一些整函數的迭代性質與3n+1問題之間的關系*

李玉華

(云南師范大學 數學學院，云南 昆明 650500)

1 引言及主要結果

T(n)即是人們通常所說的3n+1函數,它是一個極其簡單的數論函數.

設X為一個非空集合,h:X→X為X上的自映照.對于任意的非負整數n,用符號h°n表示h的n次迭代,它們中的每一個也都是X上的自映照.對于任意的x0∈X,將點列h°n(x0) (n=0,1,2,…)稱為x0關于h的(正向)軌道.如果對于某個y∈X,存在正整數ky,使得

h°ky(y)=y,h°j(y)≠y(?j∈{1,2,3,…,ky-1}),

那么,稱y為h的長度為ky的周期點.

3n+1函數看似簡單,但是對其通過任意次迭代所產生的迭代函數列的混亂與復雜程度卻遠遠超過大多數人的想象.Collatz L于1952年提出了如下猜想:

3n+1猜想[1]對于?m∈,相應?km∈,使得T°km(m)=1.

3n+1猜想亦稱為3n+1問題，它的稱述十分簡單,知道整數的乘、除法的人都可以理解，但要解決它卻極其困難，它目前仍是數論中的一個未徹底解決的問題.

設h(z)為超越整函數，由h(z)迭代所產生的整函數族{h°n(z)|n=0,1,2,…}的正規(guī)點所成之集合稱為h(z)的Fatou集或穩(wěn)定點集，用符號F(h)表示之，而F(h)相對于復平面的余集稱為h(z)的Julia集或不穩(wěn)定點集，簡記為J(h).由解析函數的正規(guī)族定義(參見[2])可知:F(h)是的開子集.F(h)的每一個最大連通開子區(qū)域稱為F(h)的一個分支.關于復解析動力系統(tǒng)更詳細的內容可參見文獻[3-4].

1996年，Chamberland M[5]將3n+1猜想與實解析動力系統(tǒng)的研究聯系起來,為3n+1猜想的研究開辟了一條新的途徑.1999年,Letherman S等[6]又進一步將3n+1猜想與復解析動力系統(tǒng)的研究聯系起來，沿著這一思路繼續(xù)深入探索,我們得到3n+1猜想在復解析動力系統(tǒng)中的如下等價形式.

定理1 設h(z)為超越整函數,h在自然數集Ν上的限制恰好為3n+1函數T，而且|h′(1)h′(2)|<1,并對于?n∈Ν{1,2}有|h′(n)|≥2.則3n+1猜想成立的充分必要條件是：Ν?F(h)．

從復解析動力系統(tǒng)的觀點來看，下述結果給出了一個關于3n+1函數的性態(tài)較好的插值整函數．

(1)g(z)在自然數集Ν上的限制是函數T；

(2)g(z)的臨界點至多除有限個外都位于實軸上；

(3)F(g)的分支都是單連通的．

注意到定理2中的整函數g(z)限制在實軸上是一個實軸上的自映照，而在一維實動力系統(tǒng)的研究中，Schwartz導數為負的函數的動力學性質較好研究，那么g(z)作為實軸上的自映照，它的Schwartz導數會有什么樣的性質呢？關于這個問題，我們有如下結果：

2 幾個引理

在定理證明之前,先介紹幾個輔助結果.

引理2[4]設h(z)為超越整函數,則對于?n∈,有F(h°n)=F(h),J(h°n)=J(h).

引理3[7](Marty正規(guī)定則) 設F*為復數域的子區(qū)域D上的某些解析函數所成之族，則F*在D內正規(guī)的充分必要條件是：對于D的任意有界閉子區(qū)域D1，相應存在正數M，使得對于任意g∈F*以及任意z∈D1都有|g′(z)|≤M·(1+|g(z)|2)．

引理4[3]設h(z)為超越整函數.如果存在正數A和K以及延伸到∞的簡單曲線Γ，使得|h(z)|≤A|z|K(?z∈Γ),則F(h)的分支都是單連通的.

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

由于h(1)=2,h(2)=1，而|(h°2)′(1)|=|(h°2)′(2)|=|h′(1)h′(2)|<1，所以由引理1可知:

{1,2}?F(h)

(1)

如果3n+1猜想成立,則對于?k∈,均相應存在nk∈,使得

h°nk(k)=T°nk(k)=1

(2)

由式(1)、(2)和引理2可得:Ν?F(h)，定理必要性得證.

如果Ν?F(h)，則我們斷言3n+1猜想成立.事實上,如若不然的話,那么必然存在k0∈Ν，使得有

h°j(k0)=T°j(k0)>2,(?j∈)

(3)

又利用數學歸納法容易得到

(4)

由(3)和已知條件得

|(h°j)′(k0)|≥2j,(?j∈)

(5)

(6)

由(6)和引理3可知:整函數族{h°j(z)|j=1,2,3,…}在點k0處必定不正規(guī),從而有k0?F(h),這與Ν?F(h)相矛盾，定理充分性得證.所以上述斷言成立.定理1證畢.

3.2 定理2的證明

結論(1)顯然成立.茲開始證明結論(2).容易求得

(7)

(8)

由(7)式知道方程g′(z)=0等價于

(9)

wcosw=2

(10)

易見,要證明方程(9)除至多有限個根外其余的根均位于實軸上,只需證明方程(10)除至多有限個根外其余的根均位于實軸上.

繼令w=u+iv(其中u與v均為實變量),則方程(10)轉變?yōu)橄旅骊P于u與u的方程:

(u+iv){(ev+e-v)cosu+(e-v-ev)sinu}=4

(11)

通過分離實部與虛部,方程(11)轉化為下述方程組:

(12)

由于映照φ(w):=wcosw-2保持實軸不變,因而它的零點集的分布關于實軸對稱,鑒于這一原因,設w0=u0+iv0(u0≠0,v0>0)是方程(10)的根,則有

(13)

由于u0≠0,v0>0,從而由(13)得cosu0·sinu0≠0,而且有

(14)

另一方面,對w0cosw0=2兩邊取摸的平方后整理得

(15)

由(15)知道|u0|+|v0|→+∞必然導致u0→∞,v0→0+,而且|sinu0|→1.由此可知當|w0|充分大時,(14)中第二個式左邊的絕對值嚴格大于右邊的絕對值.這就說明存在正數M0,使得方程(10)的位于{w∈||w|>M0}內的根全部落在實軸上的集合(-∞,-M0)∪(M0,+∞)之中.由此可知g(z)的臨界點至多除有限個外都位于實軸上.

最后證明結論(3).由于對于任意不小于4的實數z有|g(z)|≤2|z|,從而由引理4知F(g)的分支都是單連通的．定理2證畢.

3.3 定理3的證明

由(8)式得

(16)

由(7)、(8)和(16)諸式得

-12sin2πz-2π2(2z+1)2cos2πz-π2(2z+1)2}

(17)

注意到,對于任意的實數z有-1≤sinz≤1,-1≤cosz≤1,由此和(17)知:存在M>0,使得2g?(z)g′(z)-3(g″(z))2<0(?z∈(-∞,-M)∪(M,+∞)).由此即可推出所期望的結論.定理3證畢.

從定理3的證明過程中可以看出,進一步討論即可得出M的值.

參 考 文 獻:

[1] LAGARIAS J C.The 3x+1 problem and its generalizations[J].Amer.Math.Monthly,1985,92(1),3-23.

[2] YANG L.Value distribution theory[M].Berlin Heidelberg:Springer-Verlag,Beijing:Science Press,1993.

[3] 任福堯.復解析動力系統(tǒng)[M].上海：復旦大學出版社,1997.

[4] 呂以輦.復解析動力系統(tǒng)[M].北京：科學出版社,1995.

[5] CHAMBERLAND M.A continuous extension of the 3x+1 problem to the realine[J].Dynam.Contin.Discrete Imluls.System,1996,2(4):495-509.

[6] LETHERMAN S,SCHLEICHER D，WOOD R.The 3n+1-problem and holomorphic dynamics[J].Experimental Mathematics,1999,8(3):241-251.

[7] 顧永興.亞純函數的正規(guī)族[M].成都：四川教育出版社,1988.