Camassa-Holm方程的一些研究進展*

周 勇

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

1 基本性質(zhì)與主要研究成果

本文主要討論Camassa-Holm方程的Cauchy問題.Camassa-Holm方程可以寫為

(1)

式(1)中:u(x,t)∈R表示波的高度;下標x和t表示對空間和時間變量做偏導(dǎo)數(shù).早在1981年，F(xiàn)uchsteiner等[1]在研究近似KdV方程時就推導(dǎo)出方程(1).但真正的物理推導(dǎo)是由Camassa等[2]在1993年刻畫淺水區(qū)域的水波運動時完成的，所以一開始也稱方程(1)為淺水波方程(shallowwaterequation).

關(guān)于方程(1)的基本性質(zhì)，Camassa等在文獻[2]中有比較全面的討論,本文再提下面幾點：

1)方程(1)是一個完全可積系統(tǒng)，有無窮多個守恒律.例如，如果下面式子的右端都有意義，那么

(2)

2)有波爆破的現(xiàn)象.本文所說的波爆破是Whitham在文獻[3]中給的定義：u(x,t)本身有界，而其一階導(dǎo)數(shù)在有限時間內(nèi)爆破(即‖ux(5,t)‖L∞→∞,t→T).顯然，KdV方程也是淺水波方程，但沒有波爆破現(xiàn)象.而波爆破是可以觀察到的一個物理現(xiàn)象，所以從這個意義上說，Camassa-Holm方程是一個比KdV方程更合適的淺水波模型.

3)尖峰孤立波的存在性.以前的孤立子(soliton，是一種行波)大都是光滑的，但這里的孤立波是有尖峰的，如e-|x-t|,后來稱之為peakon.

關(guān)于Camassa-Holm方程的數(shù)學(xué)理論研究(從方程的角度)是從1997年開始的，到現(xiàn)在已有16年的歷史，眾多數(shù)學(xué)家在這方面做了很多重要的研究工作.下面列出一些主要成果.

2)弱解的全局存在性.Camassa-Holm方程可以改寫成如下的形式：

(3)

圖1 y0(x)的圖像

2004年，McKean[11]用反證法又給出了一個簡化的證明，假設(shè)具有以上性質(zhì)的初始值所對應(yīng)的解全局存在，從而導(dǎo)出矛盾.反證法有它自身的優(yōu)點，但很難讓人們看清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu).基于文獻[12]的工作,文獻[13]用純分析的手段重新證明了McKean的波爆破定理，讓人們看清了導(dǎo)致解在有限時間內(nèi)爆破的真正原因.

4)孤立波的軌道穩(wěn)定性.Constantin等[14]在2000年用方程(1)本身的結(jié)構(gòu)特點，得出了其尖峰孤立波的軌道穩(wěn)定性.筆者[15]用構(gòu)造泛函的方法也得到了孤立波的穩(wěn)定性.

關(guān)于Camassa-Holm方程的無窮傳播速度和大時間性態(tài)，分別在下面進行介紹.

2 無窮傳播速度與持續(xù)一致性

拋物方程，如熱傳導(dǎo)方程，具有無窮傳播的特性;而雙曲方程，如波方程和雙曲守恒律方程等，具有有限傳播的特性.方程(1)的前2項就是一維的Burgers方程，其本身跟不可壓的Euler方程也很像.所以,關(guān)于Camassa-Holm方程的傳播速度問題是一個很基本、很重要的問題.或者可以問得更一般一些，給定一個具有緊支集的初始值u0(x)，其對應(yīng)的強解u(x,t)具有怎樣的性質(zhì)呢？2007年，Himonas等[16]完全地回答了這個問題(見下面的定理).

(4)

式(4)中:L(t)>0;L′(t)>0;l(t)<0;l′(t)<0;q(x,t)為特征線(粒子軌跡)滿足

(5)

對于在無窮處具有指數(shù)衰減的初始值u0(x)，文獻[16]有如下的持續(xù)一致性:

定理2[16]假設(shè)u0(x)∈Hs(R),s>3/2,u(x,t)是[0,T]上的強解，θ∈(0,1),

|u0(x)|,|u0x(x)|～O(e-θ|x|)，|x|→∞,

那么解u(x,t)在[0,T]上一致地滿足

|u(x,t)|,|ux(x,t)|～O(e-θ|x|)，|x|→∞.

2012年，文獻[17]對在無窮處具有代數(shù)衰減的初始值u0(x)建立了持續(xù)一致性.

3 解的大時間性態(tài)的初步研究

由McKean的定理知道,若y0(x)恒大于0(恒小于0)，或者只改變一次符號(正的在負的右邊)，則Camassa-Holm方程(1)所對應(yīng)的解全局存在.考慮比較簡單的情況，再假設(shè)y0(x)具有緊支集，如圖2(a)～(c)所示.

圖2 具有緊支集的y0(x)的圖像

根據(jù)恒等式

對于任意的時間0

方程(1)有一個基本的問題是:如果解全局存在，那么它的大時間性態(tài)如何呢？最近的文獻有一個很初步的研究：只是看支集區(qū)間長度q(b,t)-q(a,t)的一個極限.

定理3[18]假設(shè)y0(x)具有緊支集，其支集在區(qū)間[a,b]內(nèi).

1)如果y0(x)≥0(?0)(如圖2(a)所示)， 那么eq(b,t)-eq(a,t)→+∞,t→+∞.

2)如果y0(x)≤0(?0)(如圖2(b)所示)，那么e-q(a,t)-e-q(b,t)→+∞,t→+∞.

3)如果存在一點x0,使得y0(x0)=0，而在(a,x0)上y0(x)≤0(?0)，在(x0,b)上y0(x)≥0(?0)(如圖2(c)所示)，那么q(b,t)-q(a,t)→+∞,t→+∞.

注1由Camassa-Holm方程的反對稱性知，定理3中的1)和2)是一樣的.但是，在這兩種情況下還不知道當時間t趨于無窮時q(b,t)-q(a,t)的極限.

4 一些公開問題

下面提出2個問題.

1)解在爆破時的具體形態(tài).Camassa-Holm方程具有波爆破的性質(zhì)，即u(x,t)本身是有界的，而其一階導(dǎo)數(shù)ux(x,t)產(chǎn)生了爆破.假設(shè)u(x,t)在時刻T發(fā)生爆破，并且只有一個爆破點x0，一個有意義的問題是如何研究此刻u(x,T)作為一個一元函數(shù)的具體圖像，特別是在爆破點x0附近的具體圖像.比較容易得到,u(x,T)依然是一個連續(xù)函數(shù)，但具體是怎樣的表現(xiàn)形式還不知道.例如可以問：是否存在0<α<1，使得下面的極限有意義：

如果是，那么說明u(x,T)在爆破點x0附近與一個冪函數(shù)的表現(xiàn)形式差不多.但對這個問題的研究目前還沒有任何進展.

2)解的大時間性態(tài).這里面有很多問題，文獻[18]只是一個開端，在注1中就有一個問題沒有被解決.假設(shè)Camassa-Holm方程的解全局存在，那么如下極限是否存在:

參考文獻：

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