才制造出空間電荷透鏡。隨后各種類型的空間電荷透鏡出現(xiàn)，但原理均是采用外加電磁場將大量電子約束在透鏡中，形成電子云對離子束進(jìn)行聚焦，電子云的狀態(tài)決定離子的聚焦性能[3]?？臻g電荷透鏡有著不破壞束流的自中和效應(yīng)及聚焦能力更強的優(yōu)越性[4-5]。電子云是非中性等離子體，對磁約束的電子云可采用研究等離子體的理論方法。本文在電子的磁流體方程組的基礎(chǔ)上推導(dǎo)磁鏡場中電子的密度及電位分布，數(shù)值模擬中心電子密度、磁約束因子、電子溫度3個參數(shù)的變化對電子云狀態(tài)的影響。

1 磁鏡

電子在磁場中沿磁感線漂移，磁矩具有不變性，磁鏡利用了磁矩的不變性。在磁場強的位置，粒子垂直速度變大，總能量不變，所以平行速度變小，平行動能轉(zhuǎn)化為垂直動能；在磁場弱的位置，垂直動能轉(zhuǎn)化為平行動能。有些平行速度小的粒子會在某處喪失平行方向的動能，被該處磁場反射而向相反方向運動，到達(dá)對稱位置時又被反射，從而粒子在磁鏡場中來回運動，成為約束粒子。平行速度大的粒子通過線圈，成為逃逸粒子。被磁鏡約束的粒子的速度分布會出現(xiàn)以2θm為頂角的損失錐，其中θm為中間面上粒子運動速度與磁感線夾角的臨界值。錐內(nèi)粒子全部逃逸出磁鏡，錐外粒子被約束，被束縛的電子形成電子云。

磁鏡場是軸對稱磁場，在圓柱坐標(biāo)系下，軸對稱的磁場的磁矢勢為：

(1)

式中：α=(R-1)/(R+1)，R為磁鏡比；k=2π/L，L為磁鏡距離；B0=(Bmax-Bmin)/2α，B為磁感應(yīng)強度。則磁鏡場內(nèi)部磁感應(yīng)強度為：

(2)

式中，I0和I1為雙曲型貝塞爾函數(shù)。在空間透鏡的磁鏡場(z，r)平面的磁感應(yīng)強度分布如圖1所示。

圖1 (z，r)平面磁感應(yīng)強度分布

2 電子云的空間電場

空間電荷透鏡中電子的磁流體方程組(電子的連續(xù)性方程、動量方程、能量方程和靜電場方程)[6]為：

(3)

式中：ε0為真空介電常數(shù)；κ為波爾茲曼常數(shù)。n為電子密度；m為電子質(zhì)量；e為電子電量；v為電子速度；U為電子電位；B為磁場強度；T為電子溫度；ν為電子碰撞頻率。

空間電荷透鏡中，電子密度較大，電子沿磁力線運動較沿橫越磁力線容易，殘余氣體原子和電子的有效碰撞電離，使電子運動受到一定的阻尼，使某平磁面的電子云偏離平衡狀態(tài)，最終一部分電子擴散逸出約束區(qū)域。損失電子可通過裝置中的冷陰極Penning放電和雜散離子轟擊管壁的電子二次發(fā)射進(jìn)行補償。由于電子的漂移運動，損失電子和補償電子呈動態(tài)平衡狀態(tài)，電子云處于一定密度的穩(wěn)定狀態(tài)。此時，電子在垂直于z軸的平面內(nèi)繞z軸做旋輪線式運動。電子的流體運動方程為：

(4)

式中，p=γ0κTn，γ0為比熱比。在流體力學(xué)中忽略極小項，得到：

(5)

(6)

式中，n0為透鏡中心電子密度?？臻g電荷場中電子沿徑向方向的密度分布為：

(7)

結(jié)合Poisson方程得到：

(8)

設(shè)理想磁鏡場是以z軸對稱的柱狀電子云，透鏡中心為原點。當(dāng)電子云的軸向長度遠(yuǎn)大于徑向長度時，電子云可看作無限長，由電子產(chǎn)生的電場抵消空間電荷場軸向分量，即?U/?z≈0，則式(8)簡化為：

(9)

假定束軸上的電位為0，對式(9)采用四階龍格-庫塔法對二階微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，模擬得到透鏡場中的電勢分布(圖2)。求解過程中所需的其他參數(shù)可根據(jù)已有實驗經(jīng)驗取定。從圖2可看出，在一定的半徑區(qū)域范圍內(nèi)電場呈線性變化，此區(qū)域的電場對穿過的離子束流起徑向聚焦作用。圖2示出的電子云的電勢分布和文獻(xiàn)[7]的接近。

圖2 電子云的電勢分布

3 電子云參數(shù)

運行的空間電荷透鏡中電子云的狀態(tài)取決于中心電子密度n0、磁約束因子γ、T3個特征參數(shù)。這3個參數(shù)確定了電子云的空間形態(tài)和密度分布，也決定著此透鏡的聚焦性能。磁約束因子為：

(10)

結(jié)合式(2)得到空間電荷透鏡中軸對稱磁場和磁約束因子的關(guān)系。本文所采用的磁場是磁場強度沿z軸方向逐漸增加的軸對稱磁場。磁約束因子沿z軸的變化趨勢如圖3所示。結(jié)合圖1、3和式(10)可看出，磁約束因子和磁場強度呈線性關(guān)系，變化率取決于電子密度和回旋頻率，電子密度和磁約束因子之間有制約關(guān)系。結(jié)合式(7)、(9)可看出，電子云的3個特征參數(shù)相互不獨立，1個參數(shù)的變化將引起其他參數(shù)的變化，電子云狀態(tài)、大小和密度分布參數(shù)也會發(fā)生改變，從而會改變電子云的電場分布，對聚焦性能產(chǎn)生很大的影響。

圖3 n0=1015 m-3時磁約束因子沿z軸的變化

(11)

電子云內(nèi)，?n/?r<0，故γ>0。對式(11)取不同γ、T得到圖4。

從圖4a可看出，透鏡中心軸附近的電子密度越高，電子密度沿徑向近似于線性的變化率減少，電極邊緣附近，電子密度幾乎無變化。電子溫度取某定值時，相同數(shù)量的電子γ越大，電子云半徑被壓縮得越小，電場對電子的約束能力越強；從圖4b可看出，在透鏡中心軸附近區(qū)域，沿徑向有一小段電子密度幾乎不變，隨后沿徑向以較大的變化率減少。γ取某定值時，電子溫度越高，電子運動越活躍，電子在空間電荷透鏡中的彌散狀態(tài)越明顯，電子在整個電荷空間透鏡中分布越均勻。中心軸附近區(qū)域，電子運動活躍碰撞幾率較大，但由于密度較大，加之線性電場的約束，電子難以逃出此區(qū)域；電極附近區(qū)域電子密度較低，電子運動碰撞幾率較低，活動范圍較大。

圖4 γ(a)、T(b)對電子云狀態(tài)的影響

4 結(jié)論

本文闡述了軸對稱磁鏡場約束電子的理論，得到磁鏡場新型的空間電荷透鏡的理論基礎(chǔ)。對軸對稱磁鏡場的磁矢勢進(jìn)行理論模擬，繪制(z，r)平面內(nèi)磁場強度的分布。在新型空間電荷透鏡磁場中，在電子損失和補償呈動態(tài)平衡的基礎(chǔ)上得到某密度平衡態(tài)的電子云。結(jié)合電子的磁流體運動方程組，推導(dǎo)出絕熱狀態(tài)下空間電荷透鏡中電子的波爾茲曼分布，將電子的波爾茲曼分布和Poisson分布結(jié)合進(jìn)行四階龍格-庫塔二階微分方程求解，得到空間電荷透鏡中電勢的分布。離子聚焦性能取決于電子云，而電子云的3個參數(shù)對電子云的狀態(tài)起決定作用。引入磁約束因子關(guān)系式，得到軸對稱磁鏡場中磁約束因子沿z軸方向近似于線性的變化趨勢。結(jié)合式(7)、(10)可看出，電子云的3個狀態(tài)參量相互制約，改變電子云的狀態(tài)，對聚焦性能有很大的影響。對磁約束因子、電子溫度取不同的數(shù)值進(jìn)行對比研究，結(jié)果表明，磁約束因子的約束能力以及電子運動活躍程度，對電子云的狀態(tài)有著較大的影響。

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