非自治與隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子*

周盛凡

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

動(dòng)力系統(tǒng)理論具有悠久的歷史,但實(shí)質(zhì)性的理論研究源于Poincaré與Birkhoff關(guān)于天體力學(xué)的工作[1].從當(dāng)前的文獻(xiàn)動(dòng)態(tài)來(lái)看,動(dòng)力系統(tǒng)的研究正從低維向高維和無(wú)窮維發(fā)展,從自治系統(tǒng)向非自治和隨機(jī)系統(tǒng)擴(kuò)展[2-5]. 無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的經(jīng)典背景是流體力學(xué)中的湍流問題,其理論體系從20世紀(jì)80年代開始真正興起,主要研究具有耗散性的系統(tǒng)當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)的漸近行為.至今描述自治動(dòng)力系統(tǒng)的漸近行為的整體吸引子的理論體系相對(duì)已比較成熟[3,6-10].本文主要介紹無(wú)窮維非自治與隨機(jī)系統(tǒng)吸引子方面的一些最新成果[2,4,8-15].

1 非自治動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子

實(shí)際問題中許多系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)和外部的受迫力或多或少地依賴于時(shí)間,包括周期、擬周期、概周期地依賴于時(shí)間,從而對(duì)非自治系統(tǒng)的研究就顯得很有必要了[4].考慮非自治發(fā)展方程的初值問題

(1)

式(1)中:狀態(tài)變量u的相空間E為Banach空間或Hilbert空間;F(t,u)明顯依賴于時(shí)間t.假設(shè)問題(1)是適定的,則其解映射生成E上的一個(gè)雙參數(shù)連續(xù)算子過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ:U(t,τ):E→E,uτ→u(t),t≥τ,滿足:1)U(τ,τ)=I,?τ∈R;2)U(t,r)U(r,τ)=U(t,τ),-∞<τ≤r≤t<∞;3)(t,τ,uτ)|→U(t,τ )uτ(-∞<τ≤t<∞)是連續(xù)的.其中,U(t,τ)把τ時(shí)刻的初值uτ映到t時(shí)刻的解u(t).對(duì)于這樣的非自治系統(tǒng)(1),解曲線(積分曲線或軌道)關(guān)于t軸上的平移不再是不變的,這與自治系統(tǒng)有著本質(zhì)的區(qū)別,從而其解同時(shí)依賴于初始時(shí)刻τ與終值時(shí)刻t,不同于自治系統(tǒng)的解只依賴于終值時(shí)刻t與初始時(shí)刻τ之差t-τ.所以,描述自治系統(tǒng)的相空間上的整體吸引子不再適合描述非自治系統(tǒng)的解的漸近行為.此時(shí)必須在包含時(shí)間軸在內(nèi)的擴(kuò)展相空間上考慮解的演化性態(tài),需要引入新的概念.主要有2個(gè)概念:一致吸引子與拉回吸引子.它們都是整體吸引子在非自治系統(tǒng)的推廣.

1.1 一致吸引子

非自治系統(tǒng)(1)可以寫成如下形式:

(2)

考慮一簇發(fā)展方程的初值問題

(3)

假設(shè)對(duì)于任意的σ∈Σ,問題(3)是適定的,則可得到連續(xù)算子過(guò)程簇{Uσ(t,τ)}t≥τ,σ∈Σ,其中τ∈R.

注1根據(jù)定義1,一致吸引子不要求是不變的,這里用“最小性”代替通常吸引子定義中的“不變性”.若一致吸引子存在,則必唯一.在具體應(yīng)用中,通常要求符號(hào)空間Σ具有某種緊性,比如平移緊,即Σ在Θ中緊.Cb(R,M)中平移緊符號(hào)包括關(guān)于t是擬周期的函數(shù)與概周期函數(shù)等.具有平移緊符號(hào)的非自治系統(tǒng)的一個(gè)有趣特征是:可以把一致吸引子的構(gòu)造轉(zhuǎn)化為作用于適當(dāng)擴(kuò)展相空間上的半群(斜積流)的整體吸引子的存在性,并由此得到一致吸引子的一些重要性質(zhì).由于系統(tǒng)(3)的解的適定性,因而有平移恒等式

UT(h)σ(t,τ)=Uσ(t+h,τ+h),?t≥τ,τ∈R,?σ∈Σ,?h∈R.

(4)

引入算子簇:S(t):E×Σ→E×Σ,(u,σ)→(Uσ(t,0)u,t(t)σ),?t≥0,則{S(t)}t≥0為E×Σ上的半群,稱為E×Σ上的斜積流.可以在E×Σ上考慮{S(t)}t≥0的整體吸引子的存在性,有下面的定理:

定理1假設(shè)過(guò)程簇{Uσ(t,τ)}t≥τ,σ∈Σ是(E×Σ,E)連續(xù)的且有緊的一致吸引集,則{S(t)}t≥0有連通的整體吸引子A.且如果Π1(Π2)表示E×Σ到E(Σ)上的投影算子,則AΣ=Π1A?E是{Uσ(t,τ)}t≥τ,σ∈Σ的一致吸引子,Σ=Π2A.

1.2 一致指數(shù)吸引子

下面介紹擬周期符號(hào)驅(qū)動(dòng)下的非自治動(dòng)力系統(tǒng)的解過(guò)程簇的一致指數(shù)吸引子的存在性及其構(gòu)造,詳見文獻(xiàn)[12].

設(shè)Tn為n維環(huán)面:Tn={σ=(σ1,σ2,…,σn):σj∈[-π,π],?j=1,2,…,n},其中

(σ1,σ2,…,σj,-π,σj+1,…,σn)～(σ1,σ2,…,σj,π,σj+1,…,σn),?j=1,2,…,n.

現(xiàn)在介紹一致指數(shù)吸引子的有關(guān)定義.設(shè)B表示E的閉有界子集,使得Uσ(t,τ)B?B,?σ∈Tn,t≥τ,τ∈R.記BS=B×Tn,則{S(t)}t≥0為作用在BS上的連續(xù)半群,且?t≥0,S(t)BS?BS.

關(guān)于半群{S(t)}t≥0在BS上的指數(shù)吸引子和過(guò)程簇{Uσ(t,τ)}t≥τ,σ∈Tn在B上的一致指數(shù)吸引子的存在性,有下面的定理:

定理2若存在t*>0,L=L(t*)>0和E的N維子空間EN(N=N(t*)∈N),使得對(duì)于任意u1,u2∈B,σ1,σ2∈Tn,有

?t∈[0,t*],

則

3)M=ΠB(MS)為過(guò)程簇{Uσ(t,τ)}t≥τ,σ∈Tn在B上的一致指數(shù)吸引子,其中ΠB表示有界投影BS→B.

1.3 拉回吸引子

考慮作用在Banach空間E上的連續(xù)算子過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ.本節(jié)固定終止時(shí)間t,考慮初始時(shí)間τ趨于-∞時(shí)系統(tǒng)的向后的漸近行為,這時(shí)可用拉回吸引子來(lái)描述.拉回吸引子自Haraux在文獻(xiàn)[11]中提出以來(lái),得到了很大的發(fā)展.

定義3稱集簇{A(t)}t∈R為過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ的一個(gè)拉回吸引子,如果

1)?t∈R,A(t)在E中緊;

2)A(t)在如下意義下是不變的:U(t,τ)A(τ)= A(t),?t≥τ,τ∈R;

拉回吸引性3)是指:從-∞出發(fā)的初始有界集在時(shí)刻t處被A(t)吸引到其閉包內(nèi).由定義3可見,拉回吸引子如存在,不一定是唯一的.不過(guò)在附加一些條件后,可使拉回吸引子是唯一的,比如附加如下的“向后有界性'”:

(5)

定理3假設(shè)過(guò)程{U(t,τ)}t≥τ有緊的拉回吸引集{K(t)}t∈R(?t∈R,K(t)是緊的),則{U(t,τ)}t≥τ有拉回吸引子{A(t)}t∈R.若{K(t)}t∈R滿足向后有界性(5),則{A(t)}t∈R是唯一的且滿足該向后有界性(5).

定理4設(shè){U(t,τ)}t≥τ為可分Hilbert空間E上的連續(xù)過(guò)程,{A(t)}t∈R為E的一簇緊的負(fù)不變子集(即?t≥τ,τ∈R,A(t)?U(t,τ)A(τ)).假設(shè)

1)?t∈R,存在A(t)的直徑為2的閉子集的一致有限覆蓋,即?t∈R,存在A(t)的直徑為2 的N0個(gè)閉球的一致有限覆蓋,其中N0與t無(wú)關(guān);

2)對(duì)于任意τ∈R,存在與τ∈R無(wú)關(guān)的常數(shù)T≥0,L>0,0<η<1,γ>0及X的有限維正交投影P1,P2,使得對(duì)于vi∈A(τ),i=1,2,有

‖U(T+τ,τ)v1-U(T+τ,τ)v2‖E≤L‖v1-v2‖E,

‖U(T+τ,τ)v1-U(T+τ,τ)v2‖E≤

則對(duì)于每個(gè)s∈R,A(s)有有限的分形維數(shù)滿足

1.4 拉回指數(shù)吸引子

由于拉回吸引子吸引有界集或軌道的速度有時(shí)很慢,這給實(shí)際應(yīng)用與數(shù)值模擬帶來(lái)很大不便,所以引進(jìn)拉回指數(shù)吸引子就有必要了.接下來(lái)介紹一種非自治系統(tǒng)的拉回指數(shù)吸引子的構(gòu)造方法,詳見文獻(xiàn)[13,17].

設(shè)E為Banach空間,范數(shù)為‖5‖E,E1為E的子集且關(guān)于E的度量構(gòu)成度量空間.考慮E上2個(gè)參數(shù)的連續(xù)過(guò)程{U(t,τ),E1,E}t≥τ.

定義5稱E1的子集簇{M(t)}t∈R為連續(xù)過(guò)程{U(t,τ),E1,E}t≥τ在E中的拉回指數(shù)吸引子,如果

2)M(t)(t∈R)是正不變的,即U(t,τ )M(τ)?M(t),-∞<τ≤t<∞;

3)存在常數(shù)ε>0,使得對(duì)于任意有界集B?E1,存在TB>0與正值函數(shù)Q:R+×R+→R+,滿足dist(U(t,τ)B,M(t))≤Q(‖B‖X,TB)e-ε(t-τ),τ∈R,τ+TB≤t<∞.

作如下假設(shè):

‖U(τ*+τ,τ)uτ-U(τ*+τ,τ)vτ‖E≤γ‖uτ-vτ‖E+‖Q(τ)uτ-Q(τ)vτ‖E,

‖Q(τ)uτ-Q(τ)vτ‖Z≤L2‖uτ-vτ‖E.

‖(I-PN)(U(τ+τ*,τ)uτ-U(τ+τ*,τ)vτ)‖E≤γ‖uτ-vτ‖E.

其中,γ,N∈N依賴于τ*但與τ無(wú)關(guān).

定理5設(shè){U(t,τ),E1,E}t≥τ為E上的連續(xù)過(guò)程.

1)若假設(shè)1)～3)成立,則{U(t,τ),E1,E}t≥τ存在拉回指數(shù)吸引子{M(t)}t∈R具有以下性質(zhì):

(7)

2 多值非自治和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子

毫無(wú)疑問,非自治和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)在自然科學(xué)的許多應(yīng)用領(lǐng)域中起著非常重要的作用.在許多實(shí)際問題中,通常遇到微分方程初值問題的解存在但不唯一或無(wú)法證明其唯一性的情況.例如,三維Navier-Stokes方程和具超臨界增長(zhǎng)非線性項(xiàng)的波動(dòng)方程等.在這種情況下,已有的關(guān)于單值動(dòng)力系統(tǒng)的理論中就有許多地方不成立了.下面介紹一下近年來(lái)國(guó)際上受到關(guān)注的多值非自治和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子理論的部分結(jié)果.

2.1 拉回軌道吸引子

對(duì)于解存在但不唯一或唯一性尚未證明的情況下,不能利用經(jīng)典方法研究相應(yīng)半群或過(guò)程的吸引子,這時(shí)需要引入新的思想與工具.目前,在動(dòng)力系統(tǒng)的解的唯一性缺乏的情形下,大致有3種方法處理由此引起的研究其漸近行為的困難.第1種方法是由Ball[18]提出的廣義半流法;第2種是多值動(dòng)力系統(tǒng)法[19-20];第3種方法是軌道吸引子[4].軌道吸引子的定義最初是為了克服由于3DNavier-Stokes方程的弱解可能不唯一所導(dǎo)致的困難而提出來(lái)的.后來(lái),軌道吸引子理論被證明對(duì)于其他的模型在其初值問題的解可能不唯一時(shí)也是非常有用的.

考慮非自治發(fā)展方程簇(3).對(duì)于t∈R+,設(shè)算子Fσ(t)(5):X|→Y是已知的,其中X,Y為Banach空間,使得X?Y,函數(shù)參數(shù)σ(t)屬于某個(gè)Banach空間Σ,稱為時(shí)間符號(hào)空間，并且存在Σ上的算子群θ={θt}t∈R滿足θtΣ=Σ,?t∈R.

假設(shè)對(duì)于每個(gè)σ∈Σ,方程(3)至少有一個(gè)解u(t)∈C(R+; Y)∩L∞(R+;X).由Lions-Magenes定理知,?t∈R+,u(t)∈X.

現(xiàn)在用Π+表示在區(qū)間R+=[0,+∞)上的限制算子(相對(duì)于時(shí)間變量);ΠT表示在區(qū)間[0,T]上的限制算子.例如,若u(5)∈C(R+;Y)∩L∞(R+;X),則ΠTu(5)∈C([0,T];Y)∩L∞(0,T;X):當(dāng)t∈[0,T]時(shí),有ΠTu(t)=u(t).

其中:P={Pσ}σ∈Σ為拉回軌道吸收集;“一杠”表示在Cloc(R+;Y)中取閉包;ωσ(P)表示P的拉回ω-極限集.

2.2 多值非自治和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的拉回與隨機(jī)吸引子

雖然已有了過(guò)程或多值系統(tǒng)余環(huán)吸引子的存在性理論,但很有必要建立多值系統(tǒng)的吸引子的更一般理論.這里介紹這方面的一些最新研究成果[15],它們是已有的關(guān)于非自治與隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)果的推廣和發(fā)展,其理論體系還遠(yuǎn)未完善.

設(shè)Ω是一集合(相當(dāng)于上面的符號(hào)空間),θ=(θt)t∈R是Ω上的群或流,即θ:R×Ω→Ω滿足:θ0=I,θt+τ=θt° θτ:=θtθτ,?t,τ∈R,則稱Ω為非自治擾動(dòng)流或非自治驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).

設(shè)P:=(Ω,F,P)為概率空間.考慮P上的一個(gè)可測(cè)非自治流

θ:(R×Ω,B(R)?F )→(Ω, F ).

設(shè)E=(E,dE)為Polish空間(可分完備度量空間).記C(E)為所有具有非空閉像集的多值函數(shù)D:ω(∈Ω)→D(ω )(∈2E)組成的集合;記Pf(E)為E的所有非空閉子集組成的集合,于是,

D∈C(E)??D:Ω→Pf(E).

定義10稱多值映射U:R+×Ω×E→Pf(E)為多值非自治動(dòng)力系統(tǒng)(MNDS),如果

1)U(0,ω,5)=I;

2)U(t+τ,ω,x)?U(t,θτω,U(τ,ω,x)),?t,τ∈R+,x∈E,ω∈Ω .

稱多值映射U為嚴(yán)格MNDS,如果

3)U(t+τ,ω,x)=U(t,θτω,U(τ,ω,x)),?t,τ∈R+,x∈E,ω∈Ω .

稱一個(gè)MNDSU為多值隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)(MRDS),如果多值映射(t,ω,x)→U(t,ω,x)是 B(R+)?F ?B(E)可測(cè)的,即對(duì)于每個(gè)開子集O?E,有{(t,ω,x):U(t,ω,x)∩O??}∈B(R+)?F ?B(E).

定義11稱多值映射U(t,ω,5)為在x0∈E是上半連續(xù)的,如果對(duì)于集合U(t,ω,x0)的每個(gè)鄰域U,存在 δ>0,使得當(dāng)dX(x0,y)<δ時(shí),U(t,ω, y)∈U.稱U(t,ω,5)為在E上是上半連續(xù)的,如果它在每個(gè)點(diǎn)x0∈E處都是上半連續(xù)的.

引理1設(shè)Ω為Polish空間,F為其Borelσ-代數(shù).若(t,ω,x)→U(t,ω ,x)是上半連續(xù)的,則該映射是可測(cè)的.

下面介紹MNDS的拉回與隨機(jī)吸引子的有關(guān)定義及其存在唯一性定理.

定義12稱多值映射D:ω→D(ω)為關(guān)于MNDSU 是負(fù)(嚴(yán)格或正)不變的,如果

D(θtω)?(=,?)U(t,ω,D(ω)),?ω∈Ω,t∈R+.

稱D滿足內(nèi)閉性:若D∈D,D′∈C(E)滿足:?ω∈Ω,D′(ω)?D(ω),則D′∈D.

定義13稱集A∈D為MNDSU的拉回D-吸引子,如果

1)?ω∈Ω,A(ω)為緊集;

2)A為拉回D-吸引的;

3)A為負(fù)不變的.

注4若定義13條件3)中的“負(fù)不變的”換為“嚴(yán)格不變的”,則稱A∈D為MNDSU的嚴(yán)格拉回D-吸引子.

定義14設(shè)U為MRDS,集A∈D具有定義13中的性質(zhì)1)～3),且集合A關(guān)于概率空間P是隨機(jī)集,則稱A為MRDSU的隨機(jī)拉回D-吸引子.

注5拉回收斂性與關(guān)于概率測(cè)度P的不變性直接導(dǎo)致吸引子的概率意義下的向前收斂性:?t≥0,多值映射D:ω→U(t,ω,D(ω))可測(cè),且

(概率1收斂).

這個(gè)性質(zhì)僅是在概率弱收斂意義下成立,在幾乎處處意義下一般不再成立.

引理2假設(shè)對(duì)于t≥0,ω∈Ω,MNDSU(t,ω,5)是上半連續(xù)的.設(shè)B為多值映射使得U關(guān)于B是漸近緊的,即對(duì)于每個(gè)序列{tn}(tn→+∞),ω∈Ω,序列{yn∈U(tn,θ-tnω,D(θ-tnω))}是預(yù)緊的,則?ω∈Ω,拉回ω-極限集Λ(D,ω)是非空的、緊的、且

?U(t,ω,Λ(D,ω)),?t≥0.

定理7設(shè)引理2中的條件成立,且假設(shè)B∈D為拉回D-吸收的,則A(ω)=Λ(B,ω)為唯一的拉回D-吸引子;若U為嚴(yán)格的,則A為嚴(yán)格不變的.

定理8設(shè)U為MRDS且定理7中的條件成立,并設(shè)對(duì)于t≥0,ω→U(t,ω,B(ω))為隨機(jī)集,又假設(shè)對(duì)于t≥0,ω∈Ω,集合U(t,ω,B(ω))為閉的,則A(ω)=Λ(B,ω)為可測(cè)的,從而A為隨機(jī)拉回D-吸引子.

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