多元文化數(shù)學(xué)及其文化意義

唐恒鈞，張維忠

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江金華 321004)

數(shù)學(xué)給人的感覺(jué)是文化自由的.事實(shí)上，“數(shù)學(xué)常規(guī)的內(nèi)在邏輯和語(yǔ)言掩飾了計(jì)數(shù)、計(jì)算和測(cè)量，空間的概念，以及集合和分類等方面的邏輯中存在的某些文化差異”［1］.如果我們認(rèn)識(shí)到“數(shù)學(xué)”這個(gè)概念或者說(shuō)領(lǐng)域既有普遍性，又具有根植于不同歷史文化的特性，那么將有助于人們更加深刻而全面地理解數(shù)學(xué)這一學(xué)科，這也正是多元文化數(shù)學(xué)(multicultural mathematics)這一概念的其中一個(gè)出發(fā)點(diǎn).

1 多元文化數(shù)學(xué)的涵義

多元文化數(shù)學(xué)是一個(gè)20世紀(jì)80年代前后引起國(guó)際數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的研究領(lǐng)域，是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)人類文化學(xué)的研究.關(guān)于多元文化數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)雖還存在一定分歧，但其基本觀點(diǎn)還是一致的，尤其表現(xiàn)在多元文化數(shù)學(xué)的立論基礎(chǔ)、基本內(nèi)涵以及發(fā)展機(jī)制等方面.

首先，“多元文化數(shù)學(xué)”的提出是基于對(duì)數(shù)學(xué)的社會(huì)文化屬性的肯定，即承認(rèn)數(shù)學(xué)是人類的一種創(chuàng)造物，是一種文化.自該觀點(diǎn)提出之時(shí)，就已奠定了關(guān)于數(shù)學(xué)的文化多樣性的認(rèn)識(shí).例如，早在1950年，懷爾德在《數(shù)學(xué)的文化基礎(chǔ)》中就指出，在人類早期文化中，不同文化中的數(shù)學(xué)是如此的不同，以至于在一個(gè)文化中屬于數(shù)學(xué)的元素在另一文化中卻很難被認(rèn)為是數(shù)學(xué).

其次，多元文化數(shù)學(xué)是不同文化群落或人群(如少數(shù)民族或原住民)里所產(chǎn)生與使用的數(shù)學(xué).在這個(gè)層面上，多元文化數(shù)學(xué)可以說(shuō)是“民俗數(shù)學(xué)”(ethnomathematics，也被譯為“民族數(shù)學(xué)”)的進(jìn)一步發(fā)展.1984年，巴西學(xué)者D'ambrosio首次明確界定，民俗數(shù)學(xué)是指不同的文化群體所產(chǎn)生的不同的數(shù)學(xué)，這些數(shù)學(xué)包括計(jì)數(shù)、測(cè)量、聯(lián)系、分類和推理.豪森［2］也指出，在所有社會(huì)文化群落里存在大量的用于分類排序、測(cè)量、比較、數(shù)量化等各種不同的數(shù)學(xué)工具，但這些工具不是通常嚴(yán)格意義上的標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)工具.多元文化數(shù)學(xué)除了民俗數(shù)學(xué)所強(qiáng)調(diào)的方面外，還關(guān)注不同時(shí)空下文化多樣的數(shù)學(xué)并存的文化現(xiàn)象，這些數(shù)學(xué)相互聯(lián)系但又保持了相對(duì)獨(dú)立的文化特征.因此，民俗數(shù)學(xué)是多元文化數(shù)學(xué)最重要的表達(dá)形式，但它不等同于多元文化數(shù)學(xué).

再次，多元文化數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)其發(fā)展受到文化、環(huán)境的影響，是人類文化的子文化.正如Zaslavsky［3］所認(rèn)為，所有社會(huì)的人都發(fā)明了數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生于所有社會(huì)和各個(gè)時(shí)代的人們處理如計(jì)數(shù)、測(cè)量、定位等這類活動(dòng)的實(shí)際需要和利益.

概而言之，多元文化數(shù)學(xué)是指多元的文化產(chǎn)生的多樣的數(shù)學(xué)，而多樣的數(shù)學(xué)又反過(guò)來(lái)適應(yīng)并促進(jìn)了文化的多元發(fā)展.

2 多元文化數(shù)學(xué)的來(lái)源與形態(tài)

從當(dāng)下的視角思考、探索多元文化數(shù)學(xué)，其中的2個(gè)基本問(wèn)題是:多元文化數(shù)學(xué)存在于哪里?又以何種形態(tài)存在?

2.1 多元文化數(shù)學(xué)的來(lái)源

就多元文化數(shù)學(xué)的來(lái)源而言，正如Ascher等［4］指出的，一方面應(yīng)該更加關(guān)注從數(shù)學(xué)歷史與數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度探索這一問(wèn)題，這些數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)哲學(xué)包括地中海的、西方的及非西方的;另一方面還要關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活情境，且關(guān)系到生活的各個(gè)方面.

2.1.1 傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)

不同的傳統(tǒng)文化都產(chǎn)生和使用著也許不那么嚴(yán)格的數(shù)學(xué)，但在文化發(fā)展與交流的過(guò)程中，這些數(shù)學(xué)被忽視了，需要對(duì)其進(jìn)行重新挖掘.比如:從昌都、卡若等遺址中出土的不同時(shí)期的石器和陶器中可以發(fā)現(xiàn)，早在石器時(shí)代藏族已有圓、橢圓、矩形、圓柱體等幾何形態(tài)，但沒(méi)有真正形成幾何理論體系意義上的幾何概念;后來(lái)，這些幾何形態(tài)在藏族唐卡和壁畫(huà)中出現(xiàn)，不僅形成了概念，而且在唐卡和壁畫(huà)制作過(guò)程中使用諸如中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、成比例、等腰三角形等幾何術(shù)語(yǔ)，乃至在現(xiàn)實(shí)生活中普遍使用了“三角形的穩(wěn)定性”等原理［5］.又如，在矩形的構(gòu)造中，非洲傳統(tǒng)的構(gòu)造方法與學(xué)校數(shù)學(xué)中存在著明顯的差異.其中:方法一是先找2對(duì)長(zhǎng)短不一的竹竿(如圖1(a)所示)，再如圖1(b)所示，將竹竿首尾相連(形成一個(gè)平行四邊形)，并用2根繩子系在對(duì)角線上，調(diào)整這個(gè)平行四邊形，直到處于對(duì)角線位置的2條繩子等長(zhǎng)(如圖1(c)所示);方法二是先找2根等長(zhǎng)的繩子，并在繩子中點(diǎn)位置打結(jié)(如圖2(a)所示)，再按如圖2(b)所示，系上一根竹竿，然后拉緊繩子，并系上其余的3根竹竿(如圖2(c)所示).

圖1 非洲構(gòu)建長(zhǎng)方形的方法一

圖2 非洲構(gòu)建長(zhǎng)方形的方法二

2.1.2 現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)

在人們的現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多數(shù)學(xué)原理，盡管這些數(shù)學(xué)原理有時(shí)是潛在的.這就需要人們具備一定的數(shù)學(xué)意識(shí)，并加以挖掘與細(xì)細(xì)品味.例如，人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中會(huì)經(jīng)歷如下困境:某一天，您和另外的4個(gè)朋友正在其中一個(gè)朋友家做客，主人很客氣，拿出一盤(pán)梨，其中有4個(gè)香梨，1個(gè)大白梨.假設(shè)您更喜歡香梨，很自然您也會(huì)認(rèn)為您的朋友中大多數(shù)人會(huì)更喜歡香梨，所以在“分梨(離)”不吉利的觀念下，您該吃什么?如果第1個(gè)吃香梨，您可能會(huì)有點(diǎn)不好意思.在您猶豫的時(shí)候，逐漸有3個(gè)朋友(包括主人)已經(jīng)吃了3個(gè)香梨了，這時(shí)您再去吃香梨，“不好意思”的感覺(jué)會(huì)變得極其強(qiáng)烈.這樣一個(gè)似乎與數(shù)學(xué)風(fēng)馬牛不相及的例子，卻可以用數(shù)學(xué)來(lái)解釋其中“不好意思的感覺(jué)越到后面越強(qiáng)烈”的原因.具體而言，可以假設(shè)80%的人會(huì)在香梨和大白梨之間選擇香梨，則當(dāng)?shù)?個(gè)人吃香梨時(shí)，后面4個(gè)人都會(huì)選擇香梨的可能性是:0.8·0.8·0.8·0.8≈0.4，而當(dāng)?shù)?個(gè)人選擇香梨時(shí)，剩下3個(gè)人都會(huì)選擇香梨的可能性是:0.8·0.8·0.8≈0.5，……，當(dāng)?shù)?個(gè)人選擇香梨時(shí)，剩下那個(gè)朋友還會(huì)選擇香梨的可能性就已經(jīng)達(dá)到0.8.可見(jiàn)，當(dāng)你吃香梨的時(shí)候，后面的朋友選擇香梨的可能性就會(huì)越來(lái)越大，香梨也就變得越來(lái)越珍貴，自然“不好意思的感覺(jué)越到后面就越強(qiáng)烈”.

2.2 多元文化數(shù)學(xué)存在的形態(tài)

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，多元文化數(shù)學(xué)又以何種形態(tài)反映其文化多樣性呢?筆者認(rèn)為，多元文化數(shù)學(xué)體現(xiàn)在發(fā)展脈絡(luò)的多樣性，并在發(fā)展過(guò)程中采用了多樣的數(shù)學(xué)載體或表征物，同時(shí)也體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思維.

2.2.1 文化多元的數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)

在不同的文化中，同一個(gè)數(shù)學(xué)元素的發(fā)展經(jīng)歷也許截然不同.比如，無(wú)理數(shù)就是其中一個(gè)典型的例子［6］.在古代西方，無(wú)理數(shù)從發(fā)現(xiàn)到被接受經(jīng)歷了曲折的過(guò)程，曾一度被認(rèn)為是謬論，甚至還導(dǎo)致了不安與恐慌.而在古代中國(guó)，古算學(xué)家們卻很自然地開(kāi)始使用了無(wú)理數(shù)，這一點(diǎn)在《九章算術(shù)》等古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都可以得到證明.

2.2.2 文化多元的數(shù)學(xué)載體

對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)元素，不同文化也許采用了不同的數(shù)學(xué)載體或表征物加以表示.例如，圓錐體在我國(guó)不同地域文化中就有著不同的載體.在蒙古族文化中，也許蒙古包就是圓錐體的載體;而在江南農(nóng)村文化中，農(nóng)民噴灑農(nóng)藥所形成的水柱就是合適的載體［7］.后者隨著出水口與地面高度的變化還能形成一系列的圓錐體.研究這一系列圓錐體所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)思維也更為復(fù)雜.

2.2.3 文化多元的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)在不同的文化中還體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思維方式.從宏觀層面

來(lái)看，西方古代數(shù)學(xué)表現(xiàn)出明顯的演繹思維的取向，而在古中國(guó)則表現(xiàn)出算法思維的取向.

從微觀層面來(lái)看，不同文化中解決同一類問(wèn)題時(shí)的具體方法也存在明顯差異.例如，同樣是解一元二次方程z2-2cz+a2=0(設(shè)其2個(gè)根為x，y)，趙爽采用了圖形直觀，即大正方形ABCD由4個(gè)長(zhǎng)為x、寬為y、面積xy=a2的長(zhǎng)方形圍成(如圖3所示)，大正方形的邊長(zhǎng)是x+y=2c.小正方形面積為

圖3 解方程圖解

而同一類型的問(wèn)題在古埃及紙草書(shū)(柏林紙草6619)中卻有不同的思路.具體而言，有2個(gè)大小不同的正方形，面積之和為100，其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是另一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的，求這2個(gè)正方形的邊.其解題思路為，假設(shè)x=1，則長(zhǎng).如果設(shè)較大的正方形邊長(zhǎng)為x，則可構(gòu)造以下方程設(shè)面積之和為100，，于是一個(gè)根為8，另一個(gè)根為6.

3 多元文化數(shù)學(xué)的文化意義

3.1 促進(jìn)了傳統(tǒng)文化的挖掘、豐富與傳承

正如懷爾德所指出的，“由于研究和發(fā)明，以及人們采用越來(lái)越合適的表征物，及其緊接而來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)化和雜志傳播等原因，文化傳播增加了，多數(shù)高級(jí)文化中的數(shù)學(xué)元素也就越來(lái)越接近，直到出現(xiàn)本質(zhì)上的一致性.”也正是從這種意義上看，當(dāng)下嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)只是經(jīng)過(guò)多元社會(huì)的長(zhǎng)期發(fā)展而來(lái)的一種特殊的產(chǎn)物，其發(fā)展還有非歐洲的來(lái)源［8］.

數(shù)學(xué)的上述發(fā)展過(guò)程也被一些學(xué)者稱為西方文化的擴(kuò)張過(guò)程［9］.在此過(guò)程中，“西方數(shù)學(xué)”逐漸被全世界所接受.但與此同時(shí)，一些文化中的數(shù)學(xué)卻被忽視或壓制了.多元文化數(shù)學(xué)的研究要努力挖掘那些在數(shù)學(xué)西化過(guò)程中被壓制或忽視的數(shù)學(xué)元素和活動(dòng)，使不同的文化尤其是非西方文化中的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)得以重建.

其價(jià)值首先在于，多元文化數(shù)學(xué)通過(guò)重建某種文化中的數(shù)學(xué)，豐富了相應(yīng)文化的內(nèi)涵，使人們有機(jī)會(huì)從多元文化數(shù)學(xué)的角度重新審視這種文化.其次，多元文化數(shù)學(xué)還有助于人們從多種角度把握同一個(gè)事物，最終實(shí)現(xiàn)多種文化的共同繁榮.這其實(shí)也就是我國(guó)傳統(tǒng)文化中“和而不同”的思想和價(jià)值的具體體現(xiàn)，也被認(rèn)為是“我國(guó)文化保持旺盛的生命力的重要原因”［10］.其中，“‘和’的主要精神就是要協(xié)調(diào)‘不同’，達(dá)到新的和諧統(tǒng)一，使各個(gè)不同事物都能得到新的發(fā)展，形成不同的新事物.”［11］

3.2 豐富了人們對(duì)數(shù)學(xué)歷史的認(rèn)識(shí)

在許多人的觀念中，數(shù)學(xué)是文化自由的，是具有普遍性的，甚至早已存在于另外一個(gè)世界之中.“數(shù)學(xué)給人的感覺(jué)也總是‘從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)’，而與人類乃至人類所創(chuàng)造的其他文化沒(méi)有多少關(guān)系，即使有也只是數(shù)學(xué)為其他文化提供了一種工具.”［12］

多元文化數(shù)學(xué)則為人們提供另一番圖景，也為理解數(shù)學(xué)外史提供了良好的載體與視角.數(shù)學(xué)史的研究分為從數(shù)學(xué)內(nèi)部審視數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)史和從數(shù)學(xué)外部審視數(shù)學(xué)發(fā)展的外史.多元文化數(shù)學(xué)使人們看到，數(shù)學(xué)是在不斷發(fā)展的，幾乎所有的文化在這一過(guò)程中都作出了貢獻(xiàn).而且存在于不同文化中的數(shù)學(xué)有共性，但與此同時(shí)，無(wú)論在數(shù)學(xué)價(jià)值體系、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維方式還是語(yǔ)言符號(hào)等方面都存在著明顯的差異.例如，在中西方文化中，人們以不同的思維方式、不同的表征方法理解與表示“無(wú)理數(shù)”、“負(fù)數(shù)”等數(shù)學(xué)概念.更重要的是，多元文化數(shù)學(xué)還讓人們看到“無(wú)理數(shù)”、“負(fù)數(shù)”在中西方數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中有著不同的遭遇，即這些概念在中國(guó)被人們很自然地接受，而在西方則經(jīng)歷了漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程，這背后其實(shí)反映了人們的數(shù)學(xué)觀念.具體而言，在古代中國(guó)，算學(xué)家們相信“物生而后有象，象而后有滋，滋而后有數(shù)”.也正是在這種觀念下，數(shù)學(xué)應(yīng)用性成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的典型特征，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)不能用現(xiàn)有的數(shù)系表示現(xiàn)實(shí)中的量時(shí)，就很自然地引進(jìn)了一個(gè)新的數(shù).而在古希臘乃至后世西方文化中的數(shù)學(xué)則強(qiáng)調(diào)邏輯上的可接受性.也正是從這一角度看，在評(píng)價(jià)中西方數(shù)學(xué)歷史時(shí)，單純地討論“誰(shuí)比誰(shuí)早多少年”已經(jīng)不那么重要了，更重要的還要從文化差異的角度去思考、理解這種時(shí)間差背后的原因.后者將有助于人們更全面而深刻地從文化的角度理解數(shù)學(xué)史.

3.3 改善與豐富了數(shù)學(xué)課程與教學(xué)

1)多元文化數(shù)學(xué)密切了數(shù)學(xué)課程與社會(huì)生活的關(guān)聯(lián).關(guān)于學(xué)校數(shù)學(xué)，海波爾形象地說(shuō)［13］:如果又一場(chǎng)洪水爆發(fā)，請(qǐng)飛到這里來(lái)避一下，即使整個(gè)世界被淹掉，這本書(shū)依然會(huì)干巴巴.長(zhǎng)久以來(lái)，學(xué)校中的數(shù)學(xué)以抽象、嚴(yán)謹(jǐn)面人，而與人們的社會(huì)生活缺乏聯(lián)系.后者也是近來(lái)網(wǎng)上熱議的“數(shù)學(xué)滾出高考”的基本立論點(diǎn).多元文化數(shù)學(xué)則關(guān)注存在于不同文化群落中的數(shù)學(xué)元素與活動(dòng).因此，將多元文化數(shù)學(xué)引入數(shù)學(xué)課程，將有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在各個(gè)社會(huì)中的角色，了解到數(shù)學(xué)實(shí)踐的產(chǎn)生源于人們的需要與興趣.Adam［14］也指出，多元文化數(shù)學(xué)課程會(huì)帶來(lái)關(guān)于日常數(shù)學(xué)進(jìn)入課堂教學(xué)的一種更寬泛的理解，這種課程學(xué)生會(huì)從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去理解和體驗(yàn)這些文化活動(dòng)，從而促使他們將學(xué)校數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界生活聯(lián)系起來(lái).

2)多元文化數(shù)學(xué)能使師生形成更加全面的數(shù)學(xué)觀念.首先，多元文化數(shù)學(xué)有助于改變師生關(guān)于數(shù)學(xué)起源的觀點(diǎn).多元文化數(shù)學(xué)展現(xiàn)了不同的文化在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所作出的貢獻(xiàn)，可以幫助教師和學(xué)生克服現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學(xué)起源和數(shù)學(xué)實(shí)踐的根深蒂固的歐洲中心主義偏見(jiàn)，進(jìn)而學(xué)會(huì)欣賞和尊重其他文化的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，同時(shí)也會(huì)以自己的文化為自豪.其次，有助于師生形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀.多元文化數(shù)學(xué)使師生看到數(shù)學(xué)并非是已經(jīng)終結(jié)的，而是在不斷地發(fā)展的，現(xiàn)實(shí)需求和思維創(chuàng)造是其發(fā)展的兩個(gè)基本出發(fā)點(diǎn).

3)多元文化數(shù)學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信.多元文化數(shù)學(xué)有助于促使學(xué)生建立自尊心、自信心，并鼓勵(lì)他們對(duì)數(shù)學(xué)更感興趣.唐恒鈞［12］認(rèn)為:“學(xué)校數(shù)學(xué)知識(shí)”的抽象性、組織的邏輯性和敘述的片斷性是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心的重要因素;而多元文化數(shù)學(xué)的文化相關(guān)性、歷史繼承性與思想借鑒性等關(guān)鍵特征則為其培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信提供了合理依據(jù).例如，多元文化數(shù)學(xué)中的日常數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)文化史以及多樣化的算法等載體有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

4)拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.產(chǎn)生與存在于不同文化中的數(shù)學(xué)思維，有效地拓寬了學(xué)生的視野，促進(jìn)學(xué)生欣賞不同文化中獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維和策略，體會(huì)到這些數(shù)學(xué)思維與策略在人們需要時(shí)被創(chuàng)造的過(guò)程.特別是，對(duì)于學(xué)生而言，思維與策略的創(chuàng)造過(guò)程具有重要的方法論意義，使他們不僅認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維與策略的多樣性，而且體會(huì)到這些思維與策略是在什么樣的情境下被創(chuàng)造出來(lái)的.

總之，多元文化數(shù)學(xué)使我們認(rèn)識(shí)到，“數(shù)學(xué)是全人類共同的遺產(chǎn)，不同文化背景下的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)創(chuàng)造都是根深葉茂的世界數(shù)學(xué)之樹(shù)不可分割的一枝.”［15］不管是從傳統(tǒng)文化的角度，還是從數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史的角度，抑或從數(shù)學(xué)教育的角度，多元文化數(shù)學(xué)的研究都具有重要的文化意義.

［1］張維忠，唐恒鈞.民族數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)課程改革［J］.數(shù)學(xué)傳播，2008，32(4):80-87.

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