Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的精確解*

何猛, 王躍

(昆明冶金高等?？茖W(xué)校,云南 昆明 650031)

1 引 言

(1)

為Klein-Gordon-Schr?dinger方程組[1]，該方程組是描述一個(gè)守恒的復(fù)雜核子場(chǎng)和中性的真實(shí)介子場(chǎng)進(jìn)行Yukawa相互作用的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型[2-3].其中u:R×R3→C是一個(gè)復(fù)數(shù)域上的核子運(yùn)動(dòng)，v:R×R3→R是實(shí)數(shù)域上的介子作用，正常數(shù)m是介子的質(zhì)量[4].應(yīng)用動(dòng)力系統(tǒng)理論方法，李繼彬研究了Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的孤立波和周期行波解，給出了解存在的明顯參數(shù)條件以及孤立波和周期行波解的表達(dá)式[5].本文使用包絡(luò)變換和直接擬設(shè)法探求Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的孤立波解，求出的亮孤立波解和暗孤立波解是以往研究中均未得到的.

2 包絡(luò)變換和直接擬設(shè)法求解

假設(shè)方程組(1)具有行波解：

u=P(ξ)ei(kx+? t+φ(ξ)),v=Q(ξ)

(2)

其中P(ξ)、Q(ξ)、φ(ξ)均為實(shí)函數(shù).

將(2)代入(1),并分別令實(shí)部和虛部為零，得如下方程組：

(3)

利用上述方程組，下面分別探求方程組(1)的亮孤立波和暗孤立波.

2.1 亮孤立波解

假設(shè)方程(3)有如下形式的亮孤立波解：

(4)

將(4)分別代入(3)，得如下方程組：

(5)

令方程組(5)tanhiξ(i=0,1,2)的系數(shù)為零，得系數(shù)方程組：

(6)

利用數(shù)學(xué)軟件Maple求解，可得如下兩組解:

情形1.

(7)

此時(shí)，(7)為方程組(1)的亮孤立波解.

情形2.

(8)

可知，(8)也是方程組(1)亮孤立波解.

2.2 暗孤立波解

假設(shè)方程(3)有如下形式的暗孤立波解：

(9)

將(9)分別代入(3)，可得如下方程組：

(10)

令方程組(10)中的tanhiξ(i=0,1,2)的系數(shù)為零，得系數(shù)方程組：

(11)

利用數(shù)學(xué)軟件Maple求解，可得如兩組下解:

情形3.

(12)

此即是方程組(1)的暗孤立波解.

情形4.

(13)

則(13)為方程組(1)的另一暗孤立波解.

2.3 數(shù)值模擬圖

選取適當(dāng)數(shù)據(jù)，給出系統(tǒng)(1)的亮孤立波解和暗孤立波解的數(shù)值模擬：

情形1 取m=2,k1=1,此時(shí)，亮孤立波解(7)為：

(14)

解(14)圖像如圖1、圖2所示:

圖1 亮孤立波解|u|2的圖像 圖2 孤立波解v的圖像

情形2 取m=2,k1=1,此時(shí)，亮孤立波解(8)為：

(15)

則解(15)圖像如圖3、圖4所示:

圖3 亮孤立波解的圖像 圖4 孤立波解v的圖像

情形3 取m=2,k1=1,此時(shí)，暗孤立波解(12)為：

(16)

此時(shí)，解(16)的圖像如圖5、圖6所示：

圖5 暗孤立波解|u|2的圖像 圖6 孤立波解v的圖像

情形4 取m=2,k1=1,此時(shí)，暗孤立波解(13)為：

(17)

此時(shí)，解(17)的圖像如圖7、圖8所示：

圖7 暗孤立波解|u|2的圖像 圖8 孤立波解v的圖像

3 結(jié) 論

本文用包絡(luò)變換和直接擬設(shè)法求得Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的亮孤立波解和暗孤立波解，并對(duì)該方程組的解作出數(shù)值模擬.亮孤立波解和暗孤立波解在以往的研究文獻(xiàn)中未曾得到，這對(duì)于進(jìn)一步刻畫該類方程(組)的非線性傳播的動(dòng)力學(xué)行為，有著重要的物理意義.

參 考 文 獻(xiàn):

[1] FUKUDA I,TSUTSUMI M.On coupled Klein-Gordon-Schr?dinger equations II[J].J.Math.Anal.Appl.,1978,66(2):358-378.

[2] FAN E.Uniformly constructing a series of explicit exact solutions to nonlinear equations in mathematical physics[J].Chaos Solitons Fractals,2003,16(5):819-839.

[3] HE J H,WU X H.Construction of solitary solution and compacton-like solution by variational iteration method[J].Chaos Solitons Fractals,2006,29(1):108-113.

[4] YUKAWA H.On the interaction of elementary particles I[J].Proc.Physico-Math.Soc.Japan.,1935,17(2):48-57.

[5] LI J B.Solitary and periodic traveling wave solutions in Klein-Gordon-Schr?dinger Equations[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，85(3)：176-180.