化工過程切換控制研究中的連續(xù)特性

羅雄麟 左瑞香 許 鋒

(中國石油大學(xué)自動化研究所，北京 102249)

化工工業(yè)生產(chǎn)的復(fù)雜性要求工程師對化工過程進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控。通常在生產(chǎn)過程還未達(dá)到穩(wěn)態(tài)就又有了新的輸入變化，導(dǎo)致輸入變量的持續(xù)動態(tài)變化，將這種輸入變量不斷切換變化的控制方式稱為化工切換控制。對于化工過程切換控制的仿真稱之為化工切換控制仿真。不同于系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后才可以改變輸入變量或子系統(tǒng)的傳統(tǒng)切換控制，化工切換控制的切換點(diǎn)為非穩(wěn)態(tài)點(diǎn)，切換點(diǎn)左導(dǎo)數(shù)不為0(只有切換點(diǎn)為穩(wěn)態(tài)點(diǎn)時(shí)，切換點(diǎn)左導(dǎo)數(shù)才為0)。例如文獻(xiàn)[1～3]中無論是升溫過程的多?？刂啤⒋髸r(shí)滯化工過程的控制方案切換控制還是冷凝器的工況切換控制，在發(fā)生切換時(shí)系統(tǒng)均未達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

通過對實(shí)際化工切換控制的研究發(fā)現(xiàn)，由于控制系統(tǒng)的非線性及響應(yīng)延遲等特性，使得系統(tǒng)控制量發(fā)生變化時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)輸出并未立即發(fā)生變化，而是有一段延遲，使得響應(yīng)曲線在切換點(diǎn)處連續(xù)、平滑。因此，響應(yīng)曲線上切換點(diǎn)處不但要求函數(shù)連續(xù)，而且各階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)連續(xù)。而在現(xiàn)有的切換控制仿真中，無論是優(yōu)化計(jì)算最優(yōu)切換時(shí)間點(diǎn)[4～7]還是控制方法的應(yīng)用仿真[8,9]，都只考慮了切換前后狀態(tài)相同——函數(shù)連續(xù)性，忽略了切換點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，一般誤認(rèn)為是左導(dǎo)數(shù)為0，即初始斜率為0，導(dǎo)致錯(cuò)誤的研究結(jié)果。

筆者提出一種新的化工切換控制仿真算法，在切換點(diǎn)處不僅考慮子系統(tǒng)的函數(shù)連續(xù)性，還考慮了導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，將前一子系統(tǒng)的末端狀態(tài)和末端斜率作為下一子系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始斜率，保證切換點(diǎn)處的連續(xù)性。通過實(shí)例仿真發(fā)現(xiàn)，在引入導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的化工切換控制仿真算法后切換控制曲線在切換點(diǎn)處緩和、平滑，提高了化工切換控制仿真結(jié)果的精確度和曲線的逼真性。

1 化工切換控制連續(xù)特性算法①

在化工過程中由于生產(chǎn)或工藝的要求在修改輸入變量值時(shí)系統(tǒng)通常還未達(dá)到穩(wěn)態(tài)。將這種未達(dá)到穩(wěn)態(tài)就先行切換的方式稱之為動態(tài)切換，反之，將處于穩(wěn)態(tài)情況下的切換稱之為穩(wěn)態(tài)切換。在圖1所示的切換方式中，A點(diǎn)為穩(wěn)態(tài)點(diǎn)，B、C為非穩(wěn)態(tài)點(diǎn)。

圖1 化工過程切換分析

定義1 化工切換控制中，在切換點(diǎn)t處，要求系統(tǒng)狀態(tài)滿足x(t+)=x(t-)=x(t)，即系統(tǒng)狀態(tài)在t處的左極限等于右極限，這里將其定義為切換點(diǎn)的函數(shù)連續(xù)性。

設(shè)化工切換控制系統(tǒng)為：

(1)

其中，子系統(tǒng)微分方程fj=Ajx(t)+Bju(t)，j=1,2，…,N。其中N為子系統(tǒng)個(gè)數(shù)；u為常量或變量,u=[u1,u2,…,uN]；t=[t0,t1,…,tN]。步長h=(tj-tj-1)/n，n為運(yùn)算步數(shù)。令N=3，切換時(shí)刻分別為t1、t2?；谝陨蟽蓚€(gè)定義分步遞推化工切換控制算法。遞推算法中Mj,i(j=1,2,…，N；i=0,1,2,…,n)表示第j個(gè)子系統(tǒng)中化工切換仿真算法第i步對應(yīng)的變量M的值。

當(dāng)t0≤t≤t1時(shí)。初始時(shí)刻t=t0，初始狀態(tài)x(t0)=x0，執(zhí)行以下化工切換控制遞推算法：

整理以上每個(gè)子系統(tǒng)遞推算法可知，化工切換控制算法在j=1時(shí)與普通仿真算法無異：

(2)

(3)

同理可以得到三階、四階化工切換控制算法。

2 與傳統(tǒng)切換控制算法對比分析

目前，基于控制量(例如Bang-Bang控制)或基于子系統(tǒng)的切換控制采用傳統(tǒng)的數(shù)值仿真算法，只考慮了定義1[3～6]而忽略了定義2的重要性。為方便分析筆者提出的化工切換控制仿真算法和傳統(tǒng)切換控制仿真算法的區(qū)別，引入二階Runge-Kutta遞推公式[10]：

(4)

圖2 化工切換控制仿真與RK算法仿真

3 實(shí)例應(yīng)用與對比分析

3.1 經(jīng)典實(shí)例1

范德波爾方程[4～7](van der Pol equation)為：

初始狀態(tài)x0=[1 1]，u在-1和+1之間切換，u={-1,1,-1,…}，達(dá)到末端狀態(tài)xT=[0 0]。采用四階化工切換控制仿真算法，步長h=0.1。參照kaya的最優(yōu)切換時(shí)間段計(jì)算方法得，切換次數(shù)N=1時(shí)的最優(yōu)切換駐留時(shí)間向量為[0.68349 2.40806]，N=2時(shí)最優(yōu)駐留時(shí)間向量為[0.70949 2.69502 0.53937]。圖3為范德波爾方程在化工切換控制算法和普通RK法下從x0到xT的狀態(tài)圖。

圖3 系統(tǒng)切換控制狀態(tài)

3.2 經(jīng)典實(shí)例2

以文獻(xiàn)[11,12]中的3個(gè)子系統(tǒng)切換為例，子系統(tǒng)狀態(tài)方程分別為：

其中，t0=0，tf=3，初始狀態(tài)x0=[4 4]。依據(jù)文獻(xiàn)選取兩組切換控制方式：t1=1,t2=2,u=0.5；t1=0.59395,t2=2.78328,u=0，兩種方法的切換控制狀態(tài)如圖4所示。

由圖3、4可以看出，無論是控制量切換還是子系統(tǒng)切換，基于化工切換算法思想的切換控制仿真得到的系統(tǒng)狀態(tài)曲線在切換點(diǎn)處切換相對平滑；而傳統(tǒng)切換算法下系統(tǒng)曲線在切換點(diǎn)處，切換陡峭，有尖角出現(xiàn)，不符合實(shí)際應(yīng)用中切換控制的特性，且兩者的結(jié)果差值均在30%以上。

圖4 基于子系統(tǒng)切換的狀態(tài)

3.3 串級連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器

以Henson和Seborg的串級連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器(CSTR)為例進(jìn)行仿真。假設(shè)系統(tǒng)完全混合并且物理參數(shù)是常值，這一過程有一個(gè)混合了反應(yīng)物和溶劑的進(jìn)料流、一個(gè)輸出流和一個(gè)冷卻水流。qc為冷卻水流量，q為進(jìn)料流量，C1、C2為出口濃度，T1、T2為出口溫度。假設(shè)流量在整個(gè)過程中維持恒定。系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 串級CSTR系統(tǒng)

反應(yīng)器體積V1=V2=100L，進(jìn)料濃度Cf=1mol/L，進(jìn)料流量q=100L/min，進(jìn)料溫度Tf=350K，冷卻水溫度Tcf=350K，反應(yīng)速率常數(shù)k0=7.2×1010min-1，R為理想氣體常數(shù)，E/R=10000K，E為活化能，密度ρ=ρc=1000g/L，UA1=UA2=1.67×106J/min，反應(yīng)熱ΔH=-4.78×104J/mol，U、A為熱交換系數(shù)和面積，比熱cp=cpc=0.239J/(gK)。

狀態(tài)變量x、系統(tǒng)輸出y和操作變量u定義為x=[C1,T1,C2,T2]T，y=T2，u=qc。設(shè)實(shí)際過程的初始狀態(tài)x=[0.085，442，0.005，450]T。

CSTR中的物料平衡方程為：

CSTR中的能量平衡方程為：

選擇兩組控制量u=[180,35]和u=[120,20]分別進(jìn)行切換控制，其切換控制狀態(tài)如圖6所示。

圖6 串級CSTR切換控制狀態(tài)

從圖6中可以看出，在化工切換控制仿真算法下的仿真曲線較平滑，更符合實(shí)際化工生產(chǎn)過程中的切換控制曲線特性。

4 結(jié)束語

通過對實(shí)際化工切換控制的研究發(fā)現(xiàn)，化工切換控制要求在切換點(diǎn)處必須考慮函數(shù)連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，因此，依據(jù)化工切換控制的這一特性提出新的化工過程切換控制算法。通過理論和仿真實(shí)例對比發(fā)現(xiàn)，該方法使得系統(tǒng)在切換點(diǎn)處過渡平滑，提高了仿真結(jié)果近似實(shí)際控制系統(tǒng)控制結(jié)果的精確性。